Johnny fue a dar una vuelta con Sara
A estas alturas, la madre de Johnny confiaba en que él conducía y accedió de buena gana a que le prestara el coche para dar un breve paseo por el campo con su novia Sara.
El clima era agradable, sin nubes a la vista y la temperatura también se sentía bien, ni demasiado fría ni tan alta como para freír un huevo en el camino. Así que abrieron las ventanillas del coche para disfrutar de la brisa mientras conducían. Johnny no había decidido adónde ir ya Sara no le importaba eso. Estar juntos para dar un paseo por el campo era todo lo que quería.
Granjero que vende manzanas en el borde de la carretera
Mientras navegaban, vieron a un granjero que vendía manzanas al borde de la carretera. Tenía fanegas de manzanas y una silla para sentarse. Las manzanas eran visiblemente atractivas. Compraron algunos. El primer bocado le dijo a Johnny que las manzanas estaban deliciosas. Entonces Sara también comenzó a mordisquearlos.
Johnny empezó a charlar con el granjero. Mientras hablaba, el granjero se dio cuenta de que se trataba de dos niños educados y les contó su dilema.
Agricultor: No tengo una finca grande y es difícil ganarse la vida.
Johnny: ¿Cuántas manzanas produce tu granja cada año?
Agricultor: Tengo 50 árboles y cada árbol produce unas 800 manzanas.
Sara: Serían 40.000 manzanas al año. Supongo que es difícil vivir con los pequeños ingresos de ellos.
Johnny: ¿Por qué no puedes plantar más árboles? ¿Los árboles tienen que estar tan separados como ahora?
¿Cuántos manzanos puede agregar el agricultor a la huerta?
Granjero: Le hice la misma pregunta a mi padre. Habló con otros propietarios de huertos. Dijo que por cada árbol que agregues, disminuirás el rendimiento de todos los árboles en 10 manzanas por árbol. No se que hacer. No estoy bien educado. Ni siquiera fui a la escuela secundaria.
Sara: Johnny, eso es fácil. Usa tu cálculo.
Johnny: ¿Cómo es esto un problema de cálculo?
Sara: Recuerda, cuando estábamos haciendo pendientes de y = sen x, encontramos que la pendiente era cero cuando la curva estaba en una meseta. La curva de producción total de manzanas basada en el número de árboles también se estabilizará en el punto de producción óptima y la derivada será cero.
Johnny: Pero la derivada será cero en el máximo o mínimo de la curva.
Sara: Averigüemos dónde se estabiliza la curva. Entonces podemos comprobar si es para una producción óptima o para un desastre.
Johnny: Tiene 50 árboles. Si suma x árboles, la producción total será el número de árboles (50 + x) multiplicado por el rendimiento por árbol (800 – 10x).
Sara: Entonces la producción será de 40000 +300 x -10 x2.
Johnny: La primera derivada será 0 + 300 – 20x.
Sara: Entonces la respuesta es que x será óptimo cuando 300 – 20x = 0 o x =15.
Johnny: Todo eso está muy bien, pero ¿cómo sabes que esta no es la respuesta a la producción mínima sino a la máxima?
Sara: Bien, siempre debemos revisar eso. Si planta 15 árboles más tendrá un total de 65 de ellos. La producción de cada árbol será 800 menos 10 por 15 = 650. La granja produciría entonces 42 250 manzanas. Eso es más que la producción actual. Por lo tanto, no es un mínimo sino el valor óptimo.
Entonces, le dijeron al agricultor que, según sus cálculos, lo mejor es plantar 15 árboles más en la finca. Eso le daría 2500 manzanas más cada año.
Granjero: Está bien, lo intentaré. Si tienes razón, te debo una fanega de manzanas gratis.
Johnny estaba feliz con esa oferta, y se fueron.
Solución gráfica
En casa, Sara hizo este gráfico en su computadora portátil. Se basó en la fórmula que habían descubierto. De hecho, el gráfico alcanzó su punto máximo con 15 árboles adicionales plantados. A Johnny le gustó que la respuesta fuera verificada por el gráfico. Por supuesto, también se dio cuenta de que usando el cálculo podían obtener la respuesta muy rápido.
De repente, Johnny le preguntó a Sara cómo en la granja podía multiplicar 65 por 650 en un santiamén sin usar una calculadora. Sara solo sonrió.
Más tarde, Sara le dijo que otra forma de verificar si la meseta es máxima o mínima es a partir del signo de la segunda derivada. Una segunda derivada positiva indica un mínimo y una negativa significa que es un máximo. Por ejemplo, aquí la producción P = 40000 +300 x -10 x2. La meseta se produjo en dP/dx = 300 -20x. La segunda derivada d2P/dx2 = -20 que indica la solución de la primera derivada dio un máximo. También habían verificado que la meseta no era un mínimo por otros cálculos.
Desafío
Josie tiene papel de construcción que tiene un área de 48 cm2. Ella quiere hacer una caja de base cuadrada abierta en la parte superior con las paredes perpendiculares a ella para obtener un volumen máximo. Ella se pregunta cómo sería la caja y cuál sería su volumen. Sara sabe qué decirle. ¿Vos si?
Solución: Comencemos diciendo que la caja tiene una base cuadrada con cada lado de x cm y una altura de y cm.
El área de la superficie A = x2 + 4xy
Dado A = 48, entonces x2 + 4xy = 48 o x + 4y = 48/x o y = 12/x – x/4
El volumen de la caja V = x2y o V = x2 (12/x -x/4) o V= 12x -x3/4.
En máximos/mínimos, dV/dx tiene que ser cero.
Para
V= 12x -x3/4, dV/dx = 0 = 12 – 3x2/4 o 3x2 = 48 o x2 = 16 o x = ± 4.
La longitud negativa de la base no tiene sentido y, por lo tanto, x = 4.
Sabemos que el área A = x2 + 4xy = 48. Con x =4, 16 +16y=48 o 16y =32 o y =2 cm
Entonces el volumen de la caja V = x2y = 42 x 2 = 32 cm3.
Sabemos que una caja con altura cero tendrá volumen cero. El valor de 32 cm3 es mayor y por lo tanto la meseta es un máximo y no un mínimo.
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