El cumpleaños del sobrino de Tommy, Cody.
Johnny y Sara estaban sentados en la cafetería de la escuela cuando Tommy, un amigo en común, se les unió. Tommy parecía estar feliz y emocionado. Sara le preguntó a Tommy por qué estaba tan emocionado.
Tommy: Es el cumpleaños de mi sobrino Cody. El pequeño cumplirá tres años este domingo.
Sara: Eso es genial. Debe gustarte.
Tommy: Sí, me gusta mucho el pequeño bribón. Cada vez que voy a su casa, me da un gran abrazo y luego me sigue hasta que me voy. Supongo que no solo le gusto, sino que también me admira. Quiero hacer algo especial para su cumpleaños.
Johnny: ¿Lo invitarías a tomar un helado o algo así?
Tommy: No. Quiero hacer algo más grande y más especial que eso. El año pasado le compré una patineta. Ahora, él es muy bueno con eso. Hace un mes, lo llevamos a un parque de patinaje. Observó a niños y niñas subir a diferentes tipos de rampas de lanzamiento y picas. Le encantó y quiso intentarlo, pero no lo dejamos porque es demasiado joven.
Johnny: Entonces, ¿qué estás planeando?
Tommy quería darle rampas de skate a Cody
Tommy: Sabes que la familia de Cody vive en el campo y tienen un largo camino de entrada. Estoy pensando en comprarle un par de pequeñas rampas de skate. Apuesto a que se divertirá con ellos, pero tienen que ser lo suficientemente pequeños para que no se lastime. Ya tiene un casco y tendrá que ponérselo también.
Sara: Entonces, ¿cuál es el problema?
Tommy: Si la rampa es muy baja, no será divertido para él, pero si es demasiado alta, podría lastimarse. Vi una rampa con un ángulo de inclinación de 10° y la superficie inclinada en la parte superior era de 60 centímetros (cm). Que tenía una altura de 10,44 cm. Quiero otra rampa de 60 cm con una altura de 15 cm. Al principio, podría usar estas dos rampas por separado. Cuando se vuelve realmente bueno, puedo apilar y pegar una rampa encima de la otra para hacer una muy alta. No sé cuál será la altura entonces. Sara, ¿puedes ayudarme a resolver esto?
Sara: Por supuesto que te puedo ayudar. Primero, echemos un vistazo a las rampas individuales.
La rampa A tiene una inclinación de 10° y una superficie inclinada de 60 cm de largo.
Ahora, sin A = sin 10° = 0.174. Eso significa que la altura/hipotenusa = 0,174. Con una hipotenusa de 60 cm, la altura sería 0,174 x 60 cm o 10,44 cm. También puedes calcular que el cos A de esto es √(1 – 0,1742) = 0,985, porque sen2 A + cos2 A=1.
Tommy: Ya te di las medidas. ¿Por qué estás haciendo esto de nuevo?
Sara: Solo para mostrarte que esta relación funciona. Ahora para la Rampa B, la altura es de 15 cm. Eso significa sin B = 15 cm/60 cm = 0,25 o ángulo B = 14,48°.
Tommy: Debería poder comprar una rampa de 15°. Eso es bueno. Vale, sin B = 0,2588 y cos B = 0,966. Entonces esta rampa tendría una altura máxima de 0.2588 x 60 o 15.53 cm.
Apilar rampas de patinetas para obtener más altura
Sara: Si apilas una rampa de ángulo de inclinación B encima de una rampa de ángulo A, el ángulo total será A + B. La hipotenusa seguirá siendo la misma: 60 cm. Entonces necesitamos encontrar el pecado (A+B). La forma más sencilla será obtener el valor del seno de un ángulo con una calculadora, pero Johnny quiere aprender algo de trigonometría. Así que usaré una de las identidades enumeradas en nuestro libro Trig.
Johnny: Gracias Sara. Iré a casa y estudiaré las identidades.
Sara: Una de las identidades es: sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Para ángulos A = 10°, B = 15°,
sin A=0,174, cos A= 0,985, sin B=0,2588, cos B = 0,966.
Entonces sin (A + B) = sin (25°) = 0,174 x 0,966 + 0,985 x 0,2588 = 0,4226.
Tommy: Veo que la altura de la rampa B apilada sobre la rampa A será de 60 x 0,4226 o 25,36 cm.
Sara: ¿Eso es todo entonces?
Tommy: No. Me preocupa que 25,36 cm, que son casi diez pulgadas, sea demasiado alto para Cody. El tipo no mide ni un metro de altura. ¿Qué altura tendría si simplemente apilara dos rampas cada una con un ángulo A de 10°?
