El cuento de la abuela para dormir para Sara

Sara quería un cuento para dormir

              Sara estaba muy unida a su abuela Shanti. La había llamado Nana desde que pudo decir sus primeras palabras. Nana a menudo contaba una historia o cantaba una canción de cuna antes de que Sara se durmiera. Incluso cuando Sara se convirtió en adolescente, de vez en cuando insistía en que Nana le contara un cuento antes de dormir. Este fue uno de esos días.

              Sara: Nana, cuéntame un cuento por favor, uno largo por favor.

              Nana: ¿Una historia sobre qué? Sara, te he contado todas las historias que conozco.

              Sara: lo que sea. Cuéntame una historia sobre ti cuando eras una niña que vivía en la India.

              Nana: Una larga historia sobre mí cuando era niña, déjame pensar. Bien, les contaré una historia. Aunque es un poco divertido. Mi mamá me contó la mayor parte.

              Sara: Me encantan las historias divertidas. Por favor, dímelo ya.

Cuento cuando Nana era pequeña

              Nana: Nuestra familia no era ni muy rica ni muy pobre cuando yo nací. Teníamos suficiente para vivir. También teníamos un pariente llamado Shah. Era primo de mi madre Sheela. Lo llamé tío cuando comencé a hablar. Vivió en los Estados Unidos. Siempre que venía a visitarnos se jactaba de ser muy rico. Mi madre me dijo que el tío Shah estaba en nuestra casa cuando nací.

              Shah: Sheela, estoy feliz de que me hayas dado una sobrina. Quiero darle un gran regalo.

              Sheela: Que estés aquí con nosotros en esta ocasión es un gran regalo para nosotros.

              Shah: Sheela, por favor, déjame darle un regalo. ¿Cómo suena $ 10,000?

              Sheela: No quiero que des $10,000, alardea de eso de vez en cuando olvídate de nosotros. No, no está bien.

            Shah: ¿Qué tal si le doy $1000 cada año durante los próximos 10 años?

            Sheela fue muy inteligente y le dijo al tío: Te diré algo, solo dale un dólar.

            Shah: ¡Un dólar! Eso es un insulto a Shanti.

            Sheela: bueno entonces Dale un dólar ahora y luego duplícalo el próximo año.

            Shah: ¿Eso significa dos dólares cada año a partir de entonces? Eso es muy poco.

Dale 1 dólar ahora y duplícalo cada año

            Sheela: Dios te dé toda la riqueza. Si esto es muy poco, siga duplicándolo cada año mientras usted y Shanti vivan.

            Shah: ¿Incluso después de casarse?

            Sheela: No querrás romper la relación con ella después de que se case, ¿verdad?

            Shah: lo siento. Le daré el doble de la cantidad cada año mientras Shanti y yo vivamos.

            Sheela: No olvides tu promesa. Que Dios te dé más y más para que puedas cumplir tu generosa promesa.

            El tío Shah no pensó que el regalo fuera muy generoso considerando que su riqueza rondaba los mil millones de dólares. No sé si mi papá estaba feliz o enojado porque mi madre no tomó los $10,000 como regalo del tío Shah. Él nunca me dijo eso.

            Me dijeron que el tío Shah me dio un dólar y prometió venir el próximo año. Mi mamá me compró una alcancía y puso este dólar en ella.

            Yo tenía un año cuando vino la próxima vez. Acababa de empezar a hablar. Jugué con él y lo llamé tío. Él era muy feliz. Me dio dos dólares antes de irse. Ahora mi alcancía tenía tres dólares, un dólar de antes más los dos que me dio en mi primer cumpleaños.

            Al año siguiente no vino pero me mandó cuatro dólares que era el doble que la vez anterior. Yo solo tenía dos años.

            El tío Shah volvió a nuestra casa cuando yo tenía tres años. Por ahora, comencé a entender que él se preocupaba por mí. Bailé a su alrededor todo el día y charlé con él. Nuevamente, me dio 8 dólares, que era el doble de la cantidad que me había dado la última vez.

Luego no vino para mis siguientes tres cumpleaños pero cumplió su promesa. Me envió 16, 32 y 64 dólares por cada uno de los tres años. No sabía mucho, pero mi mamá pensó que era mucho dinero para un niño de 6 años. Me dijo que no le dijera a mis amigos porque estarían celosos y podrían comenzar a odiarme.

            Escuché lo que dijo mi mamá y salí a jugar stapu con uno de mis amigos. Stapu es lo que llamas rayuela.

