Ashley y Brittany – las porristas
Ashley y Brittany eran amigas cercanas, bueno, tan cercanas como pueden ser dos adolescentes fanfarronadas. Ambos eran extremadamente populares en la escuela. Eran porristas. Por supuesto, sus cuerpos atléticos, sus cortes de pelo caros y su ropa vanguardista aumentaron su popularidad. Parecían respetarse mutuamente. Uno podría suponer que tenían que hacerlo porque cada uno de ellos conocía tantos secretos del otro.
Ashley tenía una gran debilidad: le gustaban los dulces. Consumiría tantos dulces como pudiera poner en sus manos. Un día, Ashley y Brittany estaban sentadas hablando entre ellas.
Ashley: Gané 5 libras el mes pasado. Como sano, practico como animadora y hago ejercicio contigo en el gimnasio. No quiero engordar más y convertirme en una ballena. Creo que algunos de los chicos ya están perdiendo interés en mí. Josh incluso ha comenzado a despreciarme.
Brittany: ¿De verdad crees que comes sano?
Ashley: ¿Estás hablando de los dulces? He tenido un diente dulce desde que era pequeño. No puedo evitarlo.
¿Quién podría ser más popular que nosotros?
Ashley comenzó a meditar y maldecir sin descanso a lo único dulce en ella que era su gusto por lo dulce. Brittany le mostró a Ashley un grupo de estudiantes. Estaban todos amontonados alrededor y hablando con esta chica. ¿Quién podría ser más popular que nosotros?, ambos se preguntaron celosamente. Decidieron averiguarlo. Llamaron a uno de los chicos del grupo y le preguntaron por esta chica. Les dijo que el nombre de la niña era Sara. Agregó que Sara era muy inteligente y amable con todos. Brittany y Ashley no podían creer que esta chica pudiera ser tan popular. Ni siquiera era porrista y vestía como una chica corriente: sin cortes de pelo caros, sin tacones altos, nada. Decidieron averiguar por qué la chica era tan popular. ¿Era realmente tan inteligente? Fueron al grupo de esos estudiantes a hablar con Sara. Por supuesto, el novio de Sara, Johnny, también estaba allí.
Ashley: ¿Eres Sara? He oído hablar mucho de ti.
Sara: Sí, mi nombre es Sara. Este es mi novio Johnny. ¿Qué has oído hablar de mí?
Ashley: Yo soy Ashley. Esta es mi amiga Bretaña. Estábamos hablando de ti y de lo popular que eres.
Sara: gracias No sabía que era popular.
Brittany: Popular e inteligente también.
Sara: Por favor, deja de avergonzarme.
Ashley le cuenta a Sara sobre su gusto por lo dulce
Ashley: Tengo un problema y pensé que siendo una chica inteligente podrías ayudarme.
Sara: ¿Qué tipo de problema? Intentaré ayudar si puedo, pero no prometo nada.
Ashley: Gané 5 libras el mes pasado. Como sano, practico como animadora y también voy regularmente al gimnasio con Brittany. No quiero seguir subiendo de peso. El problema es que he sido goloso desde que era pequeño. No puedo evitarlo.
Brittany: No puedes renunciar de repente. ¿Qué tal si lo haces lentamente?
El plan de Sara para Ashley
Sara: Bretaña tiene razón. Tengo un plan para ti. Hágase la promesa de que en un día cualquiera comerá solo la mitad de los dulces que tiene consigo y que no comprará más dulces.
Ashley: Ah, eso es inteligente. De esa manera dejaría de fumar lentamente. ¿Crees que funcionará?
Brittany: Vale la pena intentarlo. Si funciona, volverás a convertirte en la chica soñada de todos los chicos. Si no funciona, les diremos a todos que Sara no es tan inteligente.
Este fue un incentivo suficiente para que Ashley se convirtiera en la chica de sus sueños. Incluso podría pasar por alto que esto demostraría que Sara es muy inteligente. Se fue a casa, tomó la balanza de la cocina y pesó todos sus dulces. Eran 256 g. Ese día comió 128 g del dulce que era la mitad de los 256 que tenía consigo. En realidad, esa era casi la misma cantidad de dulces que estaba acostumbrada a comer todos los días, de todos modos. Ahora, quedaron 128 g de dulces. Al día siguiente comió la mitad y le quedaron 64 g. Siguió comiendo la mitad de los dulces restantes cada día hasta que solo quedó 1 g.
