Sra. Washington
La Sra. Washington es maestra de matemáticas en Bonsworth High. Le encanta su trabajo a pesar de los desafíos. Un aspecto interesante de esta escuela es la diversidad de estudiantes. El curso obligatorio de matemáticas tiene estudiantes como Delwin, que es la estrella del equipo de fútbol de la escuela y no tiene interés en las matemáticas. Pasa la mayor parte de su tiempo en la práctica del juego o en el gimnasio. Ella tiene que hacerle sentir que es capaz de aprender el tema. Rosie se divierte con los chismes. Alex piensa que es el niño más inteligente que jamás haya nacido. Se luce en cada oportunidad que tiene. Rosie te dirá que lo llaman Smart Alec. Sara es una genio de las matemáticas, pero se ocupa de sus propios asuntos. Ella es una de las mejores estudiantes y ama a su novio Johnny.
Sra. Washington los desafía a todos: Delwin, Alex o Sara. Como lo hace ella ? Esto es lo que ella hizo hoy. Escribió estos números en la pizarra y dijo: “¿Quién puede sumar todos estos números?”
Método de Delwin
Muchos estudiantes levantaron la mano, pero ella llamó a Delwin: ¿por qué no les enseñas a todos a hacer la suma?
Delwin: ¿Puedo usar una calculadora?
La Sra. Washington pensó por un segundo y luego lo permitió..
| ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | |
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| B | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
| C | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 |
| D | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 |
| E | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 |
| F | 32 | 64 | 96 | 128 | 160 | 192 | 224 |
| G | 64 | 128 | 192 | 256 | 320 | 384 | 448 |
Sara escribió la respuesta 3556 en su libreta incluso antes de que Delwin sacara su calculadora. Rosie vio esto y quiso contárselo a todos.
Delwin ingresó los números uno por uno en la calculadora mientras se enojaba por tener que hacer todo este trabajo. En 15 minutos, escribió la respuesta 3556 en la pizarra.
Delwin: Sra. Washington, ¿es correcta esta respuesta?
La Sra. Washington asintió para decir que sí, y Delwin se sintió orgulloso de poder hacer la suma.
El método de Alex
Dos estudiantes más levantaron la mano. Eran Alex y Rosie.
Sra. Washington: Sí, Alex. Qué quieres decir ?
Alex: Sra. Washington, puedo hacerlo mucho más rápido.
Sra. Washington: Por favor, cuéntenos.
| ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | ||
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 28 |
| B | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 56 |
| C | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 112 |
| D | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 224 |
| E | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 448 |
| F | 32 | 64 | 96 | 128 | 160 | 192 | 224 | 896 |
| G | 64 | 128 | 192 | 256 | 320 | 384 | 448 | 1792 |
| 3556 |
Alex: Los números de cada fila forman una serie aritmética.
En la fila A, la diferencia entre los números de las columnas consecutivas es 1, en la fila B es 2. Para series aritméticas,
La suma de una fila = ((Primer término + último término)/2) x el número de términos.
Esto también se puede escribir como:
El número medio de la fila x el número de filas.
La fila significa cuál es el número en la columna del medio ④. Acabo de sumar todos los términos de la fila ④ que resultó ser 508 y lo multipliqué por el número de filas que es 7. Resultó ser 3556, la misma respuesta que la de Delwin.
Sra. Washington: Gracias Alex. Eso fue un pensamiento inteligente. Usted definió una serie aritmética para nosotros. En esto la diferencia entre cada número consecutivo es constante. Rosie, tú también habías levantado la mano.
Rosie: Sra. Washington, vi a Sara escribir esta respuesta en su cuaderno tan pronto como usted escribió los números, mucho antes de que Delwin sacara su calculadora. Tengo curiosidad, cómo lo hizo.
Sara va a la pizarra
Sra. Washington: Sara, ¿qué tenías bajo la manga? Acércate a la pizarra y muéstrale a la clase.
Sara: Alex señaló que los números en cada fila formaban una serie aritmética.
Vi que los números en la fila B eran el doble de los de A. De hecho, los números en la columna ① eran 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. La razón de números de una fila a la siguiente era 2 x . Así que estos números formaron una serie geométrica.
Para una serie geométrica:
sum = a (rn-1)/(r-1), donde a = el primer término, r = la razón común que aquí es 2 y n = el número de términos que aquí es 7.
Entonces la suma de los términos en la primera columna será 1 x (r7-1)/(r-1).
La última fila comienza con r6 =64, entonces r7 = 2 x 64 =128 y r7-1= 127. Si usamos la fórmula de Alex. en lugar de la columna ①, puedo usar
a = 4 x 7 para que la suma de la primera fila sea 28.
Entonces la respuesta final será 28 x 127 = 3556.
Johnny: Hola a todos, digamos tres hurras por Sara por enseñarnos qué es una serie geométrica.