            Sabes, había aprendido a sumar y restar en ese momento. Llegué a casa y comencé a pensar. El tío Shah me dio $64. A estas alturas, podía calcular lo que me daría el próximo año.

Me dio $128, $256 y $512 en mis próximos tres cumpleaños. Aquí tenía 9 años y mi alcancía estaba más que llena. Mi mamá no puso el dinero en un banco porque nuestro banco local no operaba con moneda extranjera. Decidió poner el dinero en la funda de mi almohada. La funda de mi almohada tenía todo este dinero y mi almohada. Solía ​​dormir con todo el dinero todas las noches. ¿Puedes creer eso (risita)?

Guardó $8191 en la funda de su almohada.

            El tío Shah cumplió su promesa y me dio $1024, $2048 y $4096 en los próximos tres años. Ahora tenía 12 años de edad, un preadolescente como se podría decir. Lo conté todo y tenía $8191 en la funda de mi almohada.

            Mi mamá decidió que era demasiado dinero para guardarlo en casa. Ella le pidió a mi papá que hiciera algún arreglo. Mi papá y yo fuimos a una gran ciudad cercana donde mi papá abrió una cuenta en dólares estadounidenses. Allí depositó el dinero. El banco no nos daría ningún interés sobre las monedas extranjeras. Todavía pensaba que era mejor así porque una gran cantidad de dinero en casa podría atraer ladrones y eso sería arriesgado para nuestras vidas.

Recuerda, en mi próximo cumpleaños tendría trece años. Me dijeron que estaba empezando a florecer. Orgullosamente envié mi foto en el cumpleaños al tío Shah. Me envió el dinero prometido que era $8192. Mi papá lo depositó en el banco junto con el dinero de antes. Solo mi papá manejaba todo el dinero. Ni siquiera tenía la edad suficiente para tener una cuenta conjunta con él.

            Escuché a mi mamá ya mi papá hablar sobre el tío Shah. Parece que su esposa, la tía        Rose, empezó a sospechar porque el tío Shah le daba mucho dinero regularmente a una niña. Incluso escuché que su matrimonio podría estar en peligro por eso. Le dije a mi mamá que me sentía culpable por eso.

            Shah regularmente le dio mucho dinero a una niña

            El tío Shah y la tía Rose vinieron a nuestra casa en mi decimocuarto cumpleaños. Hubo una gran fiesta de cumpleaños. Muchos de mis amigos y algunos de nuestros familiares fueron invitados. Después de que los demás se fueron, el tío Shah me entregó la siguiente cantidad duplicada, que era una suma considerable de $16384. Me negué a tomarlo porque ya me sentía culpable. Le dije que se lo quedara. Se molestó mucho y empezó a hablar con mi mamá.

            Shah: Sheela, ¿qué es esto? Pensé que teníamos un acuerdo.

            Sheela: No quiero mantener más este acuerdo. Ya le has dado suficiente.

            Shah: ¿Por qué así?

            Sheela: Creo que tu esposa se siente incómoda porque le estás dando una gran suma de dinero a mi hermosa jovencita.

            Shah: Ya veo a dónde va esto. Está bien, acéptalo esta última vez y no más a partir del próximo año.

            Tía Rose: Sheela. No rompas su corazón. Dile a Shanti que se quede con el dinero. Fácilmente podemos permitírnoslo. Además, no me siento incómodo al respecto.

            Sheela: Está bien Rose. Esta sería la última vez, y eso también con una condición. Shah no, pero le das el dinero a Shanti para que no le parezca incómodo. Luego, la tía Rose se me acercó, me dio un gran abrazo y me dio el dinero.

            Me casé a los 16 años y guardé ese dinero en otra cuenta bancaria donde pagaban intereses. Todavía tengo todo. No lo gasto porque tu mamá y tu papá me dan suficiente para todos mis gastos.

            Sara le dijo a Nana que debía ser una niña muy hermosa para que la tía Rose se pusiera celosa. Los recuerdos de esos días de adolescencia trajeron lágrimas a los ojos de Nana. Sara se fue a dormir pero siguió soñando con el cuento de Nana antes de dormir.

            Sara le contó la historia a su novio.

            A la mañana siguiente caminó a la escuela con su novio Johnny. Ella le contó la historia. Sería un eufemismo decir que Johnny estaba abrumado. Después de la escuela, fueron a la casa de Johnny por un corto tiempo. Les encantaba estar juntos.

