डिन्नर  डेट

fig.c1.0जानी की मां की रट

पिछले छैमाही परीक्षा में जानी के बड़े अच्छे नंबर आए थे । इसके दो खास कारण थे । पहला तो था कि जानी के मां बाप ने उसे एक मंहगी साइकिल खरीद कर दी थी, और यदि उसके इस छैमाही में 85% से कम नंबर आते, तो उसे कमाई करके पैसे वापिस करने पड़ते । दूसरा और शायद इससे अधिक महत्व कारण थी सैरा, इसकी दो साल की गर्ल फ़्रैंड, जिसकी सहायता से जानी ने ट्रिग में 98% लिए थे ।

जानी की मां को सैरा अच्छी लगती थी और उसने जानी को कहा कि वह सैरा के लिए कुछ करे जिससे वह अपना आभार और उसके लिए सराहना दिखाए । वह जानी के पीछे पड़ी और पूछती रही कि वह क्या करेगा । उसकी आशा थी वह कुछ खास करेगा क्योंकि उस लड़की ने जानी की बड़ी सहायता की थी । जानी को तो यह इतनी बड़ी बात नहीं लगी । सैरा उसे चाहती थी, दोनो इकट्ठे घूमते फिरते थे, और इसी व्यवस्था क्रम में ट्रिग में सहायता कर दी । मां ने उसका पीछा ना छोड़ा और कहा कि उसे किसी प्रेमप्रसंग-युक्त भ्रमण पर या कम से कम डिन्नर डेट पर ले जाए । उसने यह भी कहा कि  इसके लिए वह मां की कार ले सकता है ।

जानी और सैरा का होटल   

अंत में जानी ने सैरा से किसी प्रेमप्रसंग-युक्त भ्रमण पर जाने के लिए पूछ ही लिया । सैरा ने कहा कि, कहीं भी ऐसे रात बिताने के लिए तो, नैना मना कर देगी और कहीं भी जाएं तो उसी दिन वापिस आना होगा । अब सवाल था कहां जाएं । शायद किसी अच्छी कार की सैर के बाद डिन्नर के लिए जाएं । पर कहां ? कई रैस्टारैंट थे जो अलग अलग तरह के भोजनो का सेवन करते थे । चुनना कठिन था, पर फिर सैरा को कुछ दिखा, और उसने अजीब सा मुंह बनाया ।

सैरा: यह निराली बात है । मुजे विश्वास नहीं आता कि इस रैस्टारैंट का नाम है – जानी और सैरा का होटल । इसके नाम से यह हमारा होटल है । यह अच्छा तो होगा पर इस पर किसी के  कोई समीक्षा पत्र नहीं हैं । यह मैक्लिंटन रोड के चरमांत पर है । कार से थोड़ा ही समय लगेगा । तू कब जाना चाहता है ?

जानी: इससे बढ़ कर प्रेमप्रसंग-युक्त क्या हो सकता है – एक रैस्टारांट जिसका नाम हम दोनो पर है ?

जानी अपनी मां से कार के बारे में पूछने गया और फिर उसने कहा: कल कैसा रहेगा ?

सैरा: कल ठीक है ।

निर्णय हुआ कि कल वह सैरा को उसके घर से शाम के पांच बजे ले लेगा ।

अगले दिन जानी कार चला कर सैरा के घर गया और वहां सैरा की नैना को मिला । सैरा के हाथ में एक मोबाइल फ़ोन था । उसके पिताजी ने सैरा को पिछली छैमाही के निष्पादन का पुरस्कार दिया था । इस छैमाही में सैरा के औसतन नंबर 98% थे ।

सैरा: मैं यह फ़ोन इसलिए लाई हूं क्योंकि इसमें जी पी एस है । तेरी साइकिल की तरह हम इस पर भी अपनी जुम्बिश जांच सकते हैं । वैसे तो तेरी मां की कार में भी जी पी एस होगा पर फ़ोन से मैं सारा डेटा अपने लैपटाप को भेज सकती हूं ।

शहर की कई सड़कों पर चलने के बाद वह मैक्लिंटन रोड पर आ गए । सैरा ने कई बार अपने फ़ोन को छुआ और जी पी एस से अपनी स्थिति को रिकार्ड किया । सड़क के अंत में एक छोटा सा रैस्टारैंट था जिस पर बोर्ड पर लिखा हुआ था जानी और सैरा का होटल ।

