Desfile de narcisos

Narciso es una hermosa flor amarilla

            El narciso es una hermosa flor amarilla. Su belleza es celebrada por varios condados del estado de Washington en los Estados Unidos. En el mes de abril, varias ciudades realizan desfiles de narcisos simultáneamente en sus propias ciudades. En Tacoma, el desfile es grande en el que participan estudiantes de 24 escuelas secundarias. El evento celebrado también incluye un concurso de belleza para la elección de la Reina Narciso. Esta historia se relaciona en parte con ese alegre festival en el que varios cientos de chicas de secundaria participan en el concurso como princesas Narciso con la esperanza de ser destacadas para la gloria de ser seleccionadas como las más glamorosas y bellas.

            Sara amaba a Johnny y con frecuencia iban a la casa del otro. La mayor parte del tiempo también iban a la escuela y volvían juntos. Esta noche ella lo había llamado antes y ahora se dejó caer. Johnny la estaba esperando.

            Sara: ¿Por qué tienes tu bolsa de viaje abierta?

            Mamá de Johnny: Sí, vamos a hacer un viaje de fin de semana a Tacoma para ver el desfile de Daffodil.

            Sara: Wow, eso debe ser agradable. Johnny nunca mencionó que a ustedes les gustan tanto los narcisos.

            Mamá de Johnny: Mi hermano vive en Tacoma. Su hija, mi sobrina, Lizzi ha entrado en el concurso de belleza Daffodil de este año. Ella es muy bonita y podría ganar. Ella lo está haciendo bien hasta ahora. Entonces, la vamos a ver en el desfile de Narcisos este fin de semana. Se suponía que el padre de Johnny iría, pero está ocupado. Entonces, Johnny y yo iremos.

            Como estaba previsto, fueron a Tacoma. Al regresar, Johnny tenía una pregunta para Sara y le pidió que viniera.

            Sara: hola johnny Cómo estuvo el viaje ? ¿Lizzi ganó el título?

La discusión de Lizzi y Johnny

            Johnny: Lizzi estuvo cerca. Ella fue subcampeona. Fue agradable verla a ella ya mi tío y tía, y el desfile fue hermoso. Sabes que Lizzi todavía está en el grado 11. Así que puede intentarlo de nuevo el próximo año. Aparte de eso, Lizzi y yo tuvimos una discusión. Puede ser que puedas resolverlo.

            Sara: ¿Qué tipo de argumento?

            Johnny: Creo que involucra geometría.

            Sara: ¡Interesante, una finalista de reina de belleza y geometría! Parece que ella también es inteligente. Dime la situación exacta y trataré de resolverla.

            Johnny: Déjame dibujarte esta imagen de un triángulo rectángulo. Nos alojamos en un hotel que está en C con las carreteras AC y BC perpendiculares entre sí. El desfile iba en la dirección que indica la flecha. Nuestra pregunta era cuándo estuvo Lizzi más cerca de nosotros durante el desfile.

            Dije que era simple descifrarlo. Sacamos CD de nuestro hotel perpendicular a la vía AB. Entonces podemos calcular todo.

            Sara: Tenías razón.

            Johnny: Ni siquiera me dio la oportunidad de averiguarlo y dijo que estaba más cerca de nosotros cuando había cruzado una quinta parte de la ruta del desfile entre B y A.

            Sara: ¿Te dio una prueba?

            Johnny: Dijo que me lo enviaría por correo electrónico pero aún no lo ha hecho.

            Sara: ¿Por qué no primero vemos si tenía razón? Digamos que CD = x, BD = a y DA = b.

siendo BA la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, del teorema de Pitágoras, AB² = AC²+ BC² = 50000 o AB = 223,61 metros.

            Eso significa BD + DA = a + b = 223,61 metros.

            Ahora BDC también es un triángulo rectángulo. Por lo tanto DB² (a²) = BC² – CD² (x²).    Eso es a² = 10000 – x².

            Del mismo modo, del triángulo ADC, b² = 40000 – x².

            Entonces b² – a² =40000-x²-(10000-x²) = 30000.