            Johnny: ¿Sigue vivo el tío Shah?

            Sara: No, murió hace veinte años.

            Johnny: Entonces eso significa que Nana tenía 40 años entonces. Me pregunto cuánto le habría pagado en su último año si la tía Rose no se hubiera enfadado con él, y si hubiera seguido dando el dinero duplicándose cada año. Dijiste que le dio a Nana $16384 cuando ella cumplió 14 años. Eso significa que duplicó la cantidad de un dólar 14 veces.

Exponentes crecientes

            Sara: Mi mamá me explicó que la mejor manera de entender eso es como una función exponencial f(t) = en la que tiene como base “a” y la potencia t, en este caso la base es 2 que es la razón por la cual aumenta con la potencia t que es el número de años. Entonces f(14) = 214. Entonces él le dio $214 cuando ella tenía 14 años y le habría dado f(40) = 240 dólares cuando Nana tenía 40 años. Según mis cálculos, habría sido $1,099,511,627,776.

            Johnny: Eso es mucho dinero. Son más de mil billones de dólares. Ninguno de los hombres más ricos tiene tanto dinero. Cualquiera de los ricos tiene menos de cien mil millones. Eso significa que si la tía Rose no se hubiera enfadado, el tío Shah habría roto su promesa. ¡Guau! Así que el tío Shah cumplir su promesa fue solo una fantasía. Mientras estemos haciendo esto, ¿podemos fantasear con que él permaneció vivo y habría seguido pagando a Nana incluso ahora que ella tiene 60 años? ¿Cuánto tendría que pagar por este año?

Reglas para exponentes

            Sara: Nuestro libro de álgebra tiene esta ley para exponentes. Dice que aⁿ x a^m = a^(n+m).

Como 60 = 20 + 40, podríamos escribir m = 40 y n = 20 y m + n = 60.

            Entonces 2⁶⁰ = 2⁴⁰ x 2²⁰.

            Sabemos que 2⁴⁰ = $1,099,511,627,776. Mi calculadora dice que 2²⁰ = 1,048,576. Simplemente podemos multiplicar estos dos números usando mi computadora.

            Entonces $2⁶⁰ = $1,099,511,627,776 x 1,048,576. Eso sería más de un billón de dólares.

            Johnny: No creo que mi calculadora pueda manejar ese tipo de multiplicación y darme una respuesta exacta. Estoy impresionado.

            Sara: Aquí hay algo que te impresionaría aún más. Podríamos haber hecho todo esto sin usar una calculadora. Sabes que 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32. Multipliqué 32 por 32 en una hoja de papel y resultó 1024. Entonces, 2¹⁰ = 1024 que es aproximadamente 1000.

            Johnny: Ya veo a dónde vas. Vas a usar la regla an aⁿ x a^m = a^(n+m).  Usando la misma regla para los exponentes seis veces, escribirás que porque 60 =10 + 10 +10 +10 +10 +10,

2⁶⁰ = 2¹⁰ x 2¹⁰ x 2¹⁰ x 2¹⁰ x 2¹⁰ x 2¹⁰ o aproximadamente 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 = 1 000 000 000 000 000 000 que es aproximadamente $1 099 511 627 776 x 1 048 576.         Eso es bueno. Nunca pensé en hacerlo de esa manera.

            ¿Qué pasaría si cuadruplicara el dinero cada año?

            Johnny hizo una pequeña pausa y luego dijo: Todo esto es fantasía, de todos modos. Quiero decir que el tío Shah tuvo la amabilidad de decir que le daría el cuádruple de dinero a Nana todos los años en lugar de duplicarlo. ¿Cuántos años le tomaría llegar a la misma cantidad que dio al duplicarse en el año 14?

            Sara: Aquí hay otra regla en nuestro libro que podemos usar. (aⁿ)^m = a^nm.  Sabemos que 4 = 2².

            Johnny: que bueno Podemos decir (2²)^m = 2^2m or 4^m = 2^2m or 4⁷ = 2^{2 x 7}. Eso significa que el tío Shah le habría dado a Nana la misma cantidad por la regla de la cuadruplicación después de 7 años que le dio después de 14 años por la regla de la duplicación.

             Johnny se alegró de darse cuenta de esto, pero no del todo satisfecho, y dijo: Esto fue demasiado fácil porque sabemos que 2² = 4. Así que déjame preguntarte cuántos años le tomaría llegar a la misma cantidad si tuviera que dar el triple. la cantidad cada año. Entonces, ¿cómo usamos esta regla del exponente allí?

