Priya y su nuevo trabajo
La tienda de Jenna vendió una variedad de camisetas. También los diseñaron e imprimieron. Varios equipos deportivos hicieron allí sus camisetas.
La hija de Jenna, Priya, estaba en el grado 10 y estaba buscando algo que hacer. Jenna sugirió que podría recibir capacitación comercial trabajando en la tienda y recibir un pago de $14 por hora. Al principio, Priya no quería diseñar camisetas, pero aceptó porque quería el dinero.
Jenna estaba en la parte de atrás de la tienda trabajando. Priya estaba en la recepción. Una niña y un niño llegaron a la tienda y se presentaron como Kirsten y Jonathan. Querían hacer 50 camisetas con un diseño parcheado. Preguntaron si su tienda podría hacerlo, cuál sería el costo y cuánto tiempo tomaría.
Los detalles del diseño de Kirsten y Jonathan
Priya preguntó a Kirsten y Jonathan sobre los detalles del diseño y los tamaños de los parches. Kirsten dijo que los lados de los triángulos serían de 3, 4 y 5 centímetros, y uno de los cuadrados tendría lados de 3 centímetros, el segundo de 4 y el tercero de 5 centímetros. Ellos dibujaron el diseño. Priya, tomó un trozo de tela y lo puso sobre la mesa como si fuera una camiseta grande. Luego cortó pedazos de papel de construcción para que coincidieran con el diseño.
Kirsten y Jonathan miraron el diseño sobre la mesa y preguntaron qué tan grande era la tela. Priya les dijo que era del tamaño de la parte delantera de una camiseta de tamaño mediano.
Kirsten y Jonathan dijeron que los parches debían ser más grandes.
Priya les dijo que podría ayudarlos mejor si le contaban más sobre su necesidad.
ternas pitagóricas
Kirsten dijo: “Nuestra escuela ha comenzado un nuevo club de matemáticas. Cualquier estudiante de la escuela puede unirse. La mayoría de los estudiantes que se unen son de los grados 11 y 12, y algunos son del grado 10. Después de una discusión, los miembros decidieron un nombre único para el club y lo llamaron Pythagorean Triples. Pitágoras demostró que para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Un triple pitagórico es un triángulo de ángulo recto y todos sus lados son números enteros. El primer triple tiene los lados 3,4,5 porque 52 = 32 +42. El siguiente triple tiene una forma extraña para nuestro diseño. Sería 5,12,13 (132 = 52 +122). Además, la dirección de la escuela es 345 Triangle Park. Por eso, se nos ocurrió este diseño”.
Priya escuchó la larga explicación, sonrió y dijo que fácilmente podía cumplir con todos los criterios.
kristen: como?
Priya: Si 3,4,5 centímetros cumplen con sus criterios, también lo harían 3,4,5 pulgadas. Los parches serían entonces más grandes como los quieras.
Jonathan: ¿Por qué no pensamos en eso?
Rediseñando la camiseta
Priya: Porque nosotros somos los chicos de las camisetas personalizadas y ustedes son los miembros del club de matemáticas. ¿El triángulo tiene que ser amarillo o puede ser solo del color de la camiseta? Se verá como un triángulo debido a todos los cuadrados que lo rodean, y le ahorrará algo de dinero en el costo de los parches y en la mano de obra.
Kirsten y Jonathan estuvieron de acuerdo.
Priya comprobó los precios de venta al por mayor de las camisetas y los parches. Se los mostró a Jenna, quien los miró y sumó el costo de la mano de obra, la ganancia de la tienda y el impuesto a las ventas.
Priya: El total de las 50 camisetas será de $600.
Jonathan y Kirsten calcularon que el total de $600 sería $12 por estudiante y dijeron que era demasiado.
Priya: ¿Qué tan estricto eres con los parches? ¿La impresión no sería una mejor opción? Incluso podría reducir el costo.
Jonathan: No. Queremos parches.
Priya: Podemos hacer parches, pero quiero mostrarles algunos de nuestros trabajos de impresión.
Priya trajo varias camisetas hechas de muy buen algodón suave. Tenían diferentes diseños. Kirsten se estaba entusiasmando con la idea.
Priya: Sabes que tu diseño original tenía un triángulo amarillo en el medio. Lo habíamos cortado para ahorrar el costo. En la impresión, podríamos mantener el diseño original. Normalmente cobramos $10 por camisa, pero como quieres 50 camisas, le pediré a mi mamá que te haga un descuento.
Jenna le dijo a Priya que la tienda pagaría el impuesto sobre las ventas como descuento.
Priya: Pagaremos el impuesto sobre las ventas. Entonces sería un total de $500 por las camisetas estampadas.
Kirsten: Jonathan, recuerda que nuestro maestro de matemáticas nos dijo que la escuela podría aportar $300 si hacemos una muy buena presentación sobre el proyecto al director. Esto reduciría el costo a $ 200 y llegaría a $ 4 por estudiante, lo cual sería bueno.
Jonathan: Ordenaremos las 50 camisetas estampadas.
Ahora, el club de matemáticas tenía que preparar la presentación para impresionar al maestro de matemáticas y al director. Pete dijo que ayudaría porque el diseño fue idea suya.
¿Qué harías si esta presentación fuera para tu escuela?
Desafío
El teorema de Pitágoras establece que para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual al cuadrado de la base más el cuadrado de la altura. Pruébalo.
Solución: Hay muchas pruebas del teorema. Esta fue dada por el vigésimo presidente de los Estados Unidos, James Garfield, en 1876.
ABC es un triángulo rectángulo de base AB = a, altura AC = by hipotenusa BC = c.
Extienda la línea AC a D para que el segmento de línea CD tenga una longitud a (igual que la base). Dibuja un ángulo recto CDE desde CD de modo que DE = b.
Como CDE y ABC son triángulos congruentes, CE = c y el ángulo DCE = ángulo ABC. Ángulo BCE = 180° – ángulo y ACB – ángulo DCE (igual que ABC)= 90°.
Por tanto, el triángulo BCE es un triángulo rectángulo.
Área del trapezoide ABDE = altura x (base + cima)/2 = (a+b)(a+b)/2
El área del trapezoide ABDE es la suma de las áreas de los triángulos rectángulos ABC + CDE +BCE.
Por lo tanto, el área trapezoidal = ab/2 + ab/2 + c2/2 = ab + c2/2.
Por lo tanto (a+b)(a+b)/2 = ab + c2/2 o (a+b)(a+b) = 2 ab + c2 o a2 +b2+2ab =2 ab + c2 o a2 +b2 =c2.
Esto prueba el teorema de Pitágoras de que para un triángulo rectángulo,
base2 + altura2 = hiotenusa2.
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