Recordando el viejo país en coche
Johnny y Sara estaban simplemente sentados y charlando como lo hacían habitualmente después de la escuela. Estaban recordando todo tipo de cosas cuando Sara comenzó esta conversación.
Sara: Johnny, ¿recuerdas nuestro último viaje al campo donde paramos en un huerto de manzanos?
Johnny: Sí, el dueño del huerto era un tipo pobre pero era muy amable. Recuerde, calculamos por él la cantidad de manzanos que podría plantar para obtener el mejor rendimiento posible. De esta forma, podría mejorar sus ingresos, quizás deberíamos volver a verlo.
Sara: Solo ha pasado un mes. Se necesitan de 2 a 4 años antes de que una plántula de manzana crezca y comience a dar frutos. Así que nada habría cambiado por ahora.
Johnny: Quiero ir a dar una vuelta de todos modos si puedo tomar prestado el auto de mamá.
La mamá de Johnny lo dejó usar su auto. El clima era agradable. El cielo se parecía a la imagen de Microsoft Windows: brillante y brillante con suficientes nubes repartidas por todas partes.
El agricultor de manzanas había construido un cobertizo
Se dirigieron a la huerta. Para su sorpresa, el granjero no estaba simplemente sentado en una silla vendiendo manzanas. En cambio, había construido un cobertizo. Por supuesto, tenía montones de manzanas en el cobertizo, pero también tenía varias latas en un estante detrás de él. El granjero inmediatamente los reconoció a los dos y los saludó. También les agradeció la sugerencia que le habían dado la última vez que vinieron, y en agradecimiento les dio manzanas gratis para morder, una a Sara y otra a Johnny.
Johnny: ¿Qué pasa con este cobertizo? ¿Estás abriendo una tienda ahora?
Agricultor: He plantado plántulas de manzana adicionales tal como sugirió la última vez que vino aquí, pero pasarán tres años antes de que obtenga manzanas de ellas. Decidí poner este puesto. Es más visible para los clientes que pasan por la carretera. Además, como tengo algo de espacio en los estantes, también venderé sidra de manzana. Algunas latas de sidra están en el estante detrás de mí, pero tengo que poner más.
Johnny: No todos son de tu granja. Algunos de ellos se parecen a la marca que compramos en nuestro supermercado.
Granjero: Sí, me quedaré con ambos. Qué bueno que viniste porque necesito tu ayuda nuevamente. Uno de mis sobrinos vino y escribió algunas tonterías gigantes. No tengo idea de lo que significa. Esta es la nota que dejó. ¿A cuánto debo poner precio los dos tipos de latas de sidra?
¿Cuánto cobrar por diferentes sidras?“
Nuestra sidra propia cuesta 15 céntimos la lata pero una lata de sidra de marca nacional nos cuesta 30 céntimos. Deberíamos vender nuestra sidra a un precio de x centavos la lata y la marca nacional a y centavo la lata. Así, diariamente, podemos vender 70 – 5x + 4y latas de sidra propia y 80 + 6x -7 y latas de marca nacional. No tengo idea de lo que esto significa.”
Johnny: Sara, ¿podemos ayudarlo?
Sara: Es un problema de cálculo simple.
Johnny: Sí, en estos días crees que todo es un problema de cálculo. ¿no?
Granjero: Te daré dos latas gratis de la sidra de mi finca si me puedes ayudar.
Sara: Para mí, la primera cuestión es si puedo confiar en lo que te dijo tu sobrino.
Granjero: Mi sobrino es muy inteligente. Él debe tener razón. Dígame el precio de venta de cada tipo de lata pensando que tiene razón.
Sara: Johnny y yo lo resolveremos en nuestro auto y te lo diremos en 5 minutos.
Ambos fueron al auto donde Johnny empezó con el álgebra simple. Digamos que vende la sidra de su finca a x centavos la lata. Entonces, la ganancia P de su propia sidra será el número de latas vendidas por x menos el costo, que es de 15 centavos cada una.
P(x) = (70 – 50x + 4y)(x-15)
De la misma manera, la ganancia de la marca nacional por sí sola será
P(y) = (80 + 6x – 7y)(y-30).
Por lo tanto, la ganancia de la venta de todas las latas de sidra de manzana será
P(x,y) = (70 −5x+4y)(x−15)+(80+6x−7y)(y−30)
Bien, Sara, ¿entonces qué?
