¿Por qué Sara le estaba enseñando cálculo a Johnny?
Johnny y Sara siguieron saliendo juntos porque estaban enamorados. Por supuesto, también trabajarían ocasionalmente con el libro Cálculo. Johnny preguntó por qué Sara empezó a enseñarle cálculo.
Sara: Hay tres razones. La primera razón es que iba a repasar el libro de cálculo de todos modos y pensé que sería bueno hacerlo juntos. La segunda razón es que sabía que me ibas a pedir que te enseñara cálculo de todos modos.
Johnny: Yo no te pregunté. ¿Qué te hace decir que iba a hacerlo?
Sara: Toma, chico amante dame un beso. Puedo leer tu mente.
Johnny la besó y dijo: Está bien, entonces dime lo que estoy pensando en este momento.
Sara: Estás pensando en dos cosas diferentes. Una cosa que está pensando en lo que es la tercera razón.
Johnny: si Dijiste que había tres razones. Solo diste dos. ¿Cuál es la tercera razón?
Sara: Es divertido trabajar contigo y aprendo mejor cuando trabajamos juntos.
Johnny: Eres un lector de mentes. Estaba pensando en la tercera razón. Ahora dime la otra cosa que tengo en mente.
Sara: Ibas a pedirme otra cita.
Johnny: Te amo Sara. Déjame preguntarle a mamá si puedo volver a tomar prestado su auto para dar un paseo nuevamente.
Johnny fue a hablar con su mamá.
Johnny: Mamá, ¿puedo tomar prestado tu auto otra vez? Quiero llevar a Sara a una cita. Recuerda, dijiste antes que debería hacer eso.
Mamá: Hoy no. ¿Qué tal mañana?
Johnny le preguntó a Sara si podía tener una cita al día siguiente. Sara estuvo de acuerdo fácilmente.
Viaje a Mountwin
Buscaron lugares cercanos y decidieron ir a la ciudad de Mountwin porque pensaron que sería un recorrido panorámico. Al oeste de su ciudad había dos montañas muy similares que la gente a menudo llamaba Montañas Gemelas. Al oeste de estas montañas estaba el municipio de Mountwin.
Al día siguiente, Johnny tomó prestado el auto de su mamá, recogió a Sara por la tarde y se fueron. El camino corría entre las dos montañas. Cada montaña tenía una gran base curva suave. El paisaje era hermoso con exuberante vegetación, árboles altos y pequeños lagos. En el camino vieron un parque que estaba al lado de un lago. Decidieron salir y disfrutar un rato. También jugaron Frisbee en el parque. Luego se dirigieron hacia Mountwin.
Johnny: Sara, ¿qué estás haciendo?
Sara: No mucho, simplemente haciendo clic en mi teléfono para registrar nuestras coordenadas GPS. No te molestaré. Solo haré clic una vez cada pocos momentos. Sigamos disfrutando de las hermosas montañas que nos rodean.
Siguieron conduciendo hasta que llegaron a Mountwin. Era un pueblo muy pequeño. El mercado principal era solo una gran plaza. El pueblo tenía muchas casas y una pequeña escuela con un patio de recreo y un centro de recreación.
La plaza principal de Mountwin tenía un restaurante. Johnny y Sara decidieron comprobarlo. El lugar era pequeño pero también tenía una pista de baile. Ordenaron la comida. Mientras comían, encontraron que había una pequeña computadora en la que los clientes seleccionaban canciones para reproducir. No había DJ, pero la gente podía bailar cuando sonaba su canción.
Johnny: Sara, ¿quieres bailar?
Sara: No realmente. En cambio, ¿podemos volver al parque que visitamos antes? Me gustó ese lugar. Podríamos pasar un rato allí.
Johnny le pidió la cuenta a la camarera. De repente Sara interrumpió.
Sara: Vamos a dividir la cuenta.
Johnny: No, déjame pagar.
Sara: También pagaste la última vez.
Johnny: No lo pagué la última vez. Mi mamá quería que te invitara y me dio su tarjeta de crédito. Usé su tarjeta. Francamente, no estaba contenta de que termináramos yendo a un restaurante muy barato. Así que ella me dio su tarjeta de nuevo hoy.
Sara: ¿Por qué debería pagar?
Johnny: Ella me ama y tal vez tú también le gustes.
Johnny pagó la cuenta y los tortolitos regresaron al parque junto al lago. Se quedaron allí un rato y luego regresaron. Johnny llevó a Sara a casa y se dieron un beso de buenas noches.
Sara se despertó y desayunó con Nana. Nana le preguntó cómo fue la cita. Siguieron charlando mientras Sara hacía cosas usando su computadora portátil. Sonó el teléfono de Sara. Era Johnny preguntándole si podía venir un rato. Sara fue a la casa de Johnny. Ella llevó su computadora portátil para mostrarle algo.
Análisis de coordenadas GPS registradas
Sara: Cuando salimos del parque para ir hacia Mountwin, el camino iba de este a oeste. Así que comencé a registrar nuestras coordenadas GPS.
