La Sra. Clementine era unamaestrapasada de moda.
La Sra. Clementine era unamaestraanticuada. Ella creía que el hábito de trabajarduro era la clave deléxitofuturo de losestudiantes. Le gustabansusalumnos y quería que les fuerabien. Puedeserporeso que comomaestra de tareas era más dura que un sargento de instrucción. Este semestre, ellaestabaenseñando el primer curso de álgebra a estudiantes de secundaria. Ella les habíaenseñado a resolver ecuacionessimultáneasporeliminación y sustitución. Quería que losestudiantesdecidieranquéenfoquefuncionaríamejor para unproblema individual. Uno pensaría que darestaopción a losestudiantesreflejabasuindulgencia. No, ella les diotarea para la cuallosestudiantestendrían que trabajardurotoda la noche.
Tambiénhabíaotrolado de estamaestra. Le encantaban las fiestas religiosas. La Pascua habíasidosufavorita. Cuando era bebé, le encantaba la búsqueda de huevos de Pascua y todoslosdulces que tenía para comer. A medida que crecía, se convirtióenmaestra, peroorganizabaestoseventos con suiglesia. Tal vez, estaes la razónpor la que toda la tarea que dio hoy fuesobredulces de Pascua, peroconservando la seriedad de las matemáticasenella. Hubovariaspreguntasbasadasenecuaciones con dos tipos de dulces, algunos con tres o cuatro e incluso con cincodulces de Pascua diferentes.
Sara y sunovio Johnny estabanen la clase de la Sra. Clementine. Después de la escuela, se fueron a sus casas perotres horas después, Sara fue a la casa de Johnny.
Sara queríajugar Frisbee
Sara: Johnny, ¿porqué no vamos al parque y jugamos Frisbee? Esmuyagradableafuera. Hay unabrisaagradable y no hay niunanubeen el cielo.
Johnny: ¿Estásbromeando? Tenemostantatarea de la clase de la Sra. Clementine. Estuveenesodurante dos horas y solo hice 5 preguntas con 8 más para terminar. Las 5 preguntas que hicefueron las másfáciles. Parece que tendré que hacerunanocheentera. ¿Cómopuedespensarenjugar? ¿Terminaste con toda la tarea?
Sara: Sí, he terminado.
Johnny: no tecreo ¿Cómoloshiciste tan rápido?
Sara: Vamos a jugar Frisbee durante media hora. Te lo explicarécuandovolvamos.
Johnny: Bien podríair a jugar.
Lanzaron el Frisbee y lo atraparon. Sin juegosespecíficos. Eso les diosuficienteentrenamiento para sudar. Después de que regresaron de jugar, Johnny sintiócuriosidadpor saber cómo Sara habíaterminado la tarea tan rápido.
Johnny: Muéstrametustrucos.
Sara: No es mi truco. Anoche, mi papá me dijounamanerafácilusando la regla de Cramer.
Johnny: ¿Qué diablos eseso y porqué la Sra. Clementine no nosenseñó?
Sara: Ella estáesperando hasta que tomemossucurso de matrices de grado 12, al menostengo la intención de tomarlo.
Matrices y regla de Cramer
Johnny: ¿Qué son las matrices?
Sara: Tedarélosconceptosbásicos y luegotemostrarécómousar la regla de Cramer. Supongo que aprenderás el resto de ellaen el grado 12 sitomas ese curso. Comencemos con la primerapregunta que hiciste hoy. Se trata de dulces de caramelo y kitkats. Dice que el costo de 7 dulces y 2 kitkatses $29 y el de dos dulces y 5 kitkases $26. Solo voyaescribir x para dulces de caramelo e y para kitkats, luego:
7x + 2y = 29…..ecuación 1
2x + 5y = 26….. ecuación 2
Johnny: Yahicetodoeso.
Sara: Pero puedoescribir las dos ecuacionesen forma de unamatriz M de 2 x 2 en la que la primeracolumnaes para x, la segunda para y, la primeraecuaciónes la fila 1 y la segundaecuaciónes la fila 2. Porseparado, haremosunacolumna para el lado derecho.
