Sara era inteligente y popular.
Sara era muy popular en su escuela secundaria. No era animadora, pero todos en la escuela la conocían y la adoraban, en parte porque era inteligente y también porque era amable. Había ayudado a muchos de sus compañeros de clase y estudiantes de tercer año sin menospreciarlos. En el último año escolar, Sara obtuvo la máxima calificación en todas las materias. Claro que había algunos estudiantes que estaban celosos de ella, pero incluso ellos hablaban muy bien de ella porque los había ayudado en algún momento. Es por estas razones que ella fue la mejor estudiante de la clase. Después del discurso de graduación que pronunció, su estrellato en la escuela se elevó a alturas aún mayores.
Sara estaba enamorada de Johnny. Llevaban saliendo juntos casi cuatro años. Johnny también era muy popular por su participación en los deportes y su naturaleza social, pero también porque sus compañeros de clase sabían cómo, en los últimos dos años, se había transformado de un estudiante C a un estudiante con un promedio de más del 85%. También se graduó junto con Sara.
Fiesta de graduación conjunta de Sara y Johnny
Los padres de Sara estaban muy orgullosos de los logros de su hija. Aún más orgullosa estaba su Nana que prácticamente había criado a Sara. Nana le propuso una memorable fiesta de graduación a Sara y ella quiso pagarla. La mamá de Johnny también quería tener una fiesta súper tonta para su graduación. Sara y Johnny propusieron que las dos fiestas se combinaran porque de todos modos terminarían invitando a casi las mismas personas en ambas fiestas. La abuela de Sara y la mamá de Johnny felizmente aceptaron esta idea. Nana también sugirió que solo se invitara a los amigos de Sara y Johnny. No había necesidad de que asistieran los padres y sus amigos. Sería bueno que los jóvenes se divirtieran. Sin embargo, no quería que Sara se quedara a pasar la noche debido a la fiesta. Decidieron una fecha y una hora, y luego reservaron un lugar para la fiesta. En realidad, el lugar de celebración de la fiesta era una sala de reuniones de un hotel. La sala también contaba con una gran pantalla en una de las paredes, y todo el equipamiento para proyectar fotografías o películas. Tendrían esta habitación para ellos solos.
¿Cómo acotar la lista de invitados?
Sara y Johnny no querían invitar a todo el mundo a la fiesta, solo a unos cuantos amigos muy cercanos. Acordaron que el número de personas en la fiesta sería de 12, incluidos ellos mismos. Hubo un problema: cómo reducir la lista de invitados porque ambos eran muy populares, pero juntos solo podían invitar a 10 personas.
Sara: Tengo 50 amigos en la escuela a los que les gustaría ser invitados.
johnny: lo mismo conmigo Entonces, juntos tenemos 100 personas de las cuales queremos invitar a 10. ¿Sabes cuántas combinaciones diferentes hay para invitar a 10 amigos de 100?
Sara: ¿Estás bromeando o realmente quieres resolver esto?
Johnny: Solo curiosidad. Sí, quiero averiguarlo.
Sara: ¿Has estudiado este tipo de Matemáticas antes?
Johnny: No creo que lo haya hecho. Ya sabes todos los cursos que tomé.
Sara: Si te tomas en serio esta curiosidad, lo resolveré contigo. Pero para darle sentido a las cosas, permítanme comenzar muy poco. Supongamos que hay 7 personas, de las cuales se invitará a 5. Comencemos a resolverlo diciendo quién se sienta en el asiento número 1.
Johnny: Cualquiera de los 7 podría sentarse en el asiento 1. No veo problema ahí.
Sara: Entonces hay 7 posibilidades. Para cada una de estas situaciones, cuantas posibilidades existen para el asiento 2.
Johnny: Para el asiento número 2 hay 6 posibilidades porque una persona ya está comprometida con el asiento número 1. Lo entiendo entonces para cada una de estas posibilidades, habría 5 para el tercer asiento, y así sucesivamente hasta que para el último asiento habría ser solo 3 posibilidades.
Sara: Entonces, el número total de posibilidades sería 7 x 6 x 5 x 4 x 3. En matemáticas, usamos el término factorial. El factorial para un entero n es n x (n-1) x (n-2)…….1, ¡y se escribe como n! Entonces, el arreglo de asientos que elegimos se llamará permutación 7P5.
7P5 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1/(2 x 1) = 7!/2! = 2520
Johnny: Pero no nos importa quién se sienta en qué silla, solo quién es invitado.