            Eso significa b²-a² o (b+a) x (b-a) = 30000

            Sabemos que a + b = 223,61 metros

            Eso significa b-a =30000/223.61 = 134.16 metros

            Sumando las dos últimas ecuaciones 2b = 357,77 o b = 178,89 metros, y a = 44,7 metros.

lizzi tenia razon

            Johnny: Sabes, Lizzi tenía razón porque a = 44,7 metros y a+b=223,61 metros, y eso significa que a es la quinta parte de a+b (44,7/223,61).

            Sara: Lizzi es inteligente, pero ¿cómo pudo darse cuenta tan rápido? Una de las posibilidades es que supiera lo que es la media geométrica.

¿Qué es la media geométrica?

            Johnny: ¿Qué es la media geométrica?

            Sara: Comúnmente hablamos de promedio, que es la media aritmética en la que sumas dos números y luego divides la suma por dos. En la media geométrica, los multiplicas y obtienes la raíz cuadrada del producto (ver Viaje a Langley Park para leer más sobre la media geométrica).

            Johnny: Veo que es algo así como decir que el área de un rectángulo con los lados ayb será la misma que la de un cuadrado con todos los lados √ab. Pero, ¿cómo encaja eso aquí?

            Sara: La imagen que dibujaste muestra una línea base AB dividida en dos partes BD (a) y DA (B). En geometría, cuando dibujas un triángulo ABC de ángulo recto, la línea vertical de C a D es la media geométrica.

            Johnny: ¿Eso significa que x = √ab y x² = ab?

            Sara: Puedes empezar desde ahí y desde a + b = 223,61 metros. Ahora en el triángulo BDC, x² =100² -a².

            Johnny: entonces ab = 100² – a² o b = 10000/a – a o a + b = 10000/a o 223,61 = 10000/a o a = 10000/231,61 = 44,7 metros. Por supuesto, entonces a/(a+b) = 44,7/223,61 = 1/5. Eso es inteligente. Todavía implica muchos cálculos. Además, ¿cuál es la prueba de que x² = ab? Simplemente asumimos que esa es la definición.

            Sara: Puedes ver que el ∠ADC = ∠ACB = 90°.

∠DAC = 90° -∠DCA porque la suma de todos los ángulos en un triángulo es 180°.

            También ∠BCD = 90° -∠DCA porque ACB es un ángulo recto.

            Esto hace que ∠DAC =∠BCD

            Por lo tanto siendo los terceros ángulos ∠ACD =∠DBC.

            Por tanto, los triángulos ACD y BCD son semejantes.

            Johnny: Por lo tanto, BD/CD = CD/AD o b/x = x/a o x² = ab. Está muy bien.

            Sara: Lizzi es una chica inteligente. ¿Qué planea hacer después de la escuela secundaria?

            Johnny: Quiere ser ingeniera civil pero no sé qué quieren sus padres que haga.

            Sara: Estoy impresionada con sus habilidades matemáticas. Espero que pueda hacer lo que le gusta.

Desafío

            Los lados del triángulo rectángulo ABC son AB = a y BC =b. Un cuadrado con un brazo de p está inscrito en él como se muestra. ¿Cómo se relaciona p con a y b?

Solución: Las áreas de diferentes formas que aparecen en la figura son

            Triángulos: ABC = ab/2, ADE = (a-p) x p/2, EFC = (b-p) x p/2, Cuadrado BDEF = p².

            El triángulo ABC es la suma de los triángulos ADE, EFC y el cuadrado.

            Por lo tanto, ab/2 = (a-p) x p/2 + (b-p) x p/2 + p² o

 ab/2 = (a + b) x p/2 – p²/2 – p²/2 + p²  o

ab/2 = (a+b) x p/2  o

p/2 = ab/(2(a+b))  o

p = ab/(a+b) o p = 1/(1/a + 1/b)

            La media armónica de a y b sería 2/(1/a + 1/b)

            Por lo tanto p = la mitad de la media armónica de a y b

            (ver Viaje a Langley Park para leer más sobre la media armónica)

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