नन्हा सा रैस्टारैंट

जानी ने गाड़ी पार्क की और दोनो अंदर गए । यह तो एक नन्हा सा रैस्टारैंट था जिसमें चार मेज़ लगे हुए थे, और अधिक से अधिक 16 ग्राहक बैठ सकते थे ।

वह बैठ गए और एक महिला वेटर मेनू लेकर आई, और बोली: जानी और सैरा के होटल में आपका स्वागत है । मैं सैरा हूं और खुशी से आपके खाने का आदेश लूंगी ।

बाद के वार्तालाप ने उस महिला वेटर ने कहा: जब मैने अपना हाई स्कूल समाप्त किया तो मैने और मेरे बायफ़्रैंड जानी ने मिल कर यह रैस्टारांट खोला । जानी खाना बनाता है और में इधर का काम संभालती हूं । हमें मंद रफ़्तार की ज़िंदगी पसंद है, और यहां कभी भी भीड़ नहीं होती ।

मैनू में ज्यादातर बर्गर, सैंड्विच थे और आज का सूप । सैरा और जानी ने दोनो के लिए बर्गर और सूप लाने का आदेश दिया ।

खाना स्वादिष्ट था । खाते खाते वह गप शप भी करते रहे । महिला वेटर dessert के बारे में पूछने के लिए आई ।

महिला वेटर: जानी apple strudel  बड़ा मस्त बनाता है ।

सैरा: अच्छा ले आओ और हम दोनो चाय भी पियेंगे । बहरहाल, मेरा नाम सैरा है और यह मेरा बायफ़्रैंड जानी है । हम कोई प्रेमप्रसंग-युक्त   विनोद स्थल खोज रहे थे । जानी और सैरा के लिए जानी और सैरा के होटल से बढ़कर प्रेमप्रसंग-युक्त जगह कौन सी हो सकती है ?

महिला वेटर: हाय, इस बात से मेरा तो दिल खुश हो गया । Strudel   हमारे होटल की ओर से भेंट है ।

महिला वेटर डेसर्ट और चाय ले कर आई । वह बावर्ची, जो उसका पति था, उसको भी साथ लाई और बोली: जानी, यह जानी और सैरा हैं । वह यहां आए हैं सुन कर कि यह जानी और सैरा का होटल है ।

बावर्ची: आप दोनो का स्वागत है । अब बार बार आइएगा अपने होटल में ।

जानी और सैरा को इस डिन्नर डेट का बड़ा मज़ा आया । जानी ने सैरा को उसके घर छोड़ा, जहां दोनो ने एक दूसरे का चुम्मा लिया, और विदाई ली । सैरा ने अगले दिन आने का वादा किया ।

अगले दिन  सैरा, वादा निभाते हुए, जानी के घर गई । वह अपना लैपटाप साथ लाई थी, जिसमें उसने मैक्लिंटन रोड पर सारे रास्ते पर जी पी एस अनुसार कार की स्थिति रिकार्ड की हुई थी, और निकाला हुआ था कि कार कितना उत्तर की ओर गई और कितना पश्चिम की ओर । उसने एक ग्राफ़ भी बनाया था जिसमें क्षैतिज अक्ष पश्च्चिम की ओर चलना और लंब अक्ष उत्तर की ओर चलना थे ।

मैक्लिंटन रोड का रेखा चित्र निरंतर नहीं था

Fig.C1.1              जानी: यह उत्तर और पश्चिम दिशा का ग्राफ़ तो वैसा ही लग रहा है जैसा हमने मेरी साइकिल के सहारे किया था । क्या तू मुझे फिर से ट्रिग पढ़ाने की कोशिश कर रही है ?

सैरा: नहीं । मैक्लिंटन रोड बड़ी अच्छी लग रही है । यह पहले तो अधिकतर पश्चिम की ओर जाती है और केवल थोड़ा सा ही उत्तर कि दिशा में पर फिर बाद में अधिकतर उत्तर की दिशा में जाती है ओर पश्चिम की ओर बहुत कम ।

जानी: तूने सड़क को बिंदू बना कर दिखाया है, एक निरंतर रेखा क्यों नहीं खींची ।

सैरा: जानी, यह सड़क निरंतर (continuous) नहीं थी । इसमें कई मोड़ थे जो इस छोटे नक्शे में नहीं दिखते ।

सैरा ने सड़क का एक और नक्शा लैपटाप पर लगाया, उसके छोटे छोटे क्षेत्रों को बड़ा करके जानी को दिखाया कि यह सड़क कई बार मुड़ती थी ।

सैरा: देख कितनी बार मुड़ी है यह सड़क, निरंतर कहां से हो गई ?