Ahora, escribiremosotramatriz (Mx) en la que la columna x de M se reemplazapor la columnadellado derecho. De manera similar, crearemos la matrizMy apartir de M reemplazando la columna y con la columna del lado derecho.
Ahoracalcularemoslosdeterminantes de las matrices de 2 x 2. El determinante de unamatriz de 2 x 2 se calculacomo se muestraaquí
Portanto, el determinante D de la matriz (M) ennuestroproblemaserá
7 x 5 – 2 x 2 =35-4 =31.
El determinante de Mx o Dxserá 29 x 5 – 26 x 2 = 145 -52 = 93,
y el determinante My o Dy = 7 x 26 – 2 x 29 = 182 – 58 =124
Ahora la regla de Cramer dice que x = Dx/D y y = Dy/D
Porque D = 31, Dx = 93 y Dyes 124, x el dulce de caramelo = 93/31 = $3 y y el kitkat = 124/31 = $4
Johnny: Deben sercaramelosenormes para que cuestentanto, peroesaes la mismarespuesta que obtuve. Esofue solo unproblema de 2 variables. Esos, puedopasarcomo un rayo. Eso no me ayuda.
Sara: Mientrasentiendas la idea. Poco a pocopodemospasar a losmásdifíciles. Pero antes de haceresto, déjamemostrartecómocalcularlosdeterminantes de matrices másgrandes.
Matriz de 3 x 3 – buentruco para el determinante
Aquí hay unamatriz de 3 x 3. Puedeobtenertres matrices de 2 x 2 como se muestraaquí. Cadauna de las matrices de 2 x 2 se denominamenor y se multiplicanpor un cofactor (término de la fila superior de la matriz de 3×3) como se muestra. Luego, puede resolver cadamatriz de 2×2 como antes y obtener la respuestacomo se muestraen la imagen.
Hay untruco que puedesusarcomo se muestraen el métodoalternativo. Escribes las dos primerascolumnasnuevamente al final de la matriz de 3×3. Luegopuedesmultiplicarlostérminosconectados con las flechas. Los términosconectados con las flechashaciaadelante (negras) se suman y los que tienenflechashaciaatrás (rojas) se restan. Este trucotambiénfunciona con las matrices másgrandes. Aquí hay unejemplo de unamatriz de 5×5. Si esdemasiadoperezoso para hacereso, tambiénpuedeobteneralgunascalculadoras y programas de hojas de trabajo para calcularlosdeterminantesporusted.
Johnny: ¿Vas a darunalecciónuna y otravez o me vas a mostrarcómo resolver unproblema?
Sara: Aquí hay unproblemamás que ya has hecho. La familia de Jamie compró 6 caramelos, 2 kitkats y 2 dulces Hershey por $16, Joniecompró solo uno de caramelo y uno de Hershey pero 3 kitcat y pagó $10 pero Josephine compró 9 caramelos, 1 kitcat y 3 dulces Hershey por $20. ¿Cuáles el precio de cadatipo de caramelo?
Aquíescribícaramelocomo x, kitkatcomo 2 y Hershey como 3 y escribí las tresecuaciones.
En la parte superior izquierda de la imagen están las tresecuaciones con las variables x, y y z, y al ladoestánen forma de matriz. Hay unamatriz de 3×3 (M) y luego a la derecha hay unamatriz de 1×3 para loslados derechos de las ecuaciones. Podemossustituir las columnasapropiadas con el lado derecho para obtener las matrices Mx, My y Mz (ver la imagen). Entoncespodemosobtenersusdeterminantes.
Obtuve D = 8, Dx = 8, Dy = 16 y Dz = 24,
De la regla de Cramer x = Dx/D =1, y = Dy/D = 2 y z = Dz/D = 3.
Así que el caramelocostaba $1 cadauno, kitkat $2 y Hershey $3. Todosestosdebenser de diferentestamaños para tenerunadiferencia de precio tan grande.¿Quépiensas?