Ashley estaba feliz, alardeando ante Brittany de cómo había usado su determinación, y que solo quedaba 1 g de dulces. Estaba pensando en chicos como Josh que volvían a admirar su belleza.
El dia de san valentin
Había una cosa con la que Ashley no había contado: el día de San Valentín. Todavía tenía muchos amigos. Algunos de sus amigos estaban ansiosos por estar del lado bueno de Ashley y sabían cuánto amaba los dulces. Ninguno de ellos fue lo suficientemente considerado como para saber sobre el problema del gusto por lo dulce de Ashley y sobre su plan actual. Le trajeron chocolate y otros dulces. Todos los dulces estaban envueltos en papeles con pegatinas de corazones. ¿Cómo podía rechazarlos? Todos estos amigos la amaban.
Brittany: Ashley, eres muy popular.
Ashley: ¿Qué voy a hacer con los dulces y mi gusto por lo dulce?
Brittany: Dale los dulces a tu hermanito.
Ashley: De ninguna manera, ¿cómo puedo darle los dulces a ese punk? Los chicos lindos me lo dieron con mucho cariño. Casi puedo saborear sus besos en los dulces.
Brittany: Debes tener un kilogramo de dulces. No vas a apegarte a tu vieja regla de comer la mitad de los dulces restantes cada día. ¿Eres tú?
Ashley volvió con Sara y le dijo: Seguí tu plan de comer solo la mitad de los dulces restantes todos los días. Estaba funcionando, y casi había terminado, pero luego llegó el Día de San Valentín y recibí muchos dulces de los chicos que me aman. Ahora, estoy atascado.
Sara miró la cantidad de Candy que Ashley tenía, sonrió y dijo: Nunca pensé que ser tan popular pudiera ser una maldición. Por supuesto, tengo la solución, pero tengo una clase ahora mismo. ¿Cuando podemos encontrarnos?
Ashley: ¿Estás libre a las 2? Tal vez podamos encontrarnos en la cafetería.
sara: si Nos vemos a las 2, pero no comas dulces hasta entonces.
¿Fue Sara lo suficientemente inteligente como para resolver este problema?
Ashley y Brittany no creían que Sara fuera lo suficientemente inteligente como para hacer algo para resolver este problema. Sin embargo, decidieron conocerla. Tal vez podrían mostrarla si no tenía una buena solución. Se conocieron en la cafetería. Sara tenía su computadora portátil con ella.
Sara: Déjame comenzar mostrándote un gráfico de lo que estabas haciendo antes del Día de San Valentín. Este tipo de curva se llama decaimiento exponencial. Este decaimiento tiene una vida media de 1 día porque decidió comer solo la mitad de los dulces restantes en cada día.
brittany: lo entiendo No me vengas con tonterías matemáticas. ¿Cómo ayuda la situación actual cuando Ashley tiene casi 1 kg de dulces?
Sara: Sencillo, mantenemos el mismo plan pero cambiaremos la vida media de 1 día a 1 semana.
Brittany: ¿Me estás diciendo que se comerá la mitad de todos los dulces en una semana y luego la mitad de los sobrantes la próxima semana? Eso es inteligente. El plan podría funcionar.
Ashley había pesado todos los dulces, incluido el 1 g que le quedaba de antes. El peso total fue de 1024 g.
Ashley: Gracias por el nuevo esquema. Mantengo el mismo plan pero solo cambio el tiempo de 1 día a 1 semana.
Brittany: ¿Cómo decidirás cuántos dulces comer hoy? ¿Puedes comer los dulces de toda la semana en un día y luego esperar a que llegue la próxima semana?
Ashley: Eso sería estúpido y difícil de hacer. Sara, ¿qué te parece?
Sara: Una semana tiene 7 días. Sara: Esta es la cantidad de dulces que debes comer del día 1 al 7: 97g, 87g, 79g, 72g, 65g, 59g y 53g. Esto es un total de 512 g de los 1024 g que tiene. Así que te quedarán 512 g. Te haré un gráfico para todos los diferentes días después de la primera semana.