Johnny: El camino no era solo de este a oeste. Estaba ondulado.
Sara: Aquí hay una parte de esta ola que grabé. Este es solo un gráfico que muestra nuestro avance hacia el oeste en el eje horizontal y el movimiento hacia el norte o el sur en el eje vertical. Oh, cambié un poco la escala para que el total de kilómetros hacia el Oeste resulte ser 2π (igual a 6.28).
Johnny: Tramposo, hiciste los ángulos en radianes porque 2π radianes equivalen a 360°.
Johnny: Esto se parece a la gráfica y = sin x que hicimos en Trigonometría.
Sara: Podría ser si hubiera continuidad en el camino.
Johnny: McLinton Road no tenía cortes ni torceduras importantes y, por lo tanto, asumimos que era continuo. ¿Por qué no podemos hacer lo mismo con este camino?
Sara: Supongo que podríamos. Aquí está la gráfica para y = sin x.
Johnny: ¿Grabaste más de las coordenadas?
Sara: Sí, pero después de esto, el camino se tornó con muchas curvas extrañas. Es por eso que les mostré solo esta parte. Otra cosa, también medí la relación entre nuestro movimiento hacia el norte y el movimiento hacia el oeste durante el primer cuarto de la ola. Escribí la pendiente en cada punto de la gráfica.
Análisis de la pendiente de sin x
Johnny: Dijiste que el lado izquierdo es solo para el primer cuarto de la onda y eso sería desde x = 0 hasta π/2. Parece que la pendiente era muy grande al principio y luego disminuyó cuando llegamos al final de este gráfico. ¿Por qué te detuviste aquí? ¿Por qué no medir la onda completa?
Sara: Lo hice y luego dibujé estas pendientes en cualquier punto dado como un gráfico lineal. esto es del lado derecho.
Johnny: La pendiente también hace una ola. He visto esta ola en algún lugar de Trigonometría.
Sara: Sí, la gráfica de las pendientes parece y = cos x.
Johnny: Las pendientes de la gráfica y = sin x te dieron una curva para y = cos x. Por definición de las pendientes, y suponiendo que nuestra suposición de continuidad fuera cierta, eso significa:
d sin x/dx = cos x.
Johnny revisó el libro de Cálculo y dijo: Oye, eso es correcto. Nunca hubiera pensado de esa manera. Calcular la pendiente funciona.
Johnny siguió mirando el gráfico por un momento y luego comenzó a hablar: Veo que dibujaste líneas verticales punteadas donde el gráfico para d sin x/dx se convirtió en cero en los dos puntos. Una vez fue cero cuando sin x era máximo, que fue al final del primer trimestre. La segunda vez se convirtió en cero cuando el gráfico sin x se volvió plano en la parte inferior y estaba en su valor mínimo.
Sara: Eso es interesante y tiene sentido. Cuando el valor de una función se estanca, su pendiente será cero. Mira, tenemos un capítulo sobre máximos y mínimos. Dice que la primera derivada es cero en los puntos de máximos o mínimos.
Pendiente de y = cos x
Johnny: Me pregunto si pasaría lo mismo si miramos las pendientes de y = cos x.
Sara: Calculé las pendientes de la gráfica para y = cos x de la misma manera. A la izquierda está el primer trimestre. Las pendientes en cada punto están escritas en el gráfico.
Johnny: Estos son todos negativos.
Sara: No si sigues después del segundo cuarto. A la derecha hay un gráfico de las pendientes instantáneas de toda la curva de y = cos x.
Johnny: Este gráfico es confuso. Se parece a la gráfica de y = sin x pero al revés.
Sara: Revisa en el libro. ¿Dice que d cos x/dx = – sin x? Eso es lo que dice el gráfico.
Jhonny: si Una cosa más que no hicimos la primera derivada de tan x.
Sara: Recuerda cómo tan x puede aproximarse al infinito en algunos ángulos. Por lo tanto, es más difícil mostrarlo en el gráfico, pero el libro dice que d (tan x)/dx es sec2x.
Unos días después, Johnny visitó a Sara y le dijeron a su mamá ya su papá que habían estado repasando Cálculo durante los últimos días. Ambos padres estaban felices. Luego, la mamá y el papá de Sara les explicaron varias aplicaciones del cálculo en la física y la ingeniería. Su padre continuó hablando sobre sus aplicaciones en la economía y las estrategias de inversión, especialmente aquellas que involucran el comercio de opciones. Su madre también explicó cómo Calculus había ayudado a comprender las estrategias de cuánto de un medicamento se debe usar y con qué frecuencia. Básicamente, en cualquier lugar donde tuviera que considerar un cambio, Calculus era útil para medir la tasa del cambio y su interpretación.
Desafío
Determine d2(sin x + cos x)/dx2.
Solución: d(sin x + cos x)/dx = cox x – sin x
Por tanto, d2(sin x+cos x)/dx2 = d(cosx)/dx -d(sin x)/dx = -sin x – cos x.
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