El picnic de la clase de grado 12
La clase del grado 12 decidió que deberían ir juntos a un picnic. Wendy, la representante de la clase, había tomado esta decisión al hablar con algunos de sus amigos. Esta puede ser la última oportunidad para que se reúnan de esta manera porque después del año escolar, todos podrían ir en diferentes direcciones: colegios, universidades, trabajo o pasantías, quién sabe. Se colocó un aviso en el tablero de información de la escuela donde cualquiera podía poner un aviso. También se informó el lugar y la fecha del picnic. El picnic sería un fin de semana ya que no fue un picnic organizado por las autoridades escolares. Wendy y sus amigos pensaron que los estudiantes de la clase eran lo suficientemente maduros para tomar sus propias decisiones. Todos los gastos tendrían que ser asumidos por los estudiantes. También tendrían que ser responsables de sus propios viajes. Wendy también les pidió a los estudiantes que la contactaran si querían ir.
Había 150 estudiantes en la clase pero solo 25 querían ir. Otros pensaban que estaba demasiado cerca de los exámenes finales o que tenían otras responsabilidades. Johnny le había pedido a su mamá que le prestara su auto. También le ofreció un paseo a su novia Sara. También se llevaría a otros dos amigos con él. En el picnic, hubo un almuerzo informal. Todos habían llevado uno o dos artículos pequeños para que muchas personas los compartiesen. También tuvieron mucha diversión y juegos, después de lo cual llegó el tiempo libre. Se decidió que todos podían dar la vuelta y regresar en una hora. Después de regresar, podrían tomar un poco de refresco o agua antes de despedirse de todos.
Pasea por el lago cerca de los terrenos de pícnic
Johnny y Sara dieron un paseo por el lago junto a los terrenos de picnic. Era un lago enorme con una playa pedregosa. Había un pequeño sendero alrededor para caminar. Estaba protegida por grandes árboles que daban sombra. Los tortolitos caminaban tomados de la mano que se balanceaban juntos de un lado a otro. Mientras disfrutaban, vieron un gran tablero informativo que decía:
“PRECAUCIÓN: Por favor, no haga un picnic muy cerca del lago. El agua puede subir repentinamente. En 2007, hubo una lluvia repentina que duró varias horas durante las cuales el nivel del agua en el lago aumentó rápidamente a razón de 1 centímetro por minuto. Las fotografías aéreas mostraron que el área del lago también aumentó a razón de 1 metro cuadrado por minuto. El agua llegó cerca del camino. Muchas personas tuvieron que despejarse rápidamente porque estaban sentadas y disfrutando demasiado cerca del lago”.
Johnny y Sara decidieron caminar de regreso al área de picnic. Se despidieron de todos y regresaron.
El enigma de Johnny
En casa, Johnny estaba sentado en un pensamiento profundo.
Sara: ¿que te pasa johnny? Te ves perdido.
Johnny: Todavía estoy pensando en lo que leímos en el aviso en el lago. Estoy tratando de averiguar cuánta agua se ha estado agregando al lago en el punto máximo de la lluvia.
Sara: ¿No fue la tasa de aumento de 1 centímetro por minuto y el aumento en el área del lago a razón de 1 metro cuadrado por minuto?
Johnny: Sí, pero eso no me dice cuánta agua. ¿Debería simplemente multiplicar 1 centímetro por minuto por 10 000 centímetros cuadrados (1 metro cuadrado) y decir que fueron 10 000 centímetros cúbicos por minuto?
Sara: Esa no es la forma correcta. Creo que tienes que usar la regla del producto.
Jhonny: que es eso?
Fórmula de producto para la diferenciación.
Sara: Ambas son funciones del tiempo. Digamos que el aumento en el nivel del agua es f1(t) y el aumento en el área es f2(t). La tasa de cambio en f1(t) será f ‘1(t) y el cambio en f2(t) será f ‘2(t). Si el cambio en la cantidad de agua es fw(t), entonces de acuerdo con la fórmula del producto:
f’w(t) = f1(t) . f’2(t) + f2(t) . f’1(t).
Johnny: ¿Por qué molestarse con estas cosas complicadas? ¿Qué hay de malo en la forma en que lo hice?