Sara: Lo sé, estoy llegando allí, solo voy paso a paso. Ahora, digamos si hay 5 personas y 5 asientos.
Johnny: Como antes, hay 5 posibilidades para el asiento 1, 4 para el asiento 2, 3 para el asiento 3 y 2 para el asiento 4 y solo 1 para el asiento 5. ¡Las posibilidades totales para este arreglo serán 5!.
Sara: Ahora volvamos a 5 personas invitadas de 7. ¡Ya dijimos que hay 5! posibilidades de arreglos de asientos para 5 amigos. También sabemos que el número total de posibilidades de elección y distribución de asientos para 5 amigos de 7 es 7P5. Cuando no nos importa dónde se sienta nadie, sino solo quién será invitado, ¡puedo dividir la permutación 7P5 entre 5!. Por lo tanto, diría que para la invitación solo el número posible de combinaciones es:
7C5 = 7P5/5! = 2520/5! = 21
Johnny: Hay muchas combinaciones diferentes para invitaciones, incluso para 5 de 7. Déjame ver si puedo escribir en general lo que hiciste para n amigos de los cuales r están invitados.
Si nos importa la disposición de los asientos, escribimos: nPr = n!/(n-r)!
Si queremos las combinaciones sin la disposición de los asientos, escribimos: nCr = n!/((n-r)! x r!)
Sara: Johnny mi amor, te das cuenta rápido.
Johnny: Porque tenemos 100 amigos y queremos invitar solo a 10, solo por curiosidad, ¿cómo resultaría eso? Esto significaría n = 100 y r = 10.
Sara: 100C10 = 100!/(10! x 90!) es un número grande. 100! es tan grande que muchas calculadoras le darán un mensaje de error. Estoy usando un programa en mi computadora portátil para 100C10. La respuesta es 1,73 x 1013, que es más de 17 billones de combinaciones. Recuerde, este es el número de combinaciones solo para invitaciones sin considerar las preferencias de asientos. Si además incluimos la disposición de los asientos, este número será aún mayor. 100P10 = 100!/ 90! o 6,28 x 1019.
Tanto por la curiosidad
Johnny: Hasta aquí esa curiosidad. Hagámoslo más simple. Digamos que eliges 5 de tus 50 amigos y yo elijo 5 de mis 50 amigos. ¿Será menor el número de todas las combinaciones posibles para las invitaciones?
Sara: Solo para mis invitaciones habrá 50C5 = 50!/(5! x 45!) o 2.118.760 combinaciones posibles. Lo mismo para el tuyo. Suponiendo que no tenemos ningún amigo en común en nuestra lista, para uno solo de nosotros habrá 2.118.760 combinaciones posibles. Entonces, las combinaciones combinadas serán 2118760 x 2118760 o 4,49 x 1012. El número es un poco más pequeño que 1,73 x 1013, pero aún no queremos manejar nada.
Johnny: Mira, está claro que de esta manera no va a funcionar. También debemos invitar solo a los amigos que más nos gustan. ¿Por qué no elegimos cada uno 5 personas que más nos gustan?
Sara: No es tan simple. Si invitamos a un amigo, ¿invitamos también a su novia o novio?
Johnny: Por supuesto, pero eso nos limita a cada uno de nosotros a invitar solo a dos amigos y sus citas. Cada uno de nosotros todavía tendrá una persona más para invitar. ¿Podemos invitar a alguien que no esté saliendo con nadie?
Sara: ¿Cómo se sentirían al respecto cuando todos los demás están allí con una cita excepto ellos?
Johnny: Eso deja dos opciones. Una es que invitemos a una pareja más juntos.
Sara: ¿Cuál es el otro?
Johnny: Invita a los nerds Joe y Pete. Son buenos amigos entre ellos. No les importaría si otros vinieran con una cita. En cierto modo, son entretenidos.
Sara: Está bien. Dime a tus dos amigos que quieres invitar.
Invitados finales y disposición de los asientos
Johnny nombró a dos amigos y luego Sara hizo lo mismo. De esta forma no hubo duplicidad en la lista de amigos invitados.
Sara: ¿Queremos decidir sobre la disposición de los asientos? Dejamos espacio abierto en un lado para que todos podamos ver la pantalla. De esta manera, no tenemos que pensar en ello como un círculo. Para asientos aleatorios hay posibilidades 12P12. Ya sabes que sale a casi 500 millones. Además, no habrá asientos aleatorios, incluso si les pedimos a todos que se sienten donde quieran. Las parejas que se reúnen probablemente se sentarán juntas de todos modos. También lo harán Joe y Pete.
