La nueva bicicleta de Johnny

La relación de dos años de Sara y Johnny

            Johnny pertenecía a una familia de clase media alta. Era muy sociable y vestía bien. Una cosa única sobre él era su afición por los diferentes tipos de bicicletas. Cuando Johnny tenía 18 meses, sus padres le compraron un pequeño triciclo para bebés. Le encantó. Jugaba con la mayoría de sus otros juguetes nuevos durante períodos breves, pero le encantaba jugar con el triciclo. Lo cargaba y lo montaba por toda la casa. Esto duró poco más de un año cuando vio bicicletas en una tienda de juguetes. Realmente quería uno. Entonces, en su tercer cumpleaños, recibió una bicicleta con dos ruedas de entrenamiento. Decoraría la bicicleta con calcomanías elegantes y la montaría por todas partes. Incluso insistió en que se le permitiera montarlo afuera. Entonces, se le permitió llevar la bicicleta al patio trasero. Esto continuó durante un año más cuando quiso quitarse las ruedas de entrenamiento. Le dijeron que tendría que usar un casco. Estuvo de acuerdo y las ruedas de entrenamiento se desprendieron: una rueda y luego, unas semanas más tarde, la otra. Johnny consiguió su próxima bicicleta cuando tenía siete años. Montó esta bicicleta por todo el vecindario. Se le permitió hacer esto porque su casa estaba en una calle sin salida. A medida que crecía y se hacía más alto, sus padres o abuelos le regalaban bicicletas nuevas una vez cada dos o tres años. Él los amaba. Ahora Johnny está en la escuela secundaria. Ha desarrollado una verdadera obsesión por las bicicletas y sus tecnologías más nuevas: los materiales avanzados con los que están construidas, sus matices cinéticos y las campanas y silbatos con los que vienen estas bicicletas.

            Johnny también tenía una novia llamada Sara. Sara y Johnny se amaban. Sara era hija de Vijay y Sonia, ambos ingenieros de software que se mudaron de la India a América del Norte. La vida fue difícil al principio, pero trabajaron duro y se adaptaron bien. Sara fue criada prácticamente por su Nana (abuela) que vivía con ellos. Era una estudiante brillante, una chica delgada con el pelo hasta los hombros, vestía bien pero con modestia. Sara y Johnny llevaban juntos casi dos años. Vivían en el mismo barrio. Se visitaban a menudo y la mayoría de los días también caminaban juntos a la escuela.

            Johnny quería una bicicleta nueva pero no tenía dinero.

            Un día, mientras navegaba por Internet, Johnny vio un anuncio de una bicicleta que pensó que era perfecta para él. Querer una bicicleta estaba bien, pero tener los $2800 para pagarla no era más que un sueño.

            Cuando llegó Sara, Johnny le contó sobre la bicicleta y su costo.

            Sara: ¿De qué está hecho, de oro? ¿Por qué es tan caro?]

            Johnny: La bicicleta tiene un cuadro de titanio fuerte y es muy liviana. Tiene un excelente diseño aerodinámico y grandes prestaciones tecnológicas. Tiene un giroscopio que te dice cuántos grados ha girado tu bicicleta. Mire esta función, incluso puede calcular cuántos metros se ha movido hacia el norte/sur y cuántos metros hacia el este/oeste. ¿No ves? Es maravilloso. Me encanta. Normalmente, cuesta alrededor de $ 7000, pero está en oferta a $ 2800.

            Sara: ¿Tienes esa cantidad de dinero?

            Johnny: No, pero puedo soñar con eso. ¿no puedo?

            Sara: ¿Le preguntaste a tu papá?

            El papá de Johnny estaba cerca y escuchó a Sara. Él dijo: ¿Preguntarme qué?

Johnny dijo: Nada papá. Estábamos hablando de esta hermosa bicicleta. Me encanta pero cuesta $2800.

