La alfombra magica

La mamá de Sara tenía que contar una historia ahora

            Nana a menudo contaba una historia o cantaba una canción de cuna para dormir a Sara. A veces, incluso cuando era adolescente, Sara insistía en ello. Esta vez, Nana se ausentó unos días para visitar a unos familiares. Cuando Sara no podía dormir, fue con su mamá y le pidió que le contara una historia que nunca antes había escuchado. Mamá no estaba acostumbrada porque este era el trabajo de Nana, pero Sara no se movía. Finalmente, mamá cedió y esto fue lo que sucedió.

            Mamá: Esta es una historia india antigua que leí en una revista cuando estaba en la escuela secundaria. no se si es verdad

            Sara: Dímelo ya, por favor aunque sea todo inventado.

            Mamá: Érase una vez, en la India, había un rey al que le gustaban los regalos únicos. Un día, un hombre le regaló al rey una alfombra de diseño único. Me encantaba este diseño y le pedí a mi papá que me hiciera una fotocopia de la revista. Aquí está . Lo saqué de mi habitación cuando me pediste que te contara una historia.

            Sara: Mamá, esta foto de la alfombra parece un código de barras o algo así.

            Mamá: Puede ser que sí. El hombre había utilizado el concepto de ubicación de los valores de los números en el sistema decimal, su intelecto y la ayuda de un hábil fabricante de alfombras. Escribió números en la alfombra de tal manera que entre el 1 y el 10 hubiera la misma distancia que entre el 10 y el 100, y entre el 100 y el 1000. Esta sería una nueva forma de presentar los números. Sin embargo, el rey estaba tan acostumbrado a que la distancia entre 1 y 2 fuera la misma que entre 2 y 3, y una distancia mucho mayor entre 1 y 10. Simplemente despidió al hombre diciendo que esto confundiría a la persona promedio. No alentó más al hombre, pero siendo un rey bondadoso, le dio una pequeña recompensa. Ahí terminó el asunto.

            Este sistema fue reinventado en el siglo XVI en Escocia por un matemático llamado John Napier.

            Sara: Gracias por la historia mamá. ¿No usamos el concepto de décadas crecientes todos los días cuando hablamos de mililitros, centilitros, decilitros y litros?

            Sara se fue a dormir pero al día siguiente le contó esta historia a Johnny.

                        Johnny: Tu mamá y Nana te cuentan buenas historias. Después de todo, tu mamá es la hija de tu Nana.

            Sara: No, no lo es. Ella es la nuera de mi Nana. No importa, dijiste que estabas frustrado ayer. ¿Qué sucedió?

Graficar datos exponenciales

            Johnny: Recuerda la historia de tu Nana sobre el tío Shah. La cantidad de dinero que el tío Shah le dio a Nana fue la función exponencial f(t) = Cinicial x 2t. Había comenzado con un dólar y siguió duplicándolo cada año hasta que Nana cumplió 14 años. Solo quería ver cómo sería la gráfica de esa función. Entonces tabulé las cantidades de la historia y luego traté de graficarlas (Fig. 6.2 y Fig. 6.3).

         Primero, usé un papel cuadriculado normal y tracé el número de años en el eje X y las cantidades en dólares en el eje Y. Configuré el eje X de 0 a 14 y el eje Y de 0 a 20,000. Los puntos para Y superiores a 1000 se podían marcar fácilmente, pero era difícil leer dónde marcar los puntos para valores muy pequeños de Y. Cambié la escala de Y comenzando desde 0 y terminando en 20. Ahora, podía marcar fácilmente el puntos hasta 16 pero no había espacio para los puntos con los valores más altos. Me frustré pensando que ninguna escala acomodaría todos los puntos.

Papel cuadriculado mágico

            Sara: Johnny, esta es la mejor parte de la historia de mamá. Ella me dio un papel cuadriculado mágico basado en eso. Este papel mágico, Johnny boy, es la oración para acabar con tu frustración gráfica. En su papel cuadriculado, los ejes X e Y son lineales. Por ejemplo, en su papel cuadriculado, en el eje Y la misma distancia entre 1000 y 10000 dólares es aproximadamente 1000 veces la distancia entre 1 y 10 dólares. El papel cuadriculado mágico está hecho para mostrar que la distancia entre 1 y 10 es la misma que entre 1000 y 10000. Por lo tanto, la distancia entre cada década es la misma. Ella lo llamó papel semilogarítmico o papel semilogarítmico para abreviar. Es semi porque un eje es lineal como en el papel cuadriculado que estabas usando y el otro eje es logarítmico. En esto, comencé la escala con 1 a 100000 y tracé los datos para los 14 años.

