A Johnny se le dice que aprecie a Sara
A Johnny le fue muy bien en la escuela el último semestre. Había dos razones principales para ello. La primera razón fue que sus padres le habían comprado una bicicleta cara pero que habría tenido que pagar por ella si no obtenía un promedio superior al 85%. La segunda razón, y quizás la más importante, fue que Sara, su novia durante dos años, usó su interés por la bicicleta para convertirlo en un genio de Trig.
A la mamá de Johnny le gustaba Sara y le dijo que hiciera algo para mostrar su aprecio por su inteligente novia. Su mamá fue persistente y le preguntó qué iba a hacer. Esperaba que fuera algo especial para la chica que tanto lo ayudaba. A Johnny no le importaba mucho que su novia anduviera con él y, en el proceso, lo ayudó con la trigonometría. Mamá insistió en que debería hacer algo, tal vez llevar a Sara a una cita oa un viaje romántico. Incluso le ofreció que le prestara su coche.
Finalmente, Johnny habló con Sara sobre su viaje a un lugar romántico. Sara le dijo que su Nana la dejaría ir solo para un viaje de un día, sin pasar la noche, a pesar de que sabía que se habían estado viendo durante dos años.
¿Dónde ir para una cita para cenar?
Entonces, Johnny y Sara tuvieron que decidir adónde ir. Tenía que ser un viaje decente. Tal vez podrían cenar y pasar un rato juntos, pero ¿dónde? Empezaron a buscar restaurantes. Había todo tipo de restaurantes con diferentes tipos de alimentos. Fue difícil elegir uno. De repente, Sara hizo una mueca tonta.
Sara: Esto es raro. No creo que exista este restaurante llamado Johnny and Sara’s Place. El lugar lleva nuestro nombre. Eso es lo suficientemente romántico. Tiene que ser bueno aunque no hay críticas. Está en un callejón sin salida en McLinton Road. Debería ser un corto trayecto en coche desde aquí. ¿Cuándo quieres ir?
Johnny: Eso suena romántico, un restaurante que lleva nuestro nombre.
Johnny consultó con su mamá para ver cuándo podía tomar prestado su auto y luego le preguntó a Sara si el día siguiente estaba bien. Sara estuvo de acuerdo. Decidieron que recogería a Sara en su casa a las 5 de la tarde del día siguiente.
Al día siguiente, Johnny condujo hasta la casa de Sara y se encontró con su Nana. Después de eso, se marcharon. Sara tenía un nuevo teléfono inteligente en la mano. Su papá se lo había dado como recompensa por sus logros en el último semestre. El promedio de Sara fue del 98 %.
Datos GPS del movimiento del coche.
Sara: Traje este celular porque tiene GPS. Podemos monitorear todos nuestros movimientos con él, tal como lo harías con tu bicicleta. Sé que el auto de tu mamá tiene GPS. Todavía traje esto porque con esto puedo guardar nuestras coordenadas y enviar los datos a mi computadora portátil.
Pronto dieron vuelta en McLinton Road y siguieron adelante. Sara tocó la pantalla del teléfono varias veces para registrar las coordenadas del GPS.
El lugar de Johnny y Sara
Al final de la calle había un pequeño restaurante con un letrero que decía ‘Johnny and Sara’s Place’. Johnny estacionó el auto y entraron. El lugar era diminuto. Contaba con cuatro mesas para acomodar un máximo de 16 personas.
Se sentaron y llegó una señora con los menús. Ella dijo: “Bienvenidos a Johnny and Sara’s Place. Soy Sara y estaré encantada de recibir tus órdenes.”
En una conversación posterior, la camarera dijo: “Cuando terminé la escuela secundaria, mi novio Johnny y yo abrimos este restaurante. Yo atiendo al frente y Johnny cocina. Nos gusta la vida de ritmo lento ya que el restaurante nunca está demasiado ocupado”.
El menú incluía principalmente hamburguesas, sándwiches y sopa del día. Pidieron la sopa y dos hamburguesas. La comida era deliciosa. Charlaron y comieron. La camarera vino a hablarles de los postres.
Camarera: Johnny hace un muy buen strudel de manzana.
Sara: Gracias, lo tomaremos. También queremos un poco de té. Por cierto, soy Sara y este es mi novio Johnny. Estábamos buscando una breve cita romántica y descubrimos este lugar. ¿Qué podría ser más romántico que Johnny y Sara yendo a Johnny and Sara’s Place?
Camarera: Caramba, eso es hermoso.
El strudel va por cuenta de la casa
La camarera trajo el postre y el té. También trajo al cocinero que era su esposo y lo presentó diciendo: “Johnny, estos son Johnny y Sara. Vinieron aquí porque este es el lugar de Johnny y Sara”. El cocinero les dio la bienvenida y les instó a volver ya que era su lugar.
Johnny y Sara disfrutaron de esta cita. Johnny llevó a Sara a casa. Se dieron un beso de buenas noches y Sara dijo que vendría al día siguiente.
