Johnny podía resolver problemas simples de integración.
Johnny estaba feliz de que ahora podía resolver problemas simples de integración. De hecho, estaba emocionado y encontró varios problemas en línea y los intentó. Algunos de ellos eran sencillos y los pasó rápidamente. Hubo otros con los que se quedó atrapado. Se lo mencionó a Sara porque sabía que ella siempre iba dos pasos por delante de él.
Johnny: Hice muchos problemas en línea sobre integración. Estaba feliz de poder hacerlos, pero algunos de ellos eran difíciles y no sabía cómo abordarlos.
Sara: El truco es usar más de lo que aprendiste sobre derivadas. Podemos hablar de dos enfoques. Primero, ¿recuerdas la regla de la cadena en la diferenciación?
Johnny: Recuerda Sara, saqué A+ en Cálculo I. Por supuesto, recuerdo la regla de la cadena. Aquí está:
dy/dx = (dy/du). du/dx
Sustituciones basadas en la regla de la cadena
Sara: Oye, eso es bueno. Al igual que la regla de la cadena para las derivadas, también puedes usar una sustitución similar en la integración. Esto es interesante y, a veces, desafiante porque sus habilidades radican en encontrar una sustitución. El objetivo es convertir un ∫y/dx más complicado en un ∫udu más simple. Aquí hay un ejemplo:
Como puede ser complicado resolver ∫3x2 (x3+5)9 dx, podemos usar la integración por sustitución. Podemos hacer la sustitución u = x3+5 porque du/dx = 3×2 o du = 3×2 dx.
Entonces ∫3×2 (x3+5)9 dx = ∫ (x3+5)9 3x2dx = ∫ u9 du = u10/10 + c = (x3+5)10/10 + c.
Johnny: lo tengo Dame uno para hacer ahora.
Sara: Bueno, este puede ser más difícil. ¿Cuánto es ∫(tan x . sec x)dx?
Johnny pensó durante unos minutos y luego dijo: déjame intentar reescribir u = cos x.
Entonces du/dx = -sin x o du = -sin x.dx. Por lo tanto,
∫(tan x .seg x)dx = ∫ (sen x)/(cos2 x)dx =∫ – 1/u2 du = 1/u + C = 1/cos x + c = sec x + c
Sara verificó la respuesta en busca de errores. No hubo ninguno. Le dio a Johnny un gran abrazo porque si al gran idiota se le ocurriera esta complicada solución, sin duda obtendría una A plus en Cálculo 2.
Johnny: Pensé que ibas a decir dos tipos de métodos, ¿Cuál es el segundo?
Sustituciones basadas en la regla del producto
Sara: Ah, sí, la segunda. ¿Recuerdas la regla del producto para la diferenciación?
Johnny: Sí, eso fue d(uv)/dx = udv/dx + vdu/dx
Sara: Entonces también puedes escribir ∫d(uv)/dx = ∫udv/dx + ∫vdu/dx o uv = ∫udv/dx + ∫vdu/dx o uv = ∫udv/dx + ∫vdu/dx ot ∫ udv/dx = uv- ∫vdu/dx
Johnny: Sí, pero puedes mostrarme cómo usarlo para la integración.
Sara: Hagamos esta integral
∫xcos(x)dx
Sustituyamos u = x y dv = cos x dx para que tengamos que integrar udv
Entonces du/dx =1, y v = sen x, uv = x senx, y ∫vdu = cos x
∫udv = uv- ∫vdu = x sen x + cos x + c donde c es una constante.
Johnny: Deberíamos dejar el resto para mañana porque tengo que irme a casa ahora.
Johnny probó algunas preguntas de práctica más del libro Cálculo 2. Pensó que era un desafío, pero le gustó. Al día siguiente, como de costumbre, Sara y Johnny trabajaron juntos en lo que a Johnny le resultó más desafiante.
Desafío
Resolver para ∫x2sin(10x)dx
Solución: Sustituyamos u = x2 y dv = sin (10x)dx
Entonces du/dx o du = 2x y v = – cos (10x) / 10 x
∫x2sin(10x)dx = ∫uvdx y ∫udv/dx = uv- ∫vdu/dx =
– x2cos (10x) / (10 x) +((1/5)(xsin(10x) /10)-(1/10) ∫sin(10x)dx) + c =
– x2cos (10x) / 10 x +((1/5)(xsin(10x) /10)+1/100 cos(10x)) + c =
– x2cos (10x) / 10 x + (xsin(10x)) /50+ (cos(10x))/500+ c
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