La pregunta de johnny

¿Cómo se determinan los valores logarítmicos para 2, 3, 4…?

Johnny: Estaba feliz usando el papel semilogarítmico pero todavía tengo una pregunta acerca de cómo en una escala logarítmica se obtienen las líneas para 2, 3, 4 y así sucesivamente.

Sara: Tendremos que leer sobre eso. Creo que tenemos un capítulo sobre troncos en nuestro libro. ¿Por qué no hacemos esto en otro momento?

Con esto, Johnny se fue a casa feliz de que el papel semi-log mágico de la mamá de Sara lo había ayudado. Echó un vistazo rápido a su libro de álgebra, pero luego se ocupó de otras cosas. A la mañana siguiente, Sara y Johnny caminaban a la escuela como de costumbre cuando Johnny trajo a colación la discusión del día anterior. Sin embargo, Sara sugirió que deberían hablar de eso más tarde. Después de la escuela, regresaron juntos y Johnny le preguntó si quería ir a su casa por un rato. Por supuesto, Sara siempre estuvo feliz de estar con el chico que amaba, y ella estuvo de acuerdo. Fueron a casa de Johnny, tomaron un refresco y miraron la televisión un rato.

Sara miró su reloj y luego dijo: Johnny, tengo que estar en casa en una hora porque nuestra familia va a salir a cenar. Así que será mejor que terminemos la discusión de anoche.

Johnny: Miré el libro de álgebra pero las cosas no tenían sentido para mí. Así que me detuve.

Sara: Está bien, pero quiero ver cuánto recuerdas de tus años de escuela intermedia.

Johnny: Siempre fui malo en Matemáticas, pero adelante.

funciones inversas

Sara: ¿Recuerdas qué es lo contrario de sumar?

Johnny: No soy tan tonto. Por supuesto, recuerdo que lo opuesto a la suma es la resta. Recuerdo haber leído sobre las funciones inversas como la multiplicación y la división, y el cuadrado y la raíz cuadrada, pero ¿qué tiene eso que ver con los exponentes?

Sara: El inverso de un exponente es log. Podemos escribir

y = 10m o m = log10 y. Es la misma cosa.

Johnny: ¿Por qué escribiste log10 en lugar de log?

Sara: Debido a que usamos un sistema decimal para los números, es conveniente pensar en números 10n en lugar de exponentes con otras bases. Entonces, de manera rutinaria, pensamos en el logaritmo de un número en base 10 y lo escribimos como log10. Entonces, de ahora en adelante, cuando escriba solo log, significará que realmente es log10.

Johnny: ¿Cómo se aplican las reglas de los exponentes a los logaritmos?

Sara: 100 = 102, entonces log 100 = 2

Johnny: Quieres decir que log 1000 será igual a 3. 100 x 1000 = 105 y luego log 105 = 5. Conocemos la regla 10m x 10n = 10m+n. Como log 10m = m y log 10n = n, significaría que log (10m x 10n) = m + n. No sé por qué nuestro libro no lo explica de esta manera tan simple. Esto tiene mucho más sentido.

Sara: Escribiste el exponente en base 10, podríamos usar cualquier base y escribir

am x an = am+n. Por lo tanto log (am x an) = log am+n o  log (am x an) = log am + log an. El log am también se puede escribir como mlog a.

Johnny: ¿Podríamos escribir también: log (j x k) = log j + log k?

Sara: Sí, podríamos escribir esto incluso para productos más largos:

log (j x k x l,,,,) = log j + log k + log l……,

y aquí está el logaritmo de bonificación (j/k) = log j – log k.

Johnny: ¿Significa eso que, en lugar de esas difíciles multiplicaciones y divisiones de números, podemos tomar los registros y sumarlos o restarlos?

Sara: Sí, mi mamá me dijo que las calculadoras no estaban permitidas en sus exámenes de secundaria, pero sí podían usar tablas de logaritmos para multiplicaciones y divisiones complicadas.

Johnny: No cubrimos la regla del exponente de (am)n, pero para mí tiene sentido que el logaritmo de este exponente se convierta en n log (am).

Sara: Genio. No sé por qué el capítulo de registro en el libro no tiene sentido para ti. No lo leíste, ¿verdad?

Valores de logaritmos de 2,3,4…

Johnny: Tenemos una cosa más que resolver. ¿Cómo averiguan dónde dibujar las líneas para los números entre 1 y 10 en el papel semilogarítmico? Dijiste que tenías alguna idea.

Sara: No sé cómo los calcularon. Deben tener métodos sofisticados pero hagamos esta aproximación para logaritmos de 2,3,4,5 y 6.