Johnny: ¿Por qué no le decimos a cada persona y su cita que se sienten en cualquier lugar que no sean juntos? Lo mismo ocurre con Joe y Pete. Eso hará posibles arreglos de asientos 6P6.
Sara: Ese número es 720 pero hay una falla en tus cálculos. No decidimos si el niño se sentará a la derecha y la niña a la izquierda o al revés. Si tenemos en cuenta ese detalle, el número de posibilidades será de 720 x 720 porque cualquier chico puede sentarse a la derecha de su novia o no. Cada par puede tener una opción diferente en ese asunto. Eso se convierte en más de medio millón de permutaciones diferentes.
Johnny: ¿Qué pasaría si no dejáramos un área abierta y fuéramos a formar un círculo? ¿Eso haría más combinaciones o menos?
Sara: Si hay n! permutaciones lineales, habrá correspondiente (n-1)! circulares. ¡Eso cambiará el número de permutaciones de 6! a 5! o 120. Pero si quieres distinguir quién se sienta a la izquierda de quién se sienta a la derecha en cada par, habrá 120 x 120 o 14400 posibilidades.
Johnny: Eso es confuso. ¿Quieres dejar que sea así o hacer condiciones adicionales en la disposición de los asientos?
Sara: ¿Qué tal si me siento a tu izquierda y exactamente enfrente de mí está Joe y enfrente de ti está Pete? Los amigos a los que invito se sientan a mi izquierda y los que tú invitas se sientan a tu derecha. Pueden estar más cómodos de esa manera.
Johnny: Asumiendo que las parejas se sentarán una al lado de la otra, eso hace 4 posibilidades de tu lado y 4 de la mía. Eso es un total de 16 posibilidades.
Sara: ¿Te sientes cómoda con eso?
Johnny: Podría vivir con eso.
Todos los invitados estaban invitados. Todos vinieron y tuvieron una buena cena. Recordaron durante horas todos y cada uno de los recuerdos de sus años de escuela secundaria. Algunos de ellos tenían grabaciones de eventos almacenadas en diferentes soportes y se las mostraban a todos. Todos disfrutaron y bromearon.
Joe contó un chiste.
Un profesor de matemáticas le pidió a su esposa la combinación de un candado. Ella dijo, “35-25-15”. El Prof le dijo a su esposa que la combinación no funcionó. La esposa le preguntó: “¿Qué números probaste?” Dijo: “15-25-35”. Ella le dijo al profesor: “Cariño, no sé qué voy a hacer contigo”. Pete comenzó a reír hilarantemente diciendo. “¡Ja, ja, combinación!”
Desafío
Desafío 1. Determinar 50001!/49999!.
Soluciones 1. No puedes hacer esto simplemente determinando los valores de los dos factoriales usando una calculadora y luego sumergiendo el numerador por el denominador. Pruébelo, obtendrá un mensaje de error porque los valores son muy grandes. hagámoslo de esta manera
50001!/49999!. = (50001 x 50000 x 49999!)/(49999 !) = 50001 x 50000 = 2500050000.
Reto 2. Tienes que cursar 5 materias este semestre. Tienes un total de 8 asignaturas para elegir excepto que debes cursar inglés como asignatura obligatoria. ¿Cuál es el total de combinaciones posibles entre las que puede elegir?
Soluciones 2. El hecho de que el inglés sea obligatorio no se debe considerar en el número de asignaturas ni en el número de opciones. Por lo tanto, debe elegir 4 materias de 7. El número de opciones es:
7C4 = 7!/(4! x (7-4)!) = 7 x 6 x 5 x 4……1/((4 x 3…1) (3 x 2 x 1) = 7 x 6 x 5/ (3 x 2 x 1) = 35.
superdesafío
Pregunta: ¿Cuál es mayor 5099 o 99! ?
Respuesta: 5099 = 502x 502 x…………………….. 502x 502 x 50 (502 sale 49 veces)
99! = 99 x 98 x 97 ………………………………………… ……3x2x1
= (99 x 1) x (98×2) x (97 x 3) …………………. x (52 x 48) x (51 x 49) x 50
Por lo tanto 5099/99! =
502 /(99 x 1) x 502 /(98 x 2) …………………..x 502 /(51 x 49) x50/50
Todos los términos con 502 como numerador son mayores que 1, y 50/50 = 1
Por lo tanto 5099/99! > 1 o 5099 > 99!
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