Johnny: Esoestodo. Puedousar el mismoprocedimiento para el resto de las preguntas. Si me da pereza, podríahaceralgunos de losdeterminantes 4×4 o 5×5 en la computadora. Ahoradeberíapoderterminar mi tareaen 2 horas enlugar de toda la noche. Gracias Sara. ¿Quépasa con la Sra. Clementine? Ella podríapreguntarnoscómoloshicimos.
Sara: No tepreocupes. Me ocuparé de eso.
Al díasiguienteenclase, la maestrapreguntósialguienhabíahechotoda la tarea. Solo dos estudianteslevantaron la mano: Sara y Johnny. El resto de la clasehabíahecho solo las preguntascon dos variables o algunos con tres variables. Se habíandetenidoallí.
Sra. Clementine: Sara, no es que no tecrea. Por favor, muéstrametucuaderno.
Sara ledio el cuaderno.
Sra. Clementine: Veo que usó matrices. Chicainteligente. ¿Quiénteenseñósobreellos?
Sara: Mipapá me lo dijoperoluegoleísobreellosyomisma,
Sra. Clementine: Supongo que también le enseñaste a Johnny y asífuecomoterminó la tarea.
Bien hecho.
De regreso de la escuela, Sara ledijo a Johnny: Mipapá me dijo que hay muchasaplicaciones de las matrices enfísica, economía, teoría de grafos, teoría de probabilidades y todo. Hay muchascosas que puedeshacer para manipularlos. Además, la regla de Cramer no es el únicométodo para usarlos para resolver ecuacionessimultáneas.
Enestemomento, a Johnny no le importaba. Solo queríadisfrutar el resto deldía.
¿Quépiensas de la Sra. Clementine que diotantatareaperotodo se trataba de dulcesen el espíritu de las celebraciones de Pascua?
Desafío
Para Semana Santa, cincofamiliasdiferentescomprarondulcesen la mismatienda. Johnsons compró 2 crocantes de maní, 3 huevos de Pascua, 4 paquetes de dulces kinder, 5 chocolates blancos y 1 chocolate de conejogrande y pagó $45. Davidsons compró 6 crocantes de maní, 2 huevos de Pascua, 3 paquetes de dulces kinder, 1 chocolate blanco y 5 chocolates grandes de conejo y pagó $48. Chungscompró 1 crocante de maní, 5 huevos de Pascua, 2 paquetes de dulces kinder, 2 chocolates blancos y 2 chocolates grandes de conejo y pagó $35. Tomlinsonscompró 5 crocantes de maní, 4 huevos de Pascua, 1 paquete de dulces kinder, 3 chocolates blancos y 4 chocolates grandes de conejo y pagó $48. Manteniéndose al día con losvecinos, la familiaKichinawacompró 3 crocantes de maní, 1 huevo de Pascua, 5 paquetes de dulces kinder, 4 chocolates blancos y 3 chocolates de conejogrande y pagó $51.
¿Cuáles el precio de unpaquete de dulces de cadatipo?
Respuesta: Escribamos a para el maníquebradizo, b para el huevo de Pascua, x para el paquete de dulces Kinder, y para el chocolate blanco y z para el conejo. Entonces el problema se convierteen el conjunto de 5 ecuacionesescritas a continuación.
Para resolverlas, haga lo siguiente:
Paso 1. Escribaunamatriz de 5 x 5 (M) para losladosizquierdos y unamatriz de 1 x 5 para loslados derechos de las ecuaciones.
Paso 2. A partir de la matriz M, cree las matrices Ma, Mb, Mx, My y Mz reemplazando las columnascorrespondientesen la matriz M con la matriz del lado derecho.
Paso 3. Calcularsusdeterminantes D, Da, Db, Dx, Dy y Dz. Honestamente, estepasofue mucho másrápido para míusando Excel.
Paso 4. Calculelosvalores de a, b, x, y, z.
Paso 5. Verificaturespuestausandoestosvaloresen al menosunaecuación.
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