Sara: Hay mucha información que podrías perderte. Digamos que cuando comenzó a llover, el lago tenía un área más pequeña y el nivel del agua aumentó 1 centímetro por minuto y también más tarde durante ese período, la tasa de aumento aún era de 1 centímetro por minuto cuando el lago se había vuelto más grande. Entonces el f’w(t) sería mucho mayor cuando el lago fuera más ancho que al principio. La fórmula de este producto te obliga a pensar en tal posibilidad.
Johnny: Dame algún ejemplo más donde se tendría que aplicar la fórmula del producto.
Sara navegó por Internet durante un minuto y luego dijo, aquí hay uno:
“Jack recolecta bayas silvestres del valle de Tinka y luego las vende en la ciudad para ganarse la vida. Está preocupado. Cada año siguen apareciendo muchos desarrollos de viviendas en el valle, por lo que el área A para el crecimiento de la baya disminuye al ritmo de dA/dt metros cuadrados por año. Al mismo tiempo, la contaminación en el valle aumenta cada año, por lo que el crecimiento G por kilómetro cuadrado de las bayas en la naturaleza disminuye a una tasa de dG/dt por año. ¿Cuál es la tasa neta disminución en las bayas disponibles para la recolección del valle?”
Johnny: ¿Hay más ejemplos?
Aplicaciones de la fórmula del producto
Sara: Muchos de ellos. Se relacionan con la economía, los negocios, la ingeniería, la medicina y la ecología.
Johnny: Eso es interesante. Sé que el aviso en el lago nos dio los valores de las tasas de aumento en el nivel del agua y el área del lago, y calculamos la tasa de aumento en la cantidad de agua del lago usando
f’w(t) = f1(t) . f’2(t) + f2(t) . f’1(t).
Pero si nos dieron las tasas para el aumento en la cantidad de agua f ‘w(t) y el aumento en el nivel f ‘1(t), ¿podríamos haber descubierto también el cambio en la tasa de aumento en el área de el lago f ‘2(t).
Sara: Sí, nuestro libro dice que entonces podemos usar la regla del cociente que sería
f ‘2(t) = (fw(t)/ f1(t))’ = (f1(t). f ‘w(t) – fw(t).f ‘1(t)/(f1t)2
En realidad, el libro escribió las dos fórmulas generales como
Regla del producto: d(uv)/dx = vdu/dx +udv/dx
Regla del cociente: d(u/v)/dx = (v(du/dx) – u(dv/dx))/v2
Johnny: Me compadezco de los chicos que no fueron al picnic porque estaba demasiado cerca de los exámenes finales. En realidad, me ayudó. Incluso podría tener éxito en Cálculo. Gracias a ti y al picnic que trajo estos temas.
Desafío
Las calificaciones de Johnny en la clase 8 eran muy malas. Entonces conoció a Sara. Sara no solo era inteligente y tenía buenas notas, sino que también era amable con Johnny. Ella lo amaba y también le dio consejos para mejorar sus calificaciones. Johnny también empezó a estudiar más. Su profesor de matemáticas le dijo que sus calificaciones habían ido mejorando a lo largo de los años con el tiempo con la función G(t) = (t-.006t3)(1+0.5t) donde t es el tiempo en número de semestres. Johnny ahora ha estado con Sara durante 6 semestres. ¿Puede decirle si se espera que sus calificaciones mejoren después de este semestre si continúa esta tendencia?
Solución: las calificaciones de Johnny siguen la tendencia G(t) = (t-.006t3)(1+0.5t)
Lo que necesita saber es si dG/dt es positivo en t =6.
Puede simplificar la función primero y diferenciar o usar la regla del producto. Usemos la regla del producto
G(t) = (t-.006t3)(1+0.5t)
dG/dt = (1-.018t2)(1+0.5t) + (t-.006t3) x 0.5
dG/dt = En t = 6, dG/dt = (1-.018×62)(1+0.5×6) + 0.5(6-.006x 63) = 1.408 + 2.352 = 3.76
Por lo tanto, dG/dt es positivo en t = 6 y Johnny puede sonreír porque sus calificaciones seguirán mejorando.
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