Sra. Washington: Me alegro de que todos hayan recibido la misma respuesta. Alex y Sara, gracias por enseñar a la clase sobre la aritmética y la serie geométrica.
Quiero que vayas a casa y hables con tu familia sobre la canción 12 días de Navidad. Calcule el costo total para el verdadero amor. Por cierto, así también podrás lucirte con lo que Sara te enseñó. La hoja de tareas está sobre la mesa. Toma uno y diviértete haciéndolo.
Desafío
Doce Días de Navidad (Ligeramente modificado, se da el costo de los artículos nuevos para cada día)
El primer día de Navidad mi verdadero amor me dio
Una perdiz en un peral ($100)
El segundo día de Navidad mi verdadero amor me regaló dos tórtolas ($100) y una perdiz en un peral
El tercer día de Navidad mi verdadero amor me regaló tres gallinas francesas ($200), dos tórtolas y una perdiz en un peral
El cuarto día de Navidad mi verdadero amor me regaló cuatro pájaros cantores ($400), tres gallinitas, dos tórtolas y una perdiz en un peral
El quinto día de Navidad mi verdadero amor me regaló cinco anillos de plata ($800),
cuatro pájaros cantores, tres gallinas francesas, dos tórtolas y una perdiz en un peral
El sexto día de Navidad mi verdadero amor me regaló seis ocas marrones ($1600), cinco anillos de plata, cuatro pájaros cantores, tres gallinitas, dos tórtolas y una perdiz en un peral
El séptimo día de Navidad mi verdadero amor me regaló siete cisnes nadando ($3200), seis gansos marrones, cinco anillos de plata, cuatro pájaros cantores, tres gallinitas, dos tórtolas y una perdiz en un peral
En el octavo día de navidad mi verdadero amor me regaló ocho sirvientas de limpieza ($6400), siete cisnes nadando, seis ocas marrones, cinco anillos de plata, cuatro pájaros cantores, tres gallinitas, dos tórtolas y una perdiz en un peral árbol
El noveno día de Navidad mi verdadero amor me regaló nueve bailarinas ($12800), ocho mucamas una limpieza, siete cisnes nadando, seis gansos marrones, cinco anillos de plata, cuatro pájaros cantores, tres gallinitas, dos tórtolas y un perdiz en un peral
El décimo día de Navidad mi verdadero amor me dio diez señores saltando ($25,600), nueve bailarinas, ocho doncellas de limpieza, siete cisnes nadando, seis gansos marrones, cinco anillos de plata, cuatro pájaros cantores, tres gallinas francesas, dos tórtolas y una perdiz en un peral
En el undécimo día de Navidad, mi verdadero amor me dio once gaiteros ($ 51,200), diez señores saltando Nueve damas bailando, ocho doncellas de limpieza, siete cisnes nadando, seis gansos marrones, cinco anillos de plata Cuatro pájaros cantores, tres franceses gallinas, dos tórtolas y una perdiz en un peral
El duodécimo día de Navidad mi verdadero amor me dio doce tamborileros tocando el tambor ($102,400), once gaiteros tocando la flauta, diez señores saltando Nueve damas bailando, ocho sirvientas limpiando, siete cisnes nadando, seis gansos marrones, cinco anillos de plata Cuatro llamando pájaros, tres gallinas francesas, dos tórtolas y una perdiz en un peral
Ahora, calculemos lo que le costó al amor verdadero cada día (día anterior + artículos nuevos para el día)
| Día de Navidad | Regalo al Amor Verdadero | Costo de los artículos nuevos | Todos los regalos del Día |
| Primera | Perdiz en peral | $100 | $100 |
| Segundas | Dos tórtolas | $100 | $200 |
| Tercera | Tres gallinas francesas | $200 | $400 |
| Cuarto | Cuatro pájaros cantores | $400 | $800 |
| Quinto | Cinco anillos de plata | $800 | $1,600 |
| Sexto | Seis gansos marrones | $1,600 | $3,200 |
| Séptimo | Siete cisnes nadando | $3,200 | $6,400 |
| Octavo | Ocho sirvientas-una limpieza | $6,400 | $12,800 |
| Noveno | Nueve damas bailando | $12,800 | $25,600 |
| Décimo | Diez señores saltando | $25,600 | $51,200 |
| Undécimo | Once Gaiteros Tubería | $51,200 | $102,400 |
| Duodécimo | Doce Tamborileros Tambores | $102,400 | $204,800 |
Tenga en cuenta que el costo del día se duplicó cada vez, lo que indica que se trata de una serie geométrica con a = costo del primer día = $ 100, r = razón común = 2 y n = número de términos = 12.
Por tanto, el coste total de todos los días = a (rn-1)/(r-1) = 100 (212-1)/(2-1) = 100 (212-1)
A partir de los datos, puede ver que 211 = el costo del duodécimo día = $204800.
Por lo tanto 100 (212-1) = 2 x $204800 -100 = $409600 -100 = $490500.
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