Cathy y Sara
Cathy y Sara han sido amigas desde que tienen memoria. A los 17, todavía eran amigos a pesar de que tenían sus propios novios. A menudo se sentaban y charlaban.
Cathy: Dave acaba de obtener su licencia de conducir. Vamos a celebrar yendo a Langley Park. Conduciremos de ida y vuelta.
Sara: Eso es genial. ¿Qué ruta tomarás?
Cathy: Dave me mostró esta ruta escénica a través del lado del condado. Hay muy poco tráfico. Dice que para disfrutar del paisaje iremos despacio, a 40 kilómetros por hora, pero volveremos a 60. Aunque el límite de velocidad es 50, a 60 no te ponen una multa por exceso de velocidad. y tu novio Johnny quieren unirse a nosotros?
Sara: Déjame preguntarle a Johnny. ¿Cuando vas?
Cathy: mañana
Sara llamó a Johnny y luego le dijo a Cathy: Queremos irnos pero los dejaremos en paz, tortolitos.
Cathy: ¿Qué significa eso?
Coches separados
Sara: Johnny quiere llevar su propio auto, yo iré con él, y ustedes van en el auto de Dave. Tomaremos la misma ruta. Además, no le gusta reducir la velocidad del tráfico al ir y acelerar al regresar. Es posible que no obtenga un boleto, pero todavía quiere ir a 50 en ambos sentidos.
Cathy: Como quieras, pero eres bienvenido a unirte a nosotros.
Sara: Podemos quedarnos después del viaje. Ya que regresaremos 10 minutos antes que ustedes, también tomaremos un café para ustedes.
Cathy no puede imaginarse cómo pudo volver Sara 10 minutos antes. Nosotros vamos a 40, volvemos a 60 y ellos van por el mismo camino a 50 en ambos sentidos. Ella debe estar loca.
Bueno, al día siguiente se fueron de viaje. Cathy y Dave regresaron 10 minutos más tarde como había mencionado Sara. Cathy todavía no puede entender cómo pudo suceder esto. Ella piensa que hicieron trampa. Sara jura que se apegaron a 50 en ambos sentidos.
¿Qué piensas?
¿Qué tan lejos está este Langley Park de todos modos?
La broma de Sara
Dos políticos discutían en la televisión. El político A dijo que había un 90% de posibilidades de que ganara las elecciones. B dijo que la posibilidad de que A ganara era del 0%. El moderador perplejo decidió resolverlo diciendo que el número real podría ser una especie de media de los dos valores. B respondió: “Te apuesto a que no es la media aritmética, puede ser la media geométrica o armónica”.
Desafío
Digamos que tienes dos números reales positivos x e y.
Demostrar que la media geométrica ≤ media aritmética.
Demostrar que la media armónica ≤ media aritmética.
Recuerda: Media aritmética = (x+y)/2
Media geométrica = √xy
Media armónica = 2/(1/x + 1/y).
Explicaciones y solución al reto
Explicación de la historia: Primero, consideremos esto como un simple problema algebraico.
Digamos que Langley Park está a d kilómetros de distancia.
Para Cathy y Dave, a una velocidad de 40 km/h, tardarán d/40 horas en ir, y a una velocidad de 60 km/h, tardarán d/60 horas en volver. entonces el tiempo total sera
d/40 + d/60 = 3/d120 + 2d/120 = 5d/120 = d/24 h.
Como hay 60 min en 1 hora, podemos multiplicar el resultado por esto para obtener
60 días/24 minutos = 5 días/2 minutos = 25 días/10 minutos.
Para Sara y Johnny, a una velocidad de 50 km/h en la ida y en la vuelta tardará
d/50 + d/50 h = 2 d/50 h = 120 d/50 min = 24 d/10 min.
24 días/10 minutos < 25 días/10 minutos Así que Sara tiene razón en que ellos volverán primero.
La diferencia de tiempo entre su viaje será
25 días/10 – 24 días/10 = 1 día/10 min.
Sara dice que volverán 10 min antes, eso quiere decir
1d/10 = 10 min lo que da d =100 km.
Para estar seguros, podemos comprobar esta respuesta. Langley Park está a 100 km, el grupo de Sara tardará exactamente 100/50 h en ir y 100/50 h en volver, lo que hace un total de 4 h o 240 min. Cathy y Dave tardarán 100/40 h en la ida y 100/60 h en el camino de vuelta, lo que hace un total de
100/40 + 100/60 = 300/120 + 200/120 = 500/120 o 25/6 h que son 250 min.
Como Sara y Johnny regresaron en 240 min, regresaron 10 min antes que el otro grupo. Así que la respuesta está verificada.
Podrías preguntarte por qué el tiempo no sería el mismo si el promedio de 60 y 40 es 50, que es la velocidad promedio del otro grupo. La respuesta es que el promedio de las dos velocidades no es la velocidad promedio, la velocidad promedio se conoce como la media “armónica” de las dos velocidades.
Para Cathy y Dave, el tiempo total será (d/40+d/60) h. Debido a que recorrieron la distancia de 2d km en este tiempo, la velocidad promedio será 2d/(d/40+d/60) = 2/(1/40+1/60) = 48 km/h. Esta es la media armónica de 40 y 60 km/h.
Para Sara y Johnny, la media armónica será 2/(1/50+1/50) = 50 km/h.
Desafío
Demostrar que la media geométrica ≤ la media aritmética.
Demostrar que la media armónica ≤ la media aritmética.
Media aritmética = (x+y)/2
Media geométrica = √xy
Media armónica = 2/(1/x + 1/y)
Prueba de media geométrica ≤ media aritmética
Si x e y son números reales positivos,
Cuando x = y, (x-y)2 = 0.
Cuando x ≠ y, (x – y)2 > 0 porque el cuadrado de un número real positivo o negativo siempre es positivo.
Por lo tanto, para todas las condiciones (x – y)2 ≥ 0.
Esto significa que x2 + y2 – 2xy ≥ 0.
Sumando 4xy a cada lado y luego dividiendo ambos lados por 4
x2 + y2 – 2xy + 4xy ≥ 4xy, o (x+y)2 ≥ 4xy o (x+y)2/4 ≥ xy o ((x+y)/2)2 ≥ xy.
Tomando la raíz cuadrada de ambos lados (x + y)/2 ≥ √ xy o √ xy ≤ (x + y)/2, la media geométrica (√ xy) o media geométrica ≤ media aritmética ((x+y)/2) )
Demostrar que la media armónica ≤ media aritmética.
Si x e y son números reales positivos,
Cuando x = y, (x – y)2 = 0.
Cuando x ≠ y, (x – y)2 > 0 porque el cuadrado de un número real siempre es positivo,
Por lo tanto, para todas las condiciones (x – y)2 ≥ 0.
Esto significa que x2 + y2 – 2xy ≥ 0.
Sumando 4xy a cada lado, x2 + y2 – 2xy + 4xy ≥ 4xy, o (x + y)2 ≥ 4xy
Dividiendo ambos lados por 2(x + y), (x + y)/2 ≥ 2xy/(x + y).
Dividiendo el numerador y el denominador del lado derecho por xy, esto se convierte en
(x+y)/2 ≥ 2/(1/y+1/x) o 2/(1/x+1/y) ≤ (x+y)/2
Con las definiciones de la media armónica (2/(1/x+1/y)) la media aritmética ((x+y)/2), se muestra que la media armónica ≤ la media aritmética.
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