            Johnny pensó que ese sería el final de esa conversación hasta más tarde en la noche cuando su papá le dijo: “Hablé con tu mamá sobre la bicicleta. Te conseguiremos la bicicleta pero con una condición. Este semestre tendrás que sacar un promedio de calificaciones superior al 85%. Si no lo hace, tendrá que trabajar en el verano para devolvernos la cantidad total. Piense en esto como un incentivo para hacerlo bien en el próximo semestre”.

            Sara, ¿me ayudarás a obtener una A en trigonometría?

            Johnny aceptó la condición de su padre a pesar de que no lo había hecho tan bien en el pasado. Pensó que estaría bien con las otras materias, pero estaba preocupado por la trigonometría (Trig). Siempre obtuvo calificaciones mediocres en los cursos de matemáticas, pero sabía que Sara era un genio de las matemáticas. Se preguntó cuánto podría ayudarlo ella. Así que le contó toda la historia a Sara y luego dijo: “Sara, ¿me ayudarás a obtener una A en trigonometría? De lo contrario, es posible que tenga que pagar la bicicleta”.

            Sara pensó en todas las características tecnológicas de la bicicleta, especialmente en el giroscopio. Ya había echado un vistazo a su libro de trigonometría. Ella ideó un plan en su cabeza y luego dijo: “Johnny, te amo. Haré cualquier cosa por ti. Incluso te convertiré en un genio de Trig”.

            Johnny: ¡El genio de la trigonometría! Me gusta.

            Johnny fue con su papá y compraron la bicicleta. Pensó que la bicicleta era mucho mejor de lo que esperaba. También le encantaron todas sus características. Llamó a Sara y le pidió que viniera. Sara vino vestida con su habitual camiseta de media manga y falda, pero Johnny pensó que se veía muy sexy hoy. Ella había venido sonriendo porque compartió la felicidad de su novio por la nueva bicicleta. Entonces Johnny le mostró la bicicleta. Sara no sabía mucho de bicicletas pero le encantaba que Johnny fuera feliz.

            Johnny: ¿Por qué estabas tan seguro de que podrías convertirme en un genio de la trigonometría?

sara: ya verás. Es un lindo día. Vamos a la escuela. Monta tu bicicleta y te encontraré allí.

Johnny: bueno Te veo en la escuela.

El edificio de la escuela redonda

            Sara había hecho este dibujo para Johnny (Fig. 1.1). El edificio de la escuela tenía una calle circular a su alrededor. En este camino, puede andar en bicicleta o caminar alrededor del edificio de la escuela. Dentro de la escuela, también puede cruzar de adelante hacia atrás, lo que sería de sur a norte. Había otra pasarela desde el extremo este del edificio hasta el extremo oeste. Se podía caminar desde el centro de la escuela hasta el camino circular en estos caminos y en cualquier dirección había 100 metros hasta el camino.

            Sara y Johnny fueron al lado este del edificio (ver flecha). Johnny tenía su bicicleta en su mano derecha y su brazo izquierdo estaba envuelto alrededor de la cintura de Sara. ¿Qué más podía pedir? Tenía todo lo que deseaba: su hermosa bicicleta y la hermosa novia que amaba. Johnny reinició su bicicleta para que mostrara cero para ambos: la distancia recorrida y la rotación. Caminaban lentamente como dos tortolitos. Johnny se sorprendió cuando Sara le pidió que se detuviera. Miró la bicicleta: el ángulo de rotación había alcanzado los 45°. Leyó en el medidor de bicicletas que habían recorrido 70,7 metros hacia el norte. Después de esto Sara caminó a casa y Johnny fue a dar un paseo en bicicleta.

            Más tarde, en la casa de Johnny, Sara dibujó algunas líneas en la imagen antigua. Mostraba el punto de partida y la rotación de 45° que habían hecho. También dibujó una línea que conecta el centro del edificio A con su posición actual C. Debido a que el camino era circular, esta línea también tendría 100 metros de largo. Luego dibujó otra línea desde A hacia la flecha. Luego, desde C, dibujó una línea perpendicular a esa línea. Ahora el ángulo BAC era de 45° y el ángulo CBA era de 90°.

