CBSE and SAT

CBSE与SAT：百分位数、平均数、中位数和众数

伊舒在印度中央中等教育委员会（CBSE）考试中取得了80%的成绩

拉尼娅·阿里老师有一种独特的教学方式。她经常通过与学生兴趣有关的故事来授课。下面就是她讲的一个故事。

阿里老师：我相信，你们的父母都要求你们努力学习、专心读书，好在考试中取得优异成绩。你们知道，他们爱你们，希望你们能够进入好大学，学习自己喜欢的专业。

这个故事讲的是拉胡尔·维尔马先生。他总是叮嘱女儿伊舒努力学习。伊舒是一名好学生，参加了十二年级的CBSE考试。（CBSE是印度中央中等教育委员会，其考试在印度各地举行，参加考试的学生超过十万人。）

伊舒：爸爸，我的CBSE考试得了80分（满分100分），比你当年中学考试的70分高了10个百分点。

爸爸：伊舒，现在的考试分数比我们那个年代普遍偏高。

伊舒：爸爸，你就承认吧，我的成绩比你好。

爸爸：别急。我们有办法检验一下。今年参加考试的学生中，你的分数超过了百分之多少的人？

伊舒：你是说我的百分位排名吗？我们可以在这个网站上查询： https://varic.com/percentile/xv

他们打开网站，计算了不同分数对应的百分位排名。

伊舒：看吧，爸爸！我得了80%，对应第69百分位，也就是说我的分数超过了69%的考生。我还算出，71.8%的成绩超过了50%的考生。

爸爸：我保留着我那一年分数与百分位排名的资料。你看，在我那个年代，80%的成绩对应第99.8百分位，而不是你们这一年的大约第70百分位。我当年得了70%，对应第90百分位。所以你的成绩超过了约70%的考生，这很不错；但我的成绩竞争力更强，超过了90%的考生。当时第50百分位对应的分数是40%。

拉穆（班上的一名学生）举手，请老师进一步解释为什么两个年代的分数差别这么大。

阿里老师：有两个因素。首先，在爸爸那个年代，考试要求学生用文字详细作答。很难判断怎样的答案才算完美，因此除数学等科目外，通常很少给满分。而在伊舒的年代，考试中有选择题，答对就得满分，答错就不得分。第二个因素是分数膨胀，因为现在的考试有一种倾向，就是不再出特别难的题目。

另一名学生丽图：老师，看来爸爸说得对，而不是伊舒。百分位数还有其他用途吗？

阿里老师：丽图，我喜欢你的幽默感。百分位数有很多用途。先说大学录取。大学会依据百分位排名来决定录取顺序，所参考的可能是CBSE成绩、学校自己的入学考试，或SAT、MCAT等考试。医生也用百分位数来评估婴儿的健康与生长情况。有些道路的限速标准会参考车辆行驶速度的第85百分位。

阿里老师接着说：我这里有一张你们上次考试成绩的图表。我们来想一想：这张图的中心在哪里？

丽图：大概在中间，也就是平均成绩所在的位置。我们可以把所有人的分数加起来，再除以学生人数，就得到平均分。

阿里老师：丽图，想得很好。这叫作算术平均数（mean）。我算出来是70分。

拉穆：为什么不能用刚才的百分位数呢？第50百分位对应的成绩超过班上一半学生的成绩。我从图上看到它是74%。这样就不用把所有分数加起来再除以人数了。

阿里老师：拉穆，第50百分位也叫中位数（median）。所以中位数是74分。

索尼娅：我喜欢时尚，也喜欢最流行的东西。我们能不能用最常见的分数？图上出现次数最多的是76分，有五名学生得了这个分数。

阿里老师：索尼娅，你引出了众数（mode）的概念。出现频率最高的数值就叫众数。

拉穆：我发现一个问题。平均数、中位数和众数都不一样。

索尼娅：拉穆，它们都在用不同的方法描述图表的中心。平均数是把所有学生的百分制成绩加总后除以人数；中位数则与百分位排名有关。

阿里老师：当数据围绕中心对称分布时，平均数和中位数相同。因此，比较平均数和中位数也能帮助我们了解数据的分布情况。

索尼娅：我想，众数可以告诉我们许多学生共同表现出的一种突出特点。我喜欢这个概念，因为众数就像时尚一样，代表某种特别流行的东西。

阿里老师：平均数、中位数和众数都是描述集中趋势的指标。我们可以用它们比较不同的数据，并进一步了解数据的特征。

比较CBSE十二年级考试与SAT考试的成绩

这里有两张曲线图，展示CBSE十二年级考试和SAT考试的百分位排名与百分制分数之间的关系。SAT（学术能力评估考试）是美国的一种标准化考试，用于美国大学招生。这两条曲线在什么位置相交？你认为第20百分位的成绩足以让你在希望申请的学校中具有竞争力吗？比较这两条曲线后，你还发现了什么有趣的现象？