Los pájaros del amor caminan hacia la torre del tanque de agua
Paseo nocturno en un día de verano
La mayoría de los días, Sara y Johnny solían caminar juntos solo para ir a la escuela. En algunas ocasiones, también les encantaba dar paseos nocturnos. Este fue uno de esos días. Había sido un día caluroso pero el calor era bastante soportable después de que el sol ya se había puesto. De hecho, la brisa frecuente lo hacía muy cómodo. Era que la época del año en que los árboles eran verdes y había flores eran de colores. Sara sugirió que fueran a dar un paseo a la torre del tanque de agua de la ciudad. La torre de agua estaba en el centro del pueblo y mucha gente iba allí y disfrutaba simplemente sentarse en los bancos del parque al lado. No estaba tan lejos de donde vivían Johnny y Sara. Incluso entonces, Johnny se llevó su bicicleta nueva con él. Le encantaba la bicicleta y la llevaba a todas partes. Sorprendentemente, Sara tenía una pequeña caja en la mano. Johnny se preguntó qué era y por qué lo llevaba.
Johnny: Sara, ¿qué pasa con la caja?
Sara: En realidad, la caja es de mi papá. Mi abuelo se lo dio como regalo cuando mi papá era un adolescente. Mi papá lo aprecia, pero me lo prestó para hoy.
Johnny: ¿Qué hay dentro? El suspenso me está matando.
Sextante – un instrumento para medir ángulos
Sara: La caja contiene un sextante, un instrumento que usan los ingenieros civiles para medir ángulos. Mi abuelo pensó que mi papá podría convertirse en uno. En cambio, mi papá se dedicó a la ingeniería de software. Fue algo bueno porque allí conoció a mi mamá.
Johnny: ¿Qué vamos a hacer con eso?
Sara: Lo usaremos mientras observamos la torre del tanque de agua.
Johnny: ¿Qué altura tiene la torre de agua?
Sara: Esa es una de las cosas que vamos a averiguar.
Johnny: Incluso si escalé la torre, ¿cómo mediré su altura? Ni siquiera tengo una cinta métrica.
Sara: Por eso traje el sextante de mi papá. Vayamos a la base de la torre y luego aléjese de ella.
Johnny: ¿Qué tan lejos?
Midiendo la altura de la torre
Sara: 150 metros, puedes medirlo con tu elegante bicicleta.
Ambos siguieron caminando hasta que la bicicleta de Johnny dijo que se habían movido 150 metros al oeste de la torre. Sara midió dos ángulos desde allí. Uno era el ángulo desde la base de la torre hasta la parte superior del tanque de agua. Llamó a este ángulo X, y era de 35°. El segundo ángulo que midió fue Y, que estaba desde el fondo del tanque de agua hasta la base de la torre. Este ángulo era de 30°. Sara los anotó y continuaron disfrutando de la velada. Johnny estaba inquieto. ¿Cómo podía medir la altura de la torre con esto?, se preguntó.
Regresaron a la casa de Sara donde tomaron algo para beber, y luego Sara hizo un dibujo (Fig. 3.1). A estas alturas, Johnny había desarrollado suficiente confianza en Trig para seguir el significado de esta imagen. Pronto se dio cuenta de lo que Sara estaba haciendo.
Johnny: ¿Vamos a usar los ángulos para calcular la altura de la torre? Debería ser facil. Para el ángulo X, la altura de la parte superior de la torre dividida por la distancia a la base será tan X.
Sara: Sí, el ángulo X = 35° y mi calculadora muestra que tan 35° es 0,7. Eso significa que la relación DC/AB (altura a la base) = 0,7.
Johnny: Medí con mi bicicleta que la longitud de la base (AB) era de 150 metros. Eso significa que para la altura DC, DC/150 = 0,7 o DC = 105 metros. Guau, la torre tiene 105 metros de altura.
Sara: Sí, y lo descubriste sin escalarlo.
Capacidad del tanque de agua
Johnny: Sin el tanque, el ángulo es de solo 30° y tan 30° = 0,577. Entonces, sin el tanque, la torre tendría solo 86,55 metros (150 x 0,577) de altura. Entonces el tanque agrega una altura de 18.70 metros a la torre. Ese es un tanque grande. Puede contener mucha agua.
Sara: El tanque parece una esfera. Su radio sería la mitad de su altura, digamos unos 9,35 metros. Comprobé en línea que el volumen de una esfera es igual a 4πr3/3 donde r es su radio. Este volumen saldría a ser unos 3200 metros cúbicos o 3,2 millones de litros.
Johnny: Eso es mucha agua. Solo puedo beber unos 3 litros de agua en un día. Me tomaría un millón de días beberlo todo. Aquí está el sitio web de la ciudad. Enumera que el tanque de agua tiene 105 metros de altura con el tanque. Eso es lo que calculamos. Dice que el tanque puede contener 2,9 millones de litros de agua.
Sara: Sobreestimamos la capacidad del tanque porque medimos solo las dimensiones exteriores del tanque y no consideramos el grosor de la pared del tanque.
Johnny: Eso significa que podemos medir la altura de cualquier torre de esta manera: la Estatua de la Libertad en Nueva York, C.N. Tower en Toronto, la Torre Eiffel en París o incluso Qutab Minar en Delhi.
Sara: Si, si podemos ir allá con el sextante de mi papá y tu bici. Sin embargo, seguro que podemos buscar las alturas de estos lugares y estimar los ángulos desde diferentes lugares de las ciudades utilizando las distancias del mapa.
Johnny pensó que esta idea de encontrar alturas podría aplicarse a cualquier cosa: torres, acantilados, rascacielos, montañas, etc. Estaba emocionado e impresionado con los nuevos poderes que había desarrollado. En su casa descubrió que el libro daba amplio apoyo a este pensamiento. Se lo contó a su padre, sobre todo porque la empresa de su padre construía grandes edificios. Había muchas preguntas en el libro usando estas ideas. Hizo muchas más preguntas de este tipo en los próximos días. Sí, como un genio de la trigonometría, se adelantó a las lecciones que se enseñaban en la clase. Muchos compañeros de clase acudieron a Johnny para pedir ayuda con su tarea de trigonometría. Esta fue una experiencia nueva para él.
Desafío
Desafío: La ciudad de Crapstone no tiene aeropuerto y quiere diseñar uno en el único terreno disponible al norte de la ciudad. Una pista no se puede diseñar en la dirección este-oeste debido a muchos problemas geográficos y, por lo tanto, se debe considerar una pista norte-sur. La ciudad tiene varios edificios altos a 3 kilómetros del extremo sur de la posible pista, el más alto tiene 100 metros de altura. El norte del aeropuerto está fuera de discusión debido a una montaña. ¿Sería un problema teniendo en cuenta que el ángulo de descenso durante el aterrizaje es de menos 3° y el ángulo de ascenso está previsto que sea de 8°?
Solución: Dibuje un triángulo rectángulo comenzando desde el extremo sur de la pista (A) hasta el edificio de 100 metros de altura (BC) en riesgo a 3 km (3000 metros) (Fig. 10.4).
Dado: AB = 3 km = 3000 metros.
Pregunta: ¿Cuál es el valor del ángulo de CAB (x)?
tan x = BC/ AB = 100/3000 = 0,0333. Arctan (.03333) = 1.91° que es menos de 3° u 8°. La altura del avión en B será de 3000 x tan (3°) = 157,2 metros durante el descenso y
3000 tan (8°) = 421,6 metros durante el ascenso.
Los aviones no chocarán contra el edificio durante el ascenso o descenso.
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