Como prometió, Sara fue a casa de Johnny al día siguiente. Esta vez tenía su computadora portátil con ella. Ella había registrado los datos del GPS en cada intersección importante que tenía un semáforo. El gráfico mostraba cuántos kilómetros habían recorrido hacia el Oeste y hacia el Norte.
Johnny: Sara, esto se parece a lo que hicimos con la bicicleta. ¿Estás tratando de enseñarme trigonometría de nuevo?
Sara: No. ¿No se ve bien McLinton Road? Va más al oeste que al norte al principio, pero al final va principalmente al norte sin ir mucho hacia el oeste.
Johnny: ¿Por qué no dibujaste una línea continua conectando los puntos para mostrar el camino?
Sara: El camino no era continuo. Había muchas curvas en diferentes lugares. No puedes verlos en este pequeño mapa.
Sara obtuvo el mapa de la carretera de Internet, amplió pequeñas partes y luego se lo mostró a Johnny.
Sara: Mira, hay muchas curvas en el camino. No hay continuidad.
Johnny: Pero nadie se va a caer ni a golpear nada solo por las pequeñas curvas.
Sara: A efectos prácticos, tiene razón, pero para describir la forma de la relación de movimiento Noroeste mediante una función continua, no puede haber curvas ni rupturas.
Johnny: Si alguien tuviera que suavizar las curvas, ¿puedes escribirlo como una función continua?
Sara: Supongo que por ahora podemos decir que la función es continua, pero deberíamos leer este concepto detenidamente.
¿Qué función cumplía el movimiento?
Johnny: ¿Cuál sería la relación Noroeste si el movimiento Oeste fuera x y el movimiento Norte fuera y?
Sara: Luché con eso yo misma. Entonces mi mamá me ayudó. Descubrió la mejor función para ajustarse a esta relación de par x-y. Ver la imagen.
Johnny: Sacaste los puntos. ¿Se debe a que ahora la llamamos función continua descrita por la ecuación y = x2/10?
La mamá de Johnny entró preguntando por su cita. Después de escuchar su visita a ese pequeño y económico restaurante, no quedó impresionada. Había olvidado que hace mucho tiempo, soñaba con tener un lugar propio junto con el papá de Johnny. Puede ser por eso que ella no vio el ángulo romántico de su cita.
Sara tenía mucho tiempo libre. Tenía un trabajo voluntario para ayudar a los niños refugiados con su idioma y habilidades sociales, pero eso comenzaría en unas dos semanas. Hasta entonces, ¿qué podría ser mejor que visitar a su novio con más frecuencia? Así que ella hizo exactamente eso. Esta vez ella tenía su computadora portátil de nuevo.
Sara: Johnny, recuerda el gráfico que te mostré ayer. Seguía la función y = x2/10. Hice una cosa más con las lecturas de GPS que teníamos.
Jhonny: que es eso?
La derivada – pendiente de la función
Sara: Primero, dígame si la curva fuera y = x2 y nuestro automóvil se moviera un poquito en la dirección de x, ¿cuál sería nuestra razón de movimiento de y a x?
Johnny: ¿Cuánto nos estamos moviendo?
Sara: Digamos, la longitud de una hormiga. Llamémoslo a por la hormiga. Estábamos en x y ahora estamos en x + a, correcto. La función sigue siendo y = x2.
Johnny: Entonces y ahora estaría en (x+a)2 en lugar de x2. Entonces el cambio en y será (x+a)2 menos x2. Si divides esto por a, obtendrás la pendiente.
Sara: ¿Está bien si escribo x2 +2ax + a2 en lugar de (x+a)2?
Johnny: Por supuesto, entonces el movimiento y será x2 +2ax + a2 – x2. El más y el menos x2 se cancelarán y tendremos 2ax + a2 como diferencia. Lo dividimos por ‘a’ que es el movimiento en la dirección x. Entonces la pendiente será 2x + a, ¿verdad? Pero si el valor de x es 10 kilómetros, ¿no podemos simplemente olvidarnos de la longitud de la hormiga (que es realmente minúscula en comparación con 10 km) y decir que la pendiente es 2x?
Sara: No. En Matemáticas no puedes ignorar la longitud a menos que sea cero. Si hubiéramos usado el ejemplo de un grano de arena que es más pequeño que la hormiga, aún así no podríamos ignorarlo. Vuelve al tema de la continuidad. Si la función es continua, podríamos suponer que el incremento en x llega a cero y luego decir que la pendiente es 2x. La longitud de una hormiga o de un grano de arena no puede ser cero. De hecho, cualquier longitud que puedas medir no es cero. En términos de libro, podríamos haber escrito el cambio en y como δy y el cambio en x como δx.
Entonces δy/δx = ((x+ δx)2-x2)/ δx
y obtenemos δy/δx = 2x + δx
Entonces podríamos decir que cuando δx tiende a cero, el límite de δy/δx se convierte en dy/dx = 2x.