जानी: किसी छोटे मोटे मोड़ के कारण कोई इस सड़क से गिर तो नहीं जाएगा । सड़क कहीं से टूटी हुई तो नहीं थी ।

सैरा:  प्रायौगिक रूप से तू ठीक कह है किंतू मैं इस मार्ग का निरंतर  गणित फलन से वर्णन नहीं कर सकती, यदि इस में सूक्ष्म से सूक्ष्म भी मोड़ तोड़ हों ।

जानी: अच्छा, यदि कोई इस सड़क को निखार कर सारे मोड़ तोड़ से रहित कर दे, तो क्या तू इसके लिए एक निरंतर फलन लिख सकती है ?

सैरा: चलो, अभी तो हम कह देते हैं कि यह मार्ग निरंतर है, पर किसी दिन हमें इस सिद्धांत को पूरी तरह समझना चाहिए ।

जानी: यदि पश्चिम की दूरी x हो और उत्तर की y, तो x और y के संबंध का क्या समीकरण होगा ।

सैरा: मैने भी पहले अपना दिमाग खपाया पर फिर मां जी से पूछा । उन्होंने इस xy पेयर के लिए यह सर्वोचित्त संबंध निकाला । यह उसी का ग्राफ़ है ।

Fig,C1.2

जानी: अब तूने बिंदियां निकाल दी और एक रेखा खींच दी । क्या इसका कारण था कि अब हम इसे समीकरण से बना एक निरंतर फलन मान रहे हैं ?

जानी की मां उनसे डिन्नर डेट के बारे में पूछने के लिए आई । जब उसे पता चला कि वह इस नन्हे से और बिल्कुल सस्ते से रैस्टारांट में गए थे, वह प्रभावित नहीं हुई । वह भूल गई थी कि कई वर्ष पहले उसका अपना सपना भी यही होता था कि अपने बायफ़्रैंड के साथ रहने को घर हो । शायद इसी लिए उसे उनका प्रेमसंगत युक्ति का द्रृष्टिकोण समझ में नहीं आया ।

सैरा के पास बहुत समय खाली था । उसकी स्वयंसेवा के आरंभ होने में अभी दो सप्ताह थे । उसके बाद वह शरनार्थी बच्चों को मिलनसारी और भाषा के हुनर सिखाएगी । तब तक अपने प्रेमी के साथ समय व्यतीत करने से और क्या अच्छा हो सकता था ?  बस वही करती थी वह, पर अपना लैपटाप अक्सर साथ ले जाती थी ।

सैरा: जानी, याद है मैने तुझे y = x2/10 का ग्राफ़ दिखाया था । मैने उन जी पी एस के आंकड़ों से कुछ और भी किया ।

जानी: क्या ?

Slope और derivative

सैरा: बाद में, पर पहले तू बता कि यदि हमारी कार y = x2   के समीकरण से चल रही हो तो हमारे  y और x की ओर  चलने का अनुपात क्या होगा ।

जानी: कार कितना चलेगी इसमें ?

सैरा: मान लो एक चींटी या ant की लंबाई के बराबर जो a है ।  हम x से  x+ a पर जाते हैं, और हमारा समीकरण वही रहता है y = x

जानी: तो y अब (x+a)2  हो जाएगा । तो y में अंतर (x+a)2   – xहो जाएगा । क्योंकि कार a दूरी तक चली है तो y  का  अनुपात  ((x+a)2   – x2 )/a   हो जाएगा ।

सैरा: क्या मैं  (x+a)2    को x2 + 2ax + a2 लिख सकती हूं ?

जानी: बिल्कुल, तो y की चलन  x2 +2ax + a2 – x2  हो जाएगी । प्लस और माइनस  x2  कट जाएंगे और यह 2ax + a2   बन जाएगी । यदि हम इसे a से भाग कर दें तो हमें इसका slope मिल जाएगी जाएगा  2x + a  । अब x यदि 10 किलोमीटर हो और a चीटीं की लंबाई जैसी छुटकी सी तो क्या हम a को भूल नहीं सकते और इस slope को  2x लिख दें ?

