La pregunta de carmen

Carmen se sintió rechazada

              Carmen le había hecho a la Sra. Clementine, la maestra, una pregunta sobre ecuaciones cuadráticas. Se sintió menospreciada porque le habían dicho que la maestra se ocuparía de eso en otra clase. ¿Cuándo se ocuparía de eso? Todas las lecciones sobre la función cuadrática parecían haber terminado. Carmen era curiosa pero no le gustaba estudiar las cosas por su cuenta. Se encontró con la Sra. Clementine en el pasillo y nuevamente le preguntó acerca de su pregunta. La maestra le dijo que ella se ocuparía de eso hoy, y luego ambos vinieron a la clase.

Sra. Clementine: Hoy quiero tratar una pregunta que Carmen había hecho en una clase anterior cuando hablábamos de ecuaciones cuadráticas. Recuerdas, las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver por muchos métodos diferentes, pero Sara nos dijo que podemos resolver       

 y = ax² + bx + c = 0 usando la fórmula x = (-b ± (√(b²-4ac))) /2a .

5 minutos para resolver una ecuación

              Escribiré una ecuación en la pizarra y te daré 5 minutos para resolverla para x. Entonces ella escribió:

y = x² + 3x + 3 = 0.

              Después de 5 minutos, Sra. Clementine: ¿Quién tiene la respuesta?

              Sara: Tengo la respuesta, pero es algo gracioso. Tengo x = -3/2 ± (√-3)/2.

              La Sra. Clementine preguntó si alguien más tenía la misma respuesta y muchos estudiantes dijeron que sí.

              Sra. Clementine: Kathy, nos mostraste cómo resolver una ecuación cuadrática mediante gráficas. ¿Puedes hacer eso para y = x² + 3x + 3 = 0? Algunos de los estudiantes pueden ayudarte porque tienen calculadoras.

              Con la ayuda de otros estudiantes, Kathy hizo varias gráficas como esta, pero en ninguna de ellas la curva cruzaba el eje X (Fig. 8.1). Eso significaba que no había ningún valor de x en el que y = x² + 3x + 3 = 0.

            Sra. Clementine: Kathy, ¿sería correcto decir de tu gráfico que no hay una solución real para la ecuación y = x² + 3x + 3 = 0. Sara, entonces, cómo explicas tu divertida solución?

Números imaginarios en electromagnetismo

            Sara: Nos encontramos con una idea en nuestra clase de física mientras estudiábamos corriente alterna o, como decimos, AC para abreviar. Normalmente decimos que la corriente es la relación entre el voltaje y la resistencia. Sin embargo, cada vez que una corriente pasa por un cable, crea un campo magnético a su alrededor. Para una corriente alterna, la dirección del campo magnético sigue cambiando. Este campo está en un plano perpendicular al plano de la corriente, y el cambio en la dirección del campo puede ralentizar la corriente. Por lo tanto, hablamos de impedancia que es la resistencia más los efectos del campo magnético. Se escribió como Z = R +jX y aquí j = √-1. Se considera que R es real y jX es imaginario.

Introducción a iota y sus propiedades

            Sra. Clementine: Muy bien Sara, aquí Z se llamaría número complejo porque consta de dos partes: R que es real y jX que es imaginario. Estoy seguro de que su profesor de física le dirá mucho más sobre el razonamiento detrás de esto. Además, aquí en la clase de Matemáticas, en lugar de j vamos a usar iota (i) que es √-1.

            Sara levantó la mano y dijo: Sra. Clemetine, en lugar de x = -3/2 ± (√-3)/2, debería haber dicho que x = -3/2 ± i√3/2.

            Sra. Clementine: Eso es lo que podrías haber dicho. Ahora quiero ver cuántos de ustedes entienden el concepto de iota. Voy a escribir algunas ecuaciones en la pizarra. Vea si tienen sentido para usted.

i²= -1,  1/i= –i, (a + ib) + (c + id) = a + c+ i(b + d), (a + ib)(a + ib) = a² –  b² + 2iab,

(a +ib)(a –ib) = a² + b², 1/(i – 1) = (i +1)/((i – 1)(i + 1)) = (i+1)/(i²-1) = – (i+1)/2.

            Después de unos minutos más, dijo: Joe, nos mostraste cómo resolver ecuaciones cuadráticas por factorización. Resuelva y = x² + 3x + 3 = 0 por este método.

Joe parecía desconcertado, pero fue al tablero de todos modos. Finalmente, con la ayuda de la clase, se le ocurrió

y = x² + 3x + 3  = (x + 3/2+ i√3/2) (x + 3/2 – i√3/2) = 0

            Por lo tanto, x = -3/2 + i√3/2 or x = -3/2 – i√3/2.

            Sra. Clementine: Jun, estabas muy emocionado por encontrar el vértice de la ecuación cuadrática de Kwong. ¿Puedes venir y mostrarnos cómo hacer esto para y = x² + 3x + 3?

            Jun: Para y = ax² + b + c, en el vértice 2ax + b = 0.

            Aquí a = 1 y b = 3, por lo tanto, el vértice es cuando 2 x + 3 = 0 o x = -3/2. Ahí es cuando el valor de y será máximo o mínimo, pero el gráfico de Kathy mostró que este punto es el mínimo. Entonces y nunca será realmente cero en su gráfica.

            Sra. Clementine: Carmen, espero que tu pregunta ya haya sido respondida.

            Carmen: Sí, Sra. Clementine. Muchísimas gracias. Estuvo muy interesante.

Desafío

            La raíz cúbica de 1 se denota con la letra griega omega (ω). Eso significa que ω³ = 1, resuelve para ω.

            Solución: ω3 = 1 también se puede escribir como (ω³ – 1) = 0 o (ω – 1)( ω² + ω + 1) = 0.

Si (ω – 1) = 0, ω =1.

Cuando ω² + ω + 1 = 0, la fórmula cuadrática da ω = -1/2 ± (i√3)/2. Esto nos da las otras dos raíces. Por lo tanto, ω puede ser 1, (-1/2 + (i√3)/2) o -(1/2 – (i√3)/2).

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