Haz una forma usando la cuerda de 100 metros de largo.
Perimetras (nombre ficticio) fue un rey generoso en Grecia. A su gente le gustaba porque pensaban que era un buen protector. Ayudó que no recaudara impuestos muy altos. Una de sus cualidades únicas era que a Perimetras le gustaban los intelectuales y celebraba una corte todos los meses. También fue muy generoso. Un día llamó a los intelectuales Acusilaus, Aeginetta, Domophon y Menaechmus.
Rey Perimetras: Les daré a cada uno de ustedes una cuerda de 100 metros de largo y la cantidad de clavijas que necesiten. Tendrás que hacer una forma usando esta cuerda y las clavijas. Cada uno de ustedes tendría que hacer una forma diferente. La persona que haga la forma con el área más grande obtendrá como premio una casa y 10 cabras. Acusilao, toma la cuerda y tantas clavijas como quieras para hacer una forma.
Triángulo, cuadrado y un hexágono
Acusilao no conocía muchas formas sino un cuadrado. Así que tomó 4 estacas e hizo un cuadrado con un parámetro de 100 metros para que cada lado tuviera 25 metros. El área del cuadrado era 25 x 25 = 625 metros2.
Acusilao: Su alteza he hecho un cuadrado. Es hermoso y tiene un área de 625 metros2.
Rey Perimetras: Domophon, ahora es tu turno. No se puede hacer un cuadrado porque ya se ha hecho.
Domophon hizo un triángulo con cada lado siendo un tercio del perímetro de 100 metros. Así cada lado tenía 33,3 metros.
Rey Perimetras: Domofonte, veo que hiciste un triángulo equilátero. ¿Cuál es su área?
Menaechmus: Soy matemático y estoy al día en la obra de Pitágoras. Este triángulo tendría una base de 33,3 metros y una altura de 28,83 metros. Por tanto, el área del triángulo ABC será base AB x altura CD/2 o 33,3 x 28,83/2 que es igual a 480,16 metro2. Su alteza, también puedo darle una prueba de esta área.
King Perimetras: Así que incluso más pequeño que el cuadrado. Aeginetta, ahora es el turno.
Aeginetta: Su alteza, necesito 6 clavijas y haré un hexágono, una forma con 6 lados iguales. La cuerda tiene 100 metros de largo. Entonces cada lado tendrá 16,67 metros de largo.
Menaechmus: Te puedo decir el área de esta forma. Esta forma es la suma de 6 triángulos equiláteros cada uno con una base de 16,67 metros (100/6). La altura de cada triángulo será de 14,42 metros. El área total de la forma será de 6 x 16,67 x 14,42 /2 metros2 lo que equivale a 720,25 metros2.
King Perimetras: Esta es la mejor forma hasta ahora. Una vez más, asumo que usted puede dar pruebas. Menaechmus, ¿eso significa que el hexágono gana el premio?
La relación entre el área y el perímetro aumenta con el número de lados
Menaechmus: Su alteza, como puede ver, la forma de 3 lados tenía el área más pequeña, la forma de 4 lados tenía un área más alta, pero la forma de 6 lados era la más alta hasta ahora. La relación entre el área y el perímetro aumentó con el número de lados de la figura. Haré una forma de lados infinitos que es un círculo. El círculo tendría una circunferencia de la longitud de la cuerda (100 metros), lo que significa que su radio será 100/(2π) o 15,92 metros. El area de este circulo sera π x radio2 que sale a 795.77 metro2. Esa es el área más grande que puede obtener con la cuerda de 100 metros de largo.
Rey Perimetras: Ganas el premio. Estoy impresionado de cómo me mostraste que cuantos más lados tiene una forma, mayor es la relación entre el área y el perímetro.
Pruebas
Utilizar el imágenes dibujadas en la historia.
Área del triángulo equilátero: El triángulo ABC tendría una base de 33,3 metros. Dibuja una línea CD que sea vertical a AB. Los ángulos ADC y BDC son ambos ángulos rectos, el ángulo A y el ángulo C son iguales porque es un triángulo isósceles. El lado CD es común a los triángulos ACD y BCD. Por lo tanto, los dos triángulos son congruentes. Por lo tanto AD = BD =33.3/2 =16.65 metros
ACD es un triángulo rectángulo con una base de 16,65 metros y una hipotenusa de 33,3 metros. Por tanto, la altura será de 28,83 metros porque según Pitágoras hipotenusa2 = base2+ altura2. Por tanto, el área del triángulo ABC será base AB x altura CD/2 o 33,3 x 28,83/2 que es igual a 480,16 metros2.
Área del hexágono: Hexágono es una forma con 6 lados iguales. Dibuja líneas que conecten las esquinas; cada ángulo será de 360/6 o 60°. Todos los ángulos de un triángulo suman 180° y, por lo tanto, cada uno de los otros ángulos de este triángulo isósceles será (180-60)/2 o 60°. Siendo los tres ángulos iguales, es un triángulo equilátero. Por lo tanto, esta forma es la suma de 6 triángulos equiláteros cada uno con una base de 16,67 metros (100/6). Nuevamente, se puede probar usando el teorema de Pitágoras que la altura de cada triángulo será de 14,42 metros. Cada uno de los triángulos equiláteros tendrá un área de 16,67 x 14,42 /2 metros2 que es de 120,04 metros2. Entonces el área total será de 6 x 120.04 metros2 o para ser exactos 720.25 metros2.
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