Sara: Sabes que sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B. Si hicieras que el ángulo A fuera igual a B, se convertiría en: sin (2A) = 2 sin A cos A, Porque para el ángulo A que es de 10°, sin A = 0.174 y cos A = 0.985, sin (2A) = 0.342 o la altura de dos rampas de 10° que tiene una inclinación de 20° sería 0.3428 x 60 cm que es aproximadamente 20.6 cm que es unas 8 pulgadas.
Altura de una rampa con la mitad del ángulo.
Tommy: Gracias Sara. Eso suena perfecto, pero voy a dejar que el padre de Cody decida. Sólo dime una cosa más. Mi hermano, que es el padre de Cody, puede decidir que esto es demasiado arriesgado y debería comprar las dos rampas, cada una con la mitad del ángulo de 15°. ¿Cuál será la altura de estas rampas?
Sara: Aquí también podemos usar la identidad: sin (A/2) = ± √(1- cos A)/2.
Porque, cos 15° = 0,966, sin A/2 será 0,13. No usé la altura negativa porque eso significaría cavar una rampa para bajar al suelo. Entonces la altura de cada rampa será de 7,8 cm porque 60 x 0,13 = 7,8.
Sara: Tenemos que ir a una clase ahora. Tommy, cuéntanos qué decides y qué piensa tu sobrino de su regalo de cumpleaños.
Tommy: Gracias Sara. Estoy tan emocionada.
Johnny y Sara revisaron su libro Trig y encontraron varias identidades más y trataron de probarlas.
Desafío
A Sara le encanta molestar a su novio Johnny. Hoy ella le dijo: “Johnny, crees que eres un buen ciclista. Digamos que vas en bicicleta por una carretera que desciende en un ángulo de 15° durante 2 km y luego se nivela (sin inclinación) durante 2 km. km. Después de esto, es cuesta arriba a 15° durante 2 km y luego su pendiente sube otros 7,5° durante los últimos 2 km. ¿Cuál es la altura total que habrías escalado en toda la carrera en bicicleta? Base su respuesta en sin 30° = 0.5.
Solución: Hay cuatro partes del camino, cada una de igual longitud de 2 km. El primero tiene una inclinación de -15°, el segundo 0° y el tercero tiene una inclinación de +15°, El aumento de altura del primero y del tercero se anulará y el segundo no tiene inclinación. Por lo tanto, la única pendiente a considerar es la cuarta.
El cuarto camino tiene una pendiente de 15° + 7,5° = 22,5°. Dado sin 30° = 0,5.
Usamos la identidad trigonométrica sin 2 A = 2 sin A cos A como punto de partida para obtener
cos2 2A = cos2 A – sin2 A, y sustituyendo B = 2A
cos2 B = cos2 B/2 – sin2 B/2 o sin2 B/2 = (1- cos B)/2 o sin B/2 = ±(√ (1-cos B))/2,
sin 30° = 0,5. Por lo tanto, cos 30° = (√(1 – 0,52))/2 = 0,866.
Por tanto, para B= 30°, sin 15° = sin B/2 = ±(√((1- 0.866))/2 = ± 0.2588.
Como 15° está en el primer cuadrante, sin 15° = + 0,2588.
Ahora escribiendo C = 2B, podemos repetir los cálculos anteriores para mostrar que
sin 15°/2 = sin 7.5° = ±(√((1- 0.9659))/2 = ± 0.1305 = + 0.1305 porque el ángulo está en el primer cuadrante.
La inclinación de 22,5° se puede calcular como sin de 15° + 7,5° o sin de 30° – 7,5°. Vamos con este último. Entonces sin 22,5° = sin 30° cos 7,5° – sin 7,5° cos 30°.
Porque sin 7,5° = 0,1305, cos 7,5° = ±(√((1- 0,1305))/2 = 0,9144.
Ya sabemos que sin 30° = 0,5 y cos 30° = 0,866.
Por tanto, sin 22,5° = 0,3827.
Por lo tanto, el cambio en la altura debido a la cuarta parte del camino =
2 km x 0.0.3827 = 2000 x 0..3827 metros = 765,4 metros.
Como el cambio en la altura debido a las tres primeras partes es cero, el cambio total en la altura es 765,4 metros.
Suplementario
1. Simplifique esto oralmente en menos de 30 segundos:
sin (170°)/(sin 85° sin 5°)
2 sin 85° cos 85° / sin 85° sin 5° = 2 sin 85° cos 85°/ sin 85° cos (90-5°) = 2
2. Demostrar que (1-2cos2x)/(sin x. cos x) = tan x – cot x
Sabemos que sin2 x + cos2 x = 1
Entonces (1-2cos2x)/(sin x. cos x) = tan x – cot x = (sin2 x + cos2 x -2cos2x)/(sin x. cos x) =
(sin2 x – cos2 x)/(sin x. cos x) = sin2 x/ (sin x .cos x) – cos2 x / sin x.cos x = sin x/cos x – cos x /sin x = tan x – cot x
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