Así es como definimos la pendiente de una función continua en Cálculo y la llamamos diferencial o derivada de y con respecto a x o dy/dx. De eso se trata Cálculo; subida dividida por caída que es la pendiente de cualquier variable con respecto a otra
Johnny: Pero dijimos que McLinton Road siguió la función y = x2/10, no y = x2.
Sara: Podríamos hacer el cálculo de y = x2 por una constante y ver qué pasa. Podría escribir δy/δx = ((x+ δx)2-x2)/ δx x c y luego hacer que la pendiente sea (2x + δx) x c y dy/dx sea 2x x c.
Aquí c = 1/10 por lo que la pendiente sería 2x/10. Esto es lo que dibujé para dy/dx en diferentes valores de x. Su pendiente instantánea en cualquier valor dado de x es 2x/10 o x/5.
Johnny: Esto se está volviendo confuso. Este gráfico es una línea recta.
Sara: si Es una línea recta en la que la pendiente Norte/Oeste aumenta a medida que aumenta la distancia hacia el Oeste. Es lo que dije antes: “Mira cómo McLinton Road va más hacia el oeste que hacia el norte al principio, pero al final va principalmente hacia el norte sin ir mucho hacia el oeste”. La función que describía McLinton Road era y = x2/10, su primera derivada era x/5. La pendiente de esta línea en cualquier punto dado es x/5. Ese es el mismo valor que obtuvo cuando hizo el cálculo de dy/dx.
la segunda derivada
Johnny: Hemos terminado con la derivada de y = x2/10. Bueno. Supongo que también podríamos obtener la derivada de y = x/5.
Sara: Recuerda que la gráfica y = x/5 es una línea recta. La pendiente de una recta no cambia con x. es constante En este caso se puede ver que será 1/5.
Johnny: ¿Cómo llamas a la pendiente de una pendiente de una función?
Sara: Se llama la segunda derivada o d2y/d2x.
Johnny: Eso significa que d2y/d2x = 1/5, que es una línea sin pendiente o puedes decir con una pendiente de cero. ¿Eso significa que para la curva de McLinton Road y = x2/10, la pendiente de la pendiente de la pendiente o la tercera derivada d3y/d3x será cero? Guau, eso es genial.
Johnny hizo una pausa por un momento como para digerir todo, pero luego disparó más preguntas.
Johnny: ¿Qué pasaría si la función fuera una suma de expresiones? ¿Cómo determinarías las derivadas? Como en Álgebra aprendimos la ecuación cuadrática y = ax2 + bx + c.
Sara: Eso es simple. Podemos tomar la derivada de cada parte y luego sumarlas. dy/dx para ax2 es 2ax, para bx es b y dy/dx para c es cero. Podemos sumar las derivadas de cada uno de los tres componentes para obtener dy/dx = 2ax + b + 0.
Johnny: ¿Cuál es la derivada de y = x3?
Sara miró en el libro y dijo: Para cualquier valor de n, la derivada de y = xn es nxn-1. Aquí hay uno interesante, el libro dice que dex/dx = ex.
Johnny: ¿Qué, es e la constante de Eurler aquí?
Sara: Podríamos demostrarlo usando e como la suma de una serie infinita pero dejémoslo por ahora.
Sara pensó que Johnny estaba impresionado pero parecía algo perdido sobre el significado de todos los derivados. Pensó unos minutos antes de decir nada.
¿Qué significan las derivadas?
Sara: Recuerda cuando vamos en auto, leemos la distancia recorrida en el cuentakilómetros. Luego también hablamos de la velocidad del carro que es la distancia recorrida por hora o la primera derivada de la distancia recorrida con respecto al tiempo. La segunda derivada es la aceleración, que es la tasa a la que aumenta la velocidad. Algunas compañías de automóviles anuncian qué tan rápido pueden aumentar su aceleración. Esa sería la tercera derivada.
Johnny: Ahora, eso tiene sentido. De lo contrario, me tenías perdido.
Sara: Aquí hay un chiste que leí en Internet sobre derivados.
“El presidente de los Estados Unidos, Richard Nixon, cuando hizo campaña para un segundo mandato, anunció que la tasa de aumento de la inflación estaba disminuyendo, lo que se ha señalado como “la primera vez que un presidente en ejercicio utiliza la tercera derivada para promover su caso de reelección”. .”
Johnny: Eso es divertido. El tipo era un ladrón. Ahora que mencionó la tercera derivada, leí en el periódico de hoy: “La caída en el ritmo de las ventas de casas en la región de Vancouver parece haberse acelerado significativamente…”.
Desafío
El auto de Johnny está estacionado. Cuando arranca y empuja la paleta del acelerador, después del tiempo t habrá recorrido la distancia (d) dada por d = 0.5 at2 donde a es 3 metros/seg2. La velocidad del automóvil después del tiempo t viene dada por la primera derivada (ds/dt). ¿A qué velocidad se moverá el automóvil 10 s después de que arranca?
Solución: d = 0,5 at2. Por lo tanto, ds/dt = 0.5 a x 2 t = en
Con a = 3 metros/seg2 y t = 10 seg, ds/dt = 30 metros/seg que es 108 km/hora.
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