Ashley: Yo podría hacer eso. Gracias Sara. Ahora sé por qué le gustas a todo el mundo.
Brittany: En algún momento deberías venir y vernos animar. Esta es una invitación de los dos.
Sara: Gracias y acepto feliz la invitación. Johnny y yo nos reuniremos para observarlos.
Durante todo el tiempo, Johnny observó en silencio lo que Sara había hecho. Después de la escuela, Sara y Johnny hablaron sobre eso.
Otra aplicación de las funciones exponenciales
Johnny: Veo que encontraste una aplicación más de las funciones exponenciales.
Sara: Solo una cosa es diferente, la última vez hablamos de funciones exponenciales como am cuando “a” era mayor que uno. Nana solía recibir el doble de la cantidad de dinero cada vez, así que usamos la función f(t) = Cinicial x am, siendo Cinitial la cantidad que recibió en su nacimiento, que fue un dólar, a = 2 porque la cantidad se duplicó cada año y siendo m el número de años. Le dije a Ashley que podía comer la mitad de los dulces restantes cada día. Por lo tanto, aquí a =1/2.
Johnny: Sé que la cantidad de dulces que puede comer cualquier día será
f(t) = Cinicial x am = Cinicial x (1/2)( número de días).
Sara: Johnny, recuerdas que también podemos escribir 1/2 como 2-1. Por lo tanto,
f(t) = Cinicial x 2(-tiempo/vida media).
Sara: Eso es lo que hice cuando le dije que podía comer la mitad de los dulces restantes cada semana excepto que cambié el tiempo a semanas en lugar de días. Entonces se convirtió en:
f(t) = Cinicial x 2(-semanas/vida media en semanas) y siendo la vida media de 1 semana, obtuve
f(t) = Cinicial x 2(- número de semanas) = Cinicial x 2(-7 x número de días). Así conseguí los números que le di después del día de los enamorados.
C(t) = 2(-tiempo en días / 7).
Veo que el segundo exponente decae mucho más lento que el primero. Eso tiene sentido. Supongo que redondearás los números al gramo más cercano cuando le digas las cantidades que debe comer el resto de los días.
Johnny quedó impresionado con la habilidad de Sara para encontrar este nuevo uso para las funciones exponenciales. No pudo resistirse a hacer una grieta: “Supongo que los exponentes son como montañas. Con un poder positivo, puedes alcanzar alturas más altas, pero te deslizas hacia abajo cuando el poder es negativo”.
Sara: Eso es todo, pero recuerda que solo funciona para una base mayor que 1. Para un exponente con una base menor que, te deslizas montaña abajo.
Desafío
Tony Gordito, un estudiante de décimo grado, estaba sentado en la cafetería de la escuela con sus amigos y disfrutaba de la comida. Chelsea dijo que iba a correr en la carrera de 5 km ese fin de semana para recaudar fondos para la Fundación contra el Cáncer. Tony dijo que tal vez él también debería correr. Todos se rieron pensando que Tony no podía correr. Chelsea preguntó: “¿Qué tan rápido?” Tony respondió: “¿Cuántos minutos tardas en correr los 5 km?” Chelsea dijo, “22 minutos”. Tony declaró que correría el próximo año y superaría su tiempo de 22 minutos. Ahora que había hecho la declaración, “Tony salió a las pistas para comenzar el entrenamiento”. Caminó lo más rápido que pudo, y con trotes ocasionales en el medio. completó los 5 km en 60 minutos. Calculó que podría practicar 2-3 días a la semana y cada semana tomaría un 2 por ciento menos de tiempo que la semana anterior. Si Tony sigue decidido a hacer esto, ¿crees que después de 52 semanas podría cumplir el desafío de correr 5 km en menos de los 22 minutos de Chelsea?
Solución: Tony corrió los 5 km en 60 min el fin de semana. Después de cada semana tomará un 2% menos de tiempo que la semana anterior. Por lo tanto, el tiempo después de n semanas será
60 x (1- 0.02)n o 60 x 0.98n.
Entonces, después de 52 semanas, su tiempo será de 60 x 0,9852 minutos, que son 20,985 minutos. Eso le da un poco más de un minuto bajo el desafío de correr en el tiempo de Chelsea de 22 minutos.
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