Jhonny: como?

Sara: ¿Recuerdas que cuando trabajábamos con exponentes decíamos

2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 y 32 x 32 = 1024 que redondeamos a 1000.

Juan; Lo entiendo. 210 ≈ 1000. Por tanto, log (210) = log (1000) o 10 log 2 ≈ 3 o log 2 =3/10 ≈ 0,3. Wow, ¿así es como averiguas la primera línea en el papel cuadriculado mágico?

Sara: Acabo de comprobar con mi calculadora que el valor real de log 2 es 0,3010. Así que tienes razón, genio.

Johnny: Ahora, para log 3, podría escribir log (32) = log 25 o 5 log 2. Por lo tanto,

log (32) = 5 x 0,3010 = 1,505 y luego log 3,2 = 1,505 -1 = 0,505. Entonces log 3 será un poco menos de 0.505. ¿Cuál es su valor real?

Sara: log 3 es 0.4771. Así que estabas muy cerca. Para 4 es fácil 4 = 22

Entonces log 4 = 2 log 2 = 0.6020. Ahora, ¿cómo determinará log 5?

Johnny: No soy tonto. Me enseñaron en mi jardín de infantes que

5 x 2 = 10. Entonces, iré log 5 + log 2 = log 10 = 1 o log 5 = 1 – 0.3010 o 0.6990.

Sara: log 6 también será fácil porque 6 = 3 x 2. Entonces log 6 = log 3 + log 2.

Johnny: Estoy impresionado de que podamos resolver esto. Los matemáticos con años de experiencia deben poder resolverlos con mayor precisión.

Sara: Entonces, ¿eso es todo?

No hay cero en la escala semilog. ¿Por qué?

Johnny: Algo me está molestando. No hay cero en la escala semilog.

Sara: Creo que puedo explicar eso. Veamos, log 10 = 1, log 1/10 = -1, log 1/100 = -2 y así sucesivamente. Entonces log 0 = log (1/10)infinito = menos infinito. Por lo tanto, necesitará un papel semilogarítmico infinitamente largo para mostrar el logaritmo (0).

Johnny: Todos los registros que hicimos fueron para la base 10. ¿Cómo funcionarían en una base diferente y cómo los convertirías a log10?   

Jo Sara: Es fácil de hacer con log2. Por definición log2 2 = 1 porque 21 =2. Acabamos de descubrir que log10 = 0,3010. Entonces, para cualquier número m, podríamos escribir que log10 m = 0.3010 log2 m. Podrías hacer lo mismo en general y decir

logn m = log10 m = lognm x log10 n.

Johnny: Había una palabra llamada logaritmo natural en el libro. ¿Qué tienen de naturales?

Sara: Cuando la base es una constante llamada e, el logaritmo se llama natural. No sé qué tiene de natural e, pero se llama constante de Euler y tiene un valor de poco más de 2,7.

Johnny: ¿Le preguntaste a tu mamá?

Sara: Sí, pero dijo que será mejor aprenderlo más adelante cuando estudiemos binomios en nuestra clase de álgebra.

Johnny: Estoy seguro de que hay mucho más que aprender, pero creo que ya tengo lo básico. Gracias Sara.

Sara se fue a casa para la cena familiar. Fue fácil para Johnny y Sara seguir las lecciones al iniciar sesión en la clase y hacer toda la tarea.

Desafío

El Sr. Johnson estaba orgulloso de su conocimiento básico de aritmética y, a menudo, se burlaba de sus hijos por no tener estas habilidades hasta que un día su hija, que estaba en la escuela secundaria, le hizo esta pregunta. Hay 64 cuadrados en un tablero de ajedrez. Aproximadamente, ¿cuánto dinero necesitarías poner en el último cuadrado si pusieras un dólar en el primer cuadrado, dos en el siguiente y siguieras duplicándolos hasta llenar todos los cuadrados?

El Sr. Johnson luchó con el problema durante dos horas, ¿puedes ayudar a Lisa en su lugar?

Solución: Dólares en cuadrado 1 = 1 = 20

                   Dólares en el cuadrado 2 = 2 = 21

Dolares en cuadrado 3 = 2 x 2= 22

Continuando con esta serie dólares en cuadrado n = 2(n-1)

Para el último cuadrado n =64 y los dólares en él serán 263.

Para una respuesta rápida log 263 = 63 log 2 = 63 x 0.3010 = 18.963 o redondeado a 19.

Entonces, la cantidad en dólares en el último cuadrado será el registro inverso 19 = 1019 =

10×1000,1000,1000,1000,1000,1000.

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