            Sara dibujó un triángulo en el dibujo de la escuela.

            Johnny: ¿Por qué dibujaste el triángulo en la foto antigua?

            Sara: Trigonometría se trata de triángulos, en realidad se trata principalmente de triángulos de ángulo recto. Johnny, ¿puedes distinguir dónde empezamos a caminar y dónde nos detuvimos e hicimos el ángulo BAC de 45°?

            Johnny: Sí, puedo. Por cierto, el ángulo ACB también será de 45° porque todos los ángulos de un triángulo tienen que sumar 180°. Lo recuerdo de mi clase de geometría. Eso haría de este un triángulo isósceles y los lados AB y CB serían iguales.

            Sara lo besó y luego dijo: Johnny, eres un genio. ¿Recuerdas el teorema de Pitágoras de la clase de geometría?

            Johnny: Algo así. Recuerdo que su prueba fue dura. También que se trataba de triángulos de ángulo recto.

            Sara: si Del teorema de Pitágoras AC2 = AB2 + CB2 porque AC es la hipotenusa del triángulo rectángulo y AB y CB son los otros dos lados.

            Johnny: Pero ya dijimos que AB = CB. Entonces AC2 = 2AB2 = 2CB2.

            Sara: Eso significa AB = CB = AC/√2. Recuerde AC = 100 metros. Entonces AB = CB = 100/√2 o 70,7 metros. Recorriste 70,7 metros al Norte y hacia el Oeste recorriste 100 menos 70,7 metros que son 29,3 metros.

            Johnny: Wow, esas son las lecturas reales de mi bicicleta. Recorrí 70,7 metros al norte y 29,3 metros al oeste desde nuestra posición inicial en el lado este de la escuela.

            Sara: Esto significa que las lecturas de tu bicicleta concuerdan con nuestros cálculos.

            Johnny: Está bien, todo eso es genial, pero ¿dónde hay algo de trigonometría ahí?

            Sara: Trigonometría es a Geometría lo que Álgebra es a Aritmética.

Johnny: ¿Qué significa eso?

            Sara: Para un triángulo rectángulo con un ángulo BAC (o ángulo A), podemos escribir estas expresiones en geometría y trigonometría

 En geometría                          En Trig           

Altura/Hypotenusa                    Sin A

Base/Hypotenusa                       Cos A

Altura / Base                             Tan A

Hypotenusa/ Altura                 1/Sin A or Cosec A

Hypotenusa/Base                     1/Cos A or Sec A

Base/ Altura                             1/tan A or Cot A

            Johnny: ¿Cuál es el problema de escribir todas estas conversiones?

            Sara: Primero, quiero ver si estás prestando atención. ¿Qué es tan 45°?

            Johnny: Dijimos que para un triángulo rectángulo con un ángulo de 45°, la altura es la misma que la base. Entonces, tan 45° = 1.

            Sara: Genio. Te estás convirtiendo en un genio de la trigonometría. La ventaja es que podemos escribir una expresión geométrica en una forma mucho más corta que es más fácil de seguir, al igual que puede resolver problemas aritméticos más complejos usando álgebra.

Sonó el teléfono de Sara. Su papá quería que ella viniera a casa a cenar. Sara le dio un beso de despedida a Johnny y se fue.

            Johnny consiguió su libro Trig para repasar los significados de las diferentes funciones Trig. Cada vez tenía más confianza y entusiasmo por aprender más. Estaba impresionado de cómo Sara había usado los artilugios (¡aunque él no los llamaba así!) en su bicicleta para enseñarle trigonometría. Estaba tan feliz.

Desafío

Desafío: Johnny y Sara decidieron subir al Mountedge Terra Park. Desde donde estaban parados, había dos formas de subir: tomar un camino o un conjunto de escaleras. Sara quería subir las escaleras. La pasarela y las escaleras estaban todas en la misma dirección. El cartel decía que primero tendría que caminar 320 metros y luego subir 600 escalones, cada escalón de 30 cm en horizontal y 25 cm en vertical. Johnny montó su bicicleta en la carretera desde el mismo punto y se encontró con Sara. Por supuesto, Johnny llegó más rápido y estaba esperando cuando Sara llegó a la cima. Johnny le preguntó a Sara cuál creía que era el ángulo de inclinación de la carretera por la que venía. ¿Sara todavía está resoplando y resoplando de subir los 600 escalones? ¿Puedes resolver esto para Johnny?