            Sara: Supongo que usamos la misma regla. (aⁿ)^m = a^nm  pero primero tenemos que resolver para 2ⁿ = 3. Podemos repasar cómo resolver n en este caso más adelante, pero veamos si la regla funciona. Voy a comprobar si alguien en Internet nos da este valor.

Aquí es 2^1.584963 = 3.

            Entonces 2¹⁴ = (2^1.584963)^m = 2^1.584963m o  1.584963m = 14 or m =14/1.584963 = 8.833. Eso significa que le habría tomado 8.833 años, pero como él le dio el dinero solo en su cumpleaños, significaría que le habría dado menos de 214 en el octavo cumpleaños y más que eso en el noveno. Oye, eso parece correcto porque este número es entre 7 y 14 años.

            Johnny: Todo eso fue divertido, pero ¿qué tienen que ver los exponentes con la realidad?

sara: johnny Creo que es hora de llamarlo el día. ¿Por qué no revisamos nuestro libro de álgebra? También hablaré con mi mamá y mi papá. Podemos hablar de ello en otro momento.

            Con esto Sara se fue a su casa pero al día siguiente se volvieron a encontrar.

Aplicaciones de exponentes

            Sara: Johnny, hablé con mis padres y busqué en nuestro libro de álgebra. Hay muchas aplicaciones de funciones exponenciales en la vida real. Se utilizan para estudios de población, incluida la población bacteriana en lagos, y en estudios de desintegración radiactiva. Sin embargo, la aplicación más importante es en matemática financiera. Ya sabes cómo hablan de las tasas de interés simples y compuestas. Por ejemplo, si depositas el dinero en un banco durante dos años y te da una tasa de interés del 10%. Escribiendo una cantidad de 1 para el principal y 0,1 para el interés por año, para la tasa de interés simple la cantidad aumentará a 1 + 0,1 x 2 o 1,2 pero con la tasa de interés compuesta se convertirá en 1,12, que es 1,21. Las diferencias siguen aumentando con el aumento del número de años. Por ejemplo, mi Nana puso $ 1000 en un depósito a largo plazo a una tasa de interés del 10% anual y puedo cobrarlo cuando cumpla 18 años. Con la tasa de interés simple, esto habría aumentado a 1000 +1000 x 18 x 0.1 que es $ 2800 pero con la tasa de interés compuesta será de 1000 x 1,1¹⁸, que es de unos $5600. Esa es una gran diferencia.

            Johnny: Sí, esa es una gran diferencia. Supongo que por eso las hipotecas cuestan mucho.

Sara: Los economistas también usan funciones exponenciales para estudiar la inflación. Entonces, supongo que Nana me contó un buen cuento antes de dormir.

Desafío

            Tom y Melissa han estado saliendo en secreto y no querían que nadie lo supiera. Por error, Melissa acaba de contárselo a Chatty Maddie en la escuela a las 9 am. No se dio cuenta de que Maddie era una máquina de rumores. Dentro de 1 hora, Maddie le había dicho a tres de sus amigos. A estos amigos también les gustó compartir el rumor y cada uno de ellos se lo contó a tres de sus amigos en la siguiente hora. La máquina de rumores siguió funcionando de la misma manera. ¿Cuántas personas crees que lo sabían a las 3 pm cuando Melissa salió de la escuela para irse a casa?

            Solución: A las 9 a. m., cuando Melissa le contó a Maddy, solo 3 personas lo sabían: Tom, Melissa y Maddy. Llamémoslo el tiempo cero. A las 10 am que es la hora 1, 3 personas más lo sabían, llamémoslo 3 x 3¹. Ahora, a las 11 am que es la hora 2, el número de personas que sabían aumentó a 3 x 3². A este ritmo a las 3 p. m., que sería la hora 6, el número de personas que esperaban saberlo era 3 x 3⁶, que es 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3. Ahora, como 3 x 3 x 3 = 27, usted pudo calcular rápidamente que 3 x 27 x 27 personas lo sabían. Esto da como resultado 2187. Bueno, ya sabes cuántos estudiantes hay en tu escuela. ¿Crees que el rumor también se propagó fuera de tu escuela? ¿Te imaginas que esto suceda durante un día completo que son 24 horas? Descúbrelo. Creo que incluso la máquina de rumores de Chatty Maddy tendría que reducir la velocidad porque no hay tanta gente en este mundo.

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