Optimización mediante diferenciales parciales
Sara; ¿Recuerdas cuando hicimos el último problema de optimización, habíamos establecido el valor de la primera derivada en cero y resolvimos la ecuación? Aquí, tenemos dos variables que son interdependientes. La cantidad de latas locales que vendes depende de su propio precio y del precio de la marca nacional. De la misma manera el número de latas de marca nacional que vendes depende del precio tanto de la marca local como de la nacional. Todavía puedes tomar las derivadas pero tienen que ser derivadas parciales.
Johnny: ¿Qué diablos es una derivada parcial? ¿Lo vamos a aprender en nuestro curso?
Sara: Sí, pero hojeé el libro antes de tiempo. Para obtener la derivada parcial con respecto a una variable, supondremos que la otra es una constante. De esta forma obtendremos dos derivadas parciales con el símbolo del (∂).
P(x,y)=(70 −5x+4y)(x−15)+(80+6x−7y)(y−30) o
P(x,y) = – 35 x -5 x2 +10xy +230y-7 y2-3450.
Tomando y como constante
∂P(x,y)/ ∂x = -35-10x+10y, y de manera similar
∂P(x,y)/ ∂y = 230 +10 x -14 y.
Ahora, en el máximo, ambas derivadas parciales tendrán un valor de cero. Por lo tanto, tenemos
-35-10x+10y = 0 y 230 +10x -14 y = 0.
Johnny: lo entiendo Ahora, si sumamos los lados izquierdos de las dos ecuaciones, obtendremos
195 – 4 y = 0 o y = 48,75. Entonces también podemos resolver x y obtener x = 45.25.
Sara: No te emociones demasiado. Esta solución puede ser un mínimo o un máximo, también debes obtener las segundas derivadas parciales y demostrar que son negativas
Johnny: ∂P(x,y)/ ∂x = -35-10x+10y. Por lo tanto, ∂2P(x,y)/ ∂2x = -10 porque y se considerará constante.
Además, de ∂P(x,y)/ ∂y = 230 +10 x -14 y, ∂2P(x,y)/ ∂2y = -14.
Ambos son negativos. Entonces, ¿deberíamos decirle qué hacer?
Sara: Sí, pero redondea al alza los precios para evitar confusiones.
El veredicto sobre el precio de las diferentes sidras
Johnny al granjero: Aquí, lo tenemos todo resuelto. No sabemos si su sobrino tenía razón. Pero si tenía razón, deberías vender tu propia sidra a 45 céntimos la lata y la marca nacional a 49 céntimos la lata.
Sara: Así venderás diariamente 41 latas de tu propia sidra con un beneficio de 30 céntimos/lata, y venderás solo 7 latas de la marca nacional con un beneficio de 19 céntimos/lata. Eso significa una ganancia diaria total de $13.63 en un día promedio. Supongo que esto no es mucho. Espero que no te decepciones.
Granjero: Gracias señorita, estoy feliz. Todavía venderé manzanas y haré mi dinero, pero esto estará por encima de eso. Así que esto será bueno. Aquí hay dos latas de sidra para ti.
Johnny: Estos números también significan que usted no gastaría su dinero comprando demasiadas latas de sidra de marca nacional para su inventario. ¿Tiene sentido?
Granjero: Gracias señor, me ayudó mucho. El consejo que me diste sobre cultivar más manzanas la última vez, también comenzará a aumentar mis ganancias en 2 o 3 años. Además, puede que más gente venga a comprar sidra el próximo año cuando descubran que la vendo. Gracias.
Johnny: Tal vez deberías poner un letrero mejor en tu puesto también. Adiós por ahora.
Sara y Johnny continuaron conduciendo y luego se fueron a casa. A Sara no le gustó mucho la sidra y le dio su lata a John. Cuando estaba en casa, Johnny y su mamá conversaban. Johnny le contó a mamá toda la historia y luego dijo: “Aprendo algo nuevo cada vez que salgo a dar una vuelta con Sara, tal vez deberías prestarme tu auto más a menudo”. Mamá dijo que él podría pedirlo más a menudo si quisiera, pero que cada vez ella tomaría su propia decisión.
Desafío
Barak dice que desde donde está, podría ir una distancia x al norte o caminar una distancia y hacia el oeste. La altura de la montaña H viene dada por la función H(x,y) = 4x2 + y2 − 8xy + 4x + 6y + 10.
¿Cuál es la pendiente en un punto dado x,y?
Solución
La pendiente es la primera derivada de la función.
Para H(x,y) = 4x2 + y2 − 8xy + 4x + 6y + 10
∂P(x,y)/ ∂x = 8x – 8y + 4. Esta es la pendiente hacia el Norte.
∂P(x,y)/ ∂y = 2y -8x +6y. Esta es la pendiente hacia el Oeste.
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