पैरिस का आइफ़ल टावर

              जॉनी, अपनी वाटर टैंक की यात्रा को लेकर उत्साहित था । सैरा ने जिस तरह से उसे दिखाया था कि कोण और दूरी को मापकर एक टावर की ऊंचाई कैसे निर्धारित की जाती है, वह उससे प्रभावित हुआ था  । उसके दिमाग में यह बात जम गई थी कि सैरा  किसी भी टावर की ऊंचाई इस तरह से माप सकती है – न्यूयॉर्क की स्टैच्यू ऑफ़  लिबर्टी,  टोरंटो का सी.एन. टॉवर, पैरिस का आइफ़ल टॉवर या दिल्ली में कुतुब मीनार भी ।  वह इन स्थानों की ऊँचाइयों की दूरियों का उपयोग करके शहरों में विभिन्न स्थानों से कोणों का अनुमान लगा सकता है। रात भर वह यही सपना देखता रहा ।

      सुबह सैरा और जॉनी पैदल स्कूल जा रहे थे –  जॉनी हमेशा की तरह अपनी बाइक पर था । जब  जॉनी ने सैरा को अपने आइफ़ल टॉवर के सपने के बारे में बताया, सैरा ने कहा कि स्कूल के बाद इसके बारे में बात करनी चाहिए । स्कूल के बाद, सैरा घर गई और बाद में जॉनी को फ़ोन करके पूछा कि क्या वह आ सकती है। जॉनी को कम ही पता था कि वह क्या कर रही है। वह चेहरे पर एक बड़ी मुस्कान के साथ आई ।

              सैरा: जॉनी, मैंने पैरिस में अपने इंटरनेट मित्र जाक डेग्रास से बात की और उसे तेरे सपने के बारे में बताया।

जॉनी: उसने क्या कहा?

              सोफ़ी की परियोजना

              सैरा: उसकी प्रेमिका सोफ़ी ने इस विषय पर पिछले साल “अन प्रोजेक्ट स्कोलायर एन जियोग्राफी” किया था । उसने मुझे सोफ़ी से मिलवाया । वह उत्साहित थी कि अटलांटिक महासागर के पार किसी को उसकी परियोजना में दिलचस्पी थी। उसने एक सेक्स्टेंट और गूगल मानचित्र से दूरियों का उपयोग करके कोणों को मापा । उसने मुझे सब कुछ समझाया और मुझे वह डेटा भेजा जो मेरे लैपटॉप में है ।

   जॉनी: तूने आज स्कूल के बाद यह सब किया

   सैरा: हां, जगह-जगह दोस्त बनाने से मदद मिलती है ।

जॉनी: तो उसने अपने भूगोल प्रोजेक्ट में वास्तव में क्या किया ?

सैरा: यह आइफ़ल टॉवर क्षेत्र का पहला नक्शा है जो उसने मुझे भेजा था, इस पर पर्यटकों के लिए एक पैदल मार्ग चिह्नित है । उसने होटल डुक्सेन आइफ़ल से शुरुआत की और इसे स्पॉट X कहा । फिर वह स्पॉट Y पर गई, जो रू डेसेक्स पर थी, और अंत में टॉवर के बहुत करीब एक स्थान पर गई जिसे उसने Z कहा । यह उसी नक्शे की उसकी दूसरी तस्वीर है ।

           सोफी के नक्शे से जॉनी प्रभावित हुआ

           जॉनी: मैं देख रहा हूँ, नक्शे में 200 मीटर का पैमाना है । होशियार लड़की, उसने नक्शे पर टावर के बीच से लेकर ‍, Y और Z तक की रेखाएँ खींचीं। इन रेखाओं की लंबाई और पैमाने से उसने गणना की कि वह कितनी दूर है।

           सैरा: हाँ, X 1156 मीटर दूर था, Y 356 मीटर दूर था और Z 177 मीटर दूर था। उसने आगे क्या किया इसका एक स्केच यहां दिया गया है।

           जॉनी:   उसने स्पॉट X से दो कोणों को मापा – एक जमीन से टावर के शीर्ष तक (कोण XAB) और दूसरा जमीन से पहली मंजिल (XAC) तक। फिर उसने Y और Z स्पॉट के लिए वही काम किया। उसकी तालिका में ये डेटा है।

स्पॉट	टावर से दूरी – d	कोण XAB	कोण XAC
X	1156  मीटर	15.7⁰	2.9⁰
Y	356  मीटर	42.3⁰	9.3⁰
Z	177  मीटर	67.7⁰	23.6⁰

            सैरा और जॉनी टावर की ऊंचाई की गणना करते हैं ।

सैरा: क्योंकि टावर जमीन से लंबवत है, हम कह सकते हैं कि त्रिभुज XAB एक समकोण त्रिभुज है, जिस का आधार XA = d है और टावर की ऊंचाई AB = H है ।

  जॉनी: हाँ, और वही इन सभी समकोण त्रिभुजों के लिए मान्य होगा। फिर ऊँचाई/आधार = tan (XAB) और H = d tan (XAB)। यह हमें सभी ऊंचाइयां देगा ।

आइए उन्हें एक तालिका में रखें। 

स्पॉट	दूरी – d  मीटर	टावर	पहली मंजिल
		कोण	ऊँचाई	कोण	ऊँचाई
X	1156 मीटर	15.7⁰	325 मीटर	2.9⁰	59 मीटर
Y	356 मीटर	42.3⁰	324 मीटर	9.3⁰	58 मीटर
Z	177 मीटर	67.7⁰	324 मीटर	23.6⁰	58 मीटर

 आइफ़ल टावर के लिए दी गई ऊंचाई 324 मीटर है। तो तेरा  जवाब सही है । जॉनी तूने काम पूरा कर दिया ।  तेरा सपना सच हो गया है ।

  जॉनी: धन्यवाद सैरा । हमें सोफी का भी शुक्रिया अदा करना चाहिए ।

   सैरा: मैंने  किया था । तेरे सपने को हकीकत में लाकर वह भी बहुत खुश थी । मुझे लगता है, एक सप्ताह के अंत में हमें स्टैच्यू ऑफ लिबर्टी देखने जाना चाहिए ।

जॉनी: हां, मुझे वह अच्छा लगेगा ।

चुनौती

           बिल्लू अपने घर के पास एक खेल के मैदान से अपनी पतंग उड़ाना पसंद करता है । आज हवा चल रही है और उसकी पतंग अच्छी तरह उड़ रही है ।  जमीन और डोर  के बीच का कोण 30⁰ है । हवा उसके स्कूल की दिशा में है जो कि 1 किलोमीटर दूर है । उसके पास केवल 1.5 किलोमीटर लंबी डोरी है और वह सोच रहा है कि क्या पतंग के स्कूल तक पहुँचने के लिए यह काफ़ी लंबी होगी।

 समाधान: यहाँ चित्र है। उसका प्रारंभिक बिंदु A है, और स्कूल बिंदु B पर है। डोर को C पर मिलने के लिए B से एक लंबवत रेखा खींची जा सकती है। इस समकोण त्रिभुज में, कोण BAC = 30⁰ (दिया गया है)।

AB/AC = cos 30⁰ = 0.866

क्योंकि AB = 1 किलोमीटर, 1/AC = 0.866 या AC = 1/0.866 = 1.1547 किलोमीटर।

इसलिए, वह जितना करना चाहता है, उसके लिए उसके पास पर्याप्त (1.5 किलोमीटर) से अधिक डोरी है।