            Solución: La ruta de Sara consta de 320 metros de caminata horizontal recta más un movimiento horizontal en las escaleras que es de 30 centímetros x 600 = 18000 centímetros = 180 metros. Se trata de un movimiento horizontal total de 500 metros. Las escaleras también incluyen un movimiento vertical de 25 centímetros x 600 = 15000 centímetros o 150 metros. Si x es el ángulo de inclinación del camino para lograr el mismo objetivo, tan x = movimiento vertical dividido por el movimiento horizontal del mismo objetivo. Por lo tanto, tan x = 150/500 = 0,3. El ángulo de inclinación de la carretera es arctan 0,3 = 16,7° (valor obtenido de una calculadora).

Reto Cuadritos de pistacho y nuez

Desafío: la madre de Joe tiene una panadería. Venden estos deliciosos cuadrados de pistacho y nuez a un dólar por pieza; los llaman cuadrados pero en realidad son triángulos. Primero corta la masa en trozos de 50 cm de largo y 2,5 cm de ancho. Luego corta cada pieza larga en piezas cuadradas y hace el corte final para hacer triángulos rectángulos con una base de 2,5 cm y un ángulo de 45° opuesto al ángulo recto. De esta forma obtiene 40 piezas de cada pieza de 50 x 2,5. Las ganancias han bajado porque el material para hacer la masa ahora es más caro. La madre de Joe piensa que a los niños les encanta el precio de un dólar por pieza y no quiere cambiar eso. No quiere cambiar la receta ni el grosor de las piezas de hojaldre. Joe sugiere que corte los pedazos de 50 cm de largo y 2,5 cm de ancho en rectángulos de 2,5 cm de ancho y luego corte los triángulos de modo que el ángulo opuesto al ángulo recto sea de 41° y el ángulo opuesto a la base sea de 49°. Esto le daría más piezas e incluso el diseño podría verse un pocomás elegante.

Solución. Consulte la figura 10.1. El grosor de las piezas no cambia y el ancho también permanece constante. Para una pieza triangular con un ángulo de 45° opuesto al ángulo recto, la altura será de 2,5 tan 45° = 2,5 x 1 o 2,5 cm. Entonces, ahora, corta la pieza larga de 50 cm x 2,5 cm en 20 piezas cuadradas y las corta por la mitad para obtener 40 piezas. La sugerencia de Joe, de cambiar el ángulo opuesto al triángulo rectángulo a 41°, dará lugar a piezas triangulares de altura de 2,5 tan 41° o 2,5 x 0,859 o 2,173 cm. Entonces, sugiere cortar la pieza de 50 cm x 2,5 cm en rectángulos de 2,173 cm de alto y 2,5 cm de ancho. A partir de piezas de 50 cm x 2,5 cm, esto dará 50/2.173 o 23 rectángulos. Luego, cortará cada rectángulo por la mitad para obtener 46 piezas del mismo material, en lugar de las 40 que obtuvo antes. ¿Deberíamos llamarlo Trigmaster Joe o Trickmaster Joe?

Funciones trigonométricas de desafío

Desafío: Demuestra que: sen (90°- x) = cos x, tan (90°- x) = cot x, sec (90°- x) = cosec x, sen (90°- x ) = cos x.

Solución: Suma de todos los ángulos de un triángulo = 180°. Por lo tanto, para un triángulo rectángulo (Fig. 10.2) si el ángulo BAC = x, el ángulo ACB = 90° – x.sin (90° – x) = AB/AC = cos x.

tan (90° – x ) = AB/BC = cot x.

sec (90° – x) = AC/BC = cosec x.

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