सैरा: ना, गणित में तुम किसी भी संख्या को छोटे होने के कारण नहीं भूल सकते सिवाय जब वह संख्या शून्य हो । यह तो चींटी की लंबाई थी, यदि इसके स्थान पर एक रेत का कर्ण की लंबाई  होती तो हम उसे भी नहीं भूल सकते । यह समस्या फिर फलन के निरंतर होने पर आ जाती है ।  यदि फलन निरंतर हो तब हम एक लगभग शून्य संख्या को भूल सकते हैं । तब इसके  slope को derivative (अवकल) कहा जाएगा । तो y = xका derivative 2x होगा ।

पुस्तकों मे अक्सर y में बदलाव को δy लिखा जाता है और x के बदलाव को δx ।

तब  slope होगा  δy/δx = ((x+ δx)2-x2)/ δx

और इससे आ जाएगा  δy/δx = 2x + δx

जब δx की अंकसंख्या लगभग शून्य होगी तो हम कह सकते हैं कि  δy/δx की सीमा यानी  dy/dx = 2x है ।

हम इस तरह कलन (calculus) में एक निरंतर फलन की प्रवणता (slope, झुकाव) को y का  x से संबंधित अवकल (differential, derivative) या dy/dx का नाम देते हैं । कलन का संबंध ऊंचाई और क्षैतिज लंबाई के अनुपात (rise/run) यानी  slope से होता है । derivative निकालने के विषय को  अवकलन गणित (differential calculus) कहा जाता है, और यही तेरे calculus 1 के कोर्स में पढ़ाया जाएगा ।

जानी: सैरा, पर तूने तो कहा था कि मैक्लिंटन रोड की रेखा का समीकरण  y = x2/10 था ना कि  y = x2

सैरा: चल हम  y = x2/10 गुणा c   के लिए गणन कर लेते हैं इसमें c एक नियतांक (constant) है । देखते हैं क्या होता है । मैं लिख लेती हूं δy/δx = ((x+ δx)2-x2)/ δx) x c और तब  slope  निकलेगा (2x + δx) x c और dy/dx होगा  e 2x x

यहां c = 1/10  है, तो dy/dx = 2x/10 = x/5 हो जाएगा  ।

Fig.C1.3              याद है, तुझे अभी बताया था कि मैने उन जी पी एस के आंकड़ों से कुछ और भी किया था । मैने मैक्लिंटन रोड के मार्ग का थोड़ी थोड़ी दूरी बाद slope नापा था यानी उत्तर की चलने को पश्चिम की चलन का अनुपात । यह उसका ग्राफ़ है ।

जानी: मुझे तो कुछ समझ नहीं आ रहा । यह ग्राफ़ तो एक सीधी रेखा है ।

सैरा: हां, यह एक सीधी रेखा है जो दिखाती है की जैसे हम पश्चिम की ओर जाएं उत्तर/पश्चिम का अंकीय मूल्य बढ़ता है । यही मैने शुरू में ही कहा था, “देख, यह सड़क पहले तो अधिकतर पश्चिम की ओर जाती है और केवल थोड़ा सा ही उत्तर कि दिशा में पर फिर बाद में अधिकतर उत्तर की दिशा में जाती है ओर पश्चिम की ओर बहुत कम ” । मैक्लिंटन रोड के वर्णन का समीकरण था  y = x2/10 और इसका dy/dx = x/5 था  । तो इस सड़क के अलग अलग पर नापने से भी वही x/5 का slope  निकला जो dy/dx  था ।

dy/dx, d2y/d2x और d3y/d3x

जानी: तो हमने y = x2/10  का dy/dx कर लिया । जिसका मतलब था इसके slope  का समीकरण dy/dx = x/5   होगा । क्या हम इस dy/dx का derivative भी निकाल सकते हैं ?

सैरा: हां, क्यों नहीं ।  dy/dx = x/5, d2y/d2x = ((x + δx – x)/ δx))/5 = 1/5 । याद है y = x/5    का ग्राफ़ एक सीधी रेखा थी जिसका  slope हर x  पर वही रहेगा, यानी यह नियतांक है 1/5   । ग्राफ़ से नाप कर भी देख ले ।

जानी: तो कलन में derivative  के derivative को क्या कहते हैं ?