            Johnny: Eso está bien. De mi parte, agradécele a tu mamá por eso, pero tengo una pregunta: “¿Cómo calculas la distancia entre uno y dos dólares?”

            Sara: Aquí están marcadas las líneas pero habrá que ver cómo salen estas líneas. Aunque tengo una idea.

            Johnny: Veo que hiciste tres gráficos.

            Sara: Sí, la primera la hice a mano y está un poco desordenada (Fig. 6.4). Este es el gráfico del dinero que el tío Shah le dio a Nana cada año hasta que cumplió 14 años. Recuerda, él le dio un dólar cuando nació, 2 el año siguiente, 4 el año siguiente y así sucesivamente hasta llegar a $16384 en el año 14. Puedes ver el dinero de todos los años en este gráfico.

            Jonnhy: ¿Qué pasa con los otros dos gráficos?

            Sara: Johnny, has hecho muchas gráficas usando un programa de computadora. Hice lo mismo pero noté que el programa de computadora en mi computadora portátil te permite elegir el tipo de eje: lineal o logarítmico. Para el eje X, elegí lineal y el eje Y logartímico. Luego grafiqué los mismos datos en la figura 6.5.

            Johnny: Wow, estos gráficos son líneas rectas con pendientes positivas. Veo que el tercero tiene una pendiente negativa (Fig.6.6).

            Sara: El tercer gráfico es donde Ashley tenía 128 g de dulces y podía comerse la mitad de los dulces restantes en cualquier día. Ambas eran funciones exponenciales pero con un exponente ascendente para uno y uno descendente para el otro. En los gráficos semilogarítmicos, ambos vienen con líneas rectas, pero la pendiente es positiva para el exponente ascendente y negativa para el exponente descendente.

            Johnny: Eso es genial, pero todavía tengo mi pregunta sobre cómo se les ocurren las líneas para 2, 3, 4 y así sucesivamente.

            Sara: Tendremos que leer sobre eso. Creo que tenemos un capítulo sobre troncos en nuestro libro. ¿Por qué no hacemos esto en otro momento?

Desafío

            Tony Gordito, un estudiante de décimo grado, estaba sentado en la cafetería de la escuela con sus amigos y disfrutaba de la comida. Chelsea dijo que iba a correr en la carrera de 5 km ese fin de semana para recaudar fondos para la Fundación contra el Cáncer. Tony dijo que tal vez él también debería correr. Todos se rieron pensando que Tony no podía correr. Chelsea preguntó: “¿Qué tan rápido?” Tony respondió: “¿Cuántos minutos tardas en correr los 5 km?” Chelsea dijo, “22 minutos”. Tony declaró que correría el próximo año y superaría su tiempo de 22 minutos. Ahora que había hecho la declaración, “Tony salió a las pistas para comenzar el entrenamiento”. Caminó lo más rápido que pudo con trotes ocasionales en el medio y completó los 5 km en 60 minutos. Calculó que podría practicar 2-3 días a la semana y cada semana tomaría un 2 por ciento menos de tiempo que la semana anterior. Si Tony sigue decidido a hacer esto, ¿crees que después de 52 semanas podría cumplir el desafío de correr 5 km en menos de los 22 minutos de Chelsea? Tony le contó esta historia a la Sra. Clementine, la maestra de matemáticas. Ella dijo: “Una imagen vale más que mil palabras. ¿Por qué no dibujas tu tiempo cada cuatro semanas en un papel cuadriculado? Oh, sí, asegúrate de dibujar una línea recta adecuada con una regla”.

            Solución: Tony corrió los 5 km en 60 min el fin de semana. Después de cada semana tomará un 2% menos de tiempo que la semana anterior. Por lo tanto, el tiempo después de n semanas será 60 x (1- 0,02)n o 60 x 0,98n. Para obtener una línea recta, Tony tuvo que trazar el tiempo de ejecución de 5k en una escala logarítmica. Obtuvo un papel semilogarítmico de un solo ciclo y graficó los datos como se muestra. Claramente superó el tiempo de Chelsea de 22 minutos como se muestra en el gráfico con una flecha.

Tiempo de práctica (semanas)

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