Pi fascine les mathématiciens depuis toujours
La valeur du rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre fascine les savants depuis plusieurs milliers d’années. Ce rapport a été appelé pi (symbolisé par la lettre grecque π. Il y a plus de 5 000 000 ans, les Babyloniens lui ont donné une valeur de 25/8 ou 3 et 1/8 alors que la Bible indique sa valeur comme 3 (http://www.csun.edu/~hbund408/math%20history/math.htm), les écoles utilisent aujourd’hui couramment le rapport 22/7 qui a été donné comme estimation en 1246, Qin Jiushao (un autre mathématicien chinois). Aujourd’hui, nous savons tous que π est un irrationnel nombre qui signifie qu’il ne peut pas être écrit comme un rapport exact de deux nombres entiers.Tous ces rapports ne sont que des estimations.
Le pi de Liu Hui
En l’an 263 après JC, un mathématicien chinois nommé Liu Hui a dérivé la valeur de cette constante. Il a déterminé la valeur de π en pensant qu’un cercle est un polygone régulier à côtés infinis. Il a fait ses calculs jusqu’à des polygones réguliers à 96 côtés. Sur la base de ce travail, il a calculé:
π = 3 + 1/10 +4/100 + 1/1000 + 6/10000 ou
π = 3 + 1/101 +4/102 + 1/103 +6/104
John Napier et le système décimal
Comme vous pouvez le voir, c’était une façon compliquée d’écrire un tel nombre. John Napier, un mathématicien écossais, a normalisé une manière différente d’écrire ces nombres en 1619. Cela est devenu la base du système moderne de virgule décimale. Dans ce système, un point décimal était utilisé après le nombre entier. La valeur de position du nombre après la virgule décimale a déterminé sa valeur. Voici quelques exemples.
3,1 = 3 + 1/10
3,14 = 3 + 1/10 + 4/100
3.141 = 3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000
Maintenant, l’équation π = 3 + 1/10 +4/100 + 1/1000 +6/10000 pourrait s’écrire π = 3,1416
La valeur exacte de la constante π ne peut pas être déterminée. On ne peut obtenir que des estimations. Aujourd’hui, avec l’aide d’ordinateurs modernes, cette estimation est connue à 100 000 décimales près. Pouvez-vous imaginer écrire ce nombre sous la forme d’une somme de fractions de multiples de 10 ? Voici cette valeur avec seulement 10 chiffres. Comment préféreriez-vous l’écrire comme
π = 3 + 1/10 +4/100 + 1/1000 +5/10000 + 9/100000 + 2/1000000 + 6/10000000 5/10000000 +
3/100000000 + 5/1000000000,
or π = 3.1415926535? Tu décides.
Au fait, les nombres avec les points décimaux peuvent être additionnés, soustraits, multipliés ou divisés avec les mêmes principes que les nombres entiers que vous avez appris. La plupart des fractions peuvent également être converties en nombres décimaux, tout comme la plupart des nombres décimaux peuvent être convertis en fractions ordinaires.
Défiez la constante d’Euler
Un autre nombre irrationnel que vous pourriez découvrir au lycée ou à l’université est appelé la constante d’Euler (e). Elle ne peut être qu’estimée. Voici une estimation de e à 10 décimales : 2,7182818284.
Utilisez cette valeur de e pour déterminer les valeurs de 10 x e, 100 x e, 1000 x e , 0,1 x e et 0,01 x e.
Solution:
e = 2,7182818284, donc 10 x e = 27,182818284
e = 2,7182818284, donc 100 x e = 271,82818284
e = 2,7182818284, donc 1000 x e = 2718,2818284
e = 2,7182818284, donc 0,1 x e = 0,27182818284
e = 2,7182818284, donc 0,01 x e = 0,027182818284
Supplémentaire
π tel que discuté est un nombre irrationnel qui a été approximé à plus de cent décimales à 3,1415926535……….
En tant que fraction, les écoles enseignent que π = 22/7. En décimales, il s’agit de 3,1428571429 qui est supérieur à 3,1415926535 de 0,0012644893.
Parce que 22/7 est une surestimation, la fraction 355/113 a été suggérée par d’autres. Il s’agit de 3,1415929204 qui est beaucoup plus proche de la valeur 3,141592654 mais toujours une surestimation de 0,0000002668. De nombreuses autres fractions ont été données mais aucune d’entre elles ne concorde complètement http://davidbau.com/archives/2010/03/14/the mystery of 355113.html . Par exemple la fraction 103993/33102 revient à 3.1415926530 qui ne diffère de 3.1415926535 qu’à la dixième décimale.
Je suppose que pour la plupart des travaux, 22/7 est satisfaisant mais pour des calculs extrêmes tels que le mouvement des étoiles dans des galaxies lointaines, de meilleures valeurs seraient nécessaires.
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