सैरा:  इसे second derivative या d2y/d2x कहते हैं ।

जानी:  इसका मतलब है कि इस सड़क का समीकरण था y = x2/10, जिसका dy/dx था x/5, और d2y/d2x  1/5    था । क्योंकि  1/5     तो एक नियतांक है तो क्या third derivative  यानी d3y/d3x  शून्य होगा ? वाह भई वाह, मस्ती आ गई ।

जानी ने यह कह तो दिया पर इसे हजम करने में उसे थोड़ा सा समय लगा । इसे समझने के बाद उसके मुंह से एक प्रश्नों का समूह निकला । देखें वह प्रश्न क्या थे ।

जानी: यदी फलन कई सरल फलनों का योगफल हो तो उसका derivative कैसे निकालेंगे ? बीजगणित में एक द्विघाती समीकरण था y = ax2 + bx + c , इसका derivative कैसे पता करेंगे ?

सैरा: सरल है । हर भाग का derivative  निकाल लो और सब भागों के derivative का योग कर दो । अब ax2  का derivative  है  2ax, bx  का  b  और  नियंतांक c का शून्य । इनका योगफल 2ax + b होगा । इस लिए y = ax2 + bx + c      के लिए  dy/dx होगा   2ax + b  ।

जानी:  y = x3 का derivative  क्या होगा ?

सैरा: वैसे तो हम इसको हल भी कर सकते हैं पर हमारी पुस्तक में एक सूत्र भी दिया हुआ है y = xn का derivative nxn-1   । इस सूत्र के अनुसार dx3/dx = 3x2    ।

derivative का मतलब साफ़ साफ़ नहीं समझा

सैरा ने देखा कि जानी आज की बात से बहुत प्रभावित हुआ था पर खोया खोया सा लग रहा था ।

जानी: सारे derivative  निकालने की विधि तो आ गई पर इनका मतलब साफ़ साफ़ नहीं समझा ।

सैरा: अपनी नई साइकिल के बारे में सोच । इस पर लगे यंत्र odometer   से तुझे पता होता है कि तू कितनी दूर (s) गया है और कितने समय (t) में । अब तू अपनी गति जानना चाहे तो वह ds/dt होगी और यह तू अपनी साइकिल पर लगे यंत्रों से इसे जांच भी सकता है । तेरी खड़ी हुई साइकिल कि गति तो शून्य थी । तेरी गति किस रफ़्तार से बढ़ी, यह d2s/dt2  हो जाएगा, इसे  गतिवर्द्धन  भी कहते हैं  । अब  तेरी गतिवर्द्धन कितनी तेज़ी सै बढ़ी, यह d3s/dt3    होगा ।

कई कार वाले अपने इश्तिहार में भी कहते हैं की उनकी गाड़ी कितनी तेज़ जा सकती है, उसका अधिकतम गतिवर्द्धन  कितना है और यह गतिवर्द्धन  किस रफ़्तार से बढ़ सकता है ।

जानी: तू मेरी साइकिल की बात करके मुझे सब कुछ समझा देती है – पहले ट्रिग और अब कलन । इसके बिना तो मैं खो गया था ।

सैरा: यह चुटकला मैने कहीं सुना था:

अमेरिकन राष्ट्रपति रिचार्ड निक्सन ने अपने campaign के दौरान कहा कि उनकी पहली राष्ट्रपति के टर्म में मंहगाई बढ़ने का गतिवर्द्धन कम हो गया । यह पहली बार थी जब किसी राष्ट्रपति ने चुनाव के लिए  एक third derivative  की दलील दी ।

जानी: वह तो बड़ा धोखेबाज़ आदमी था । खैर, मैने एक ऐसा समाचार भी पढ़ा था: वैंकूवर में मकानो के बिकने की गति में कमी की रफ़्तार बहुत बढ़ रही है । यह भी एक third derivative    का समाचार था ।

चुनौती

जानी की कार खड़ी है । जब वह गाड़ी को स्टार्ट करने के बाद पैट्रोल पैडल को दबाएगा तो उसकी गाड़ी t सैकंड में s दूरी पार कर लेगी जब की s = 0.5 + at2  है, a इसकी गतिवर्द्धन मीटर/सैकंड2 है  है । अब 10 सैकंड के बाद कार की गति क्या होगी ?

उत्तर: s = 0.5 + at2  इस लिए ds/dt = 0.5 a x 2 t = at

a = 3 मीटर/सैकंड2 और t = 10 sec, ds/dt = 30 मीटर/सैकंड = 108 किलोमीटर/घंटा  ।