Carretera Mclinton

Operaciones inversas

            Los exámenes habían terminado y no había clases. Sara y Johnny tuvieron que esperar una semana antes de que comenzaran sus trabajos de verano. Sara le preguntó a Johnny si podían dar un paseo. Johnny accedió de buena gana y fueron a un parque cercano. Estaba relativamente tranquilo y hablaban y hablaban de todo. Cuando llegó el momento de irse, Sara le pidió que fuera a su casa. En casa de Sara, comieron algunos bocadillos que Nana les había preparado.

Sara le preguntó de repente a Johnny si sabía que en matemáticas la mayoría de las operaciones tienen opuestos. Johnny dio varios ejemplos como la resta frente a la suma, la división frente a la multiplicación, el seno de un ángulo frente al ángulo del seno inverso (arcoseno), etc. Luego le preguntó por qué había mencionado esto.

            Sara: Vamos a tomar Cálculo 2, y la conversación de ayer con tu mamá me recordó que debemos comenzar a trabajar en ello.

            Johnny: Recuerdo lo que hiciste para animarla. Mamá estaba viendo una disminución en la cantidad de horas que ella y papá pasaban juntos por año y lo sumaste a lo largo de los años y mostraste cómo aumentaba el tiempo total que pasaban juntos. Eso fue inteligente. Era como decir cuánta distancia total recorrí con mi bicicleta en una carrera en lugar de qué tan rápido.

Cálculo 1 – derivadas, Cálculo 2 – antiderivadas

            Sara: Recuerda que en Cálculo 1 aprendimos sobre las derivadas que te dieron las tasas. En Cálculo 2, vamos a aprender sobre antiderivadas. En Cálculo, la diferenciación se trata de obtener tasas, pero la integración se trata de obtener antiderivadas, que es como sumar u obtener áreas debajo de las curvas.

            Jhonny: Eso es todo. Haces que esto suene muy simple. Todo lo que hizo ayer fue sumar el número de horas por año durante cada año para obtener las sumas acumulativas. Acabas de escribir esta serie durante un número diferente de años y luego simplemente resumiste. Por ejemplo:

            Horas acumuladas en el año que se encuentran y los próximos 4 años = Horas en el año 0 + horas en el año 1 + horas en el año 2 + horas en el año 3 + horas en el año 4.

Vi esto en algún lugar de álgebra donde resumieron una serie y la escribieron así:

            Sara: También puedes hacer esto para tu carrera de bicicletas, y también para casi cualquier cosa. Estos son ejemplos de sumar valores discretos. Recuerda que hablamos de funciones y continuidad. La integración se trata más de sumar valores de funciones continuas para obtener áreas bajo las curvas. ¿Te acuerdas, Carretera Mclinton?

            Johnny: Sí, era curvo. La curvatura de este camino era y = x²/10 y dijimos que eso significaba que la pendiente de la curvatura era x/5 (ver la historia Fecha de la cena).

            Sara: Si solo supiéramos la pendiente de la curvatura, podríamos escribir la ecuación de la curvatura como

y = ∫ pendiente dx = ∫ (x/5) dx = x²/10 + constante

aquí ∫ es el símbolo de integral o antiderivada. Así que en la diferenciación pasamos de la curva a la pendiente y en la integración vamos al revés. Lo único es que no sabemos si hubo alguna pendiente incluso en x=0 y esta tasa solo se suma a esa pendiente. Así que agregamos una constante a la integral.

            Johnny: También recuerdo que v = ds/dt donde v es la velocidad y s es la distancia.

            Sara; Eso significa que también podrías escribir s = ∫vdt. Aquí el símbolo ∫ es para una integral que es lo mismo que una antiderivada. Sin embargo, hay un problema. Este tipo de integrales son integrales indefinidas porque no fijamos ningún período de tiempo. Esta integral incluye toda la distancia recorrida a menos que mencionemos lo contrario. Recuerda que la derivada de una constante es cero.

            Por lo tanto, para una integral indefinida escribimos

s = ∫vdt + c donde es una constante.

            Johnny: Está bien, lo entiendo. De lo que hicimos en Cálculo 1, también podemos decir qué hacer en Cálculo 2.

dx3/dx = 3x². Por lo tanto ∫3x² = x³ + c,

d(ax²+bx+c)/dx = 2ax + b. Por lo tanto ∫(²ax + b)dx = ax²+bx+c,

d (sin x)/dx = cos x. Por lo tanto ∫(cos x)dx = sin x + c.

            Podría zumbar por todo esto. ¿Eso es todo?

Sara: Chico amante, eres listo. Dame un beso.

Johnny le dio un beso y luego le preguntó a Sara: Dijiste que estas eran integrales indefinidas, ¿hay alguna otra?

            Sara: Veo que estabas escuchando. Sí, también existen las integrales definidas.

            Después de eso tuvo que irse porque su papá lo quería en casa. Sara también tuvo una sesión de charla con Nana. Más tarde le contó a su mamá sobre su conversación del día anterior con la mamá de Johnny.

            Johnny volvió a llamar a Sara al día siguiente. ¡Oye, no había escuela! Johnny fue a la casa de Sara.

Sara dijo: Digamos que andabas en bicicleta por la carretera de McLinton y querías saber cuánto norte recorriste cuando viajaste al oeste de 5 km a 10 km. Luego usarás las integrales definidas.

Recuerda, para la integral indefinida escribimos

y = ∫ pendiente dx = ∫ (x/5) dx = x²/10 + c

            Para la integral definida escribirás

            En esto, el término c se cancelará para convertirse en (x²/10 en x=10) – (x²/10 en x=5)

que es 100/10 – 25/10 = 7,5 kilómetros (ver foto).

            Johnny: Guau, tengo que comprobarlo con mi bicicleta. Recuerde, con la bicicleta puedo medir distancias hacia el oeste y hacia el norte. Te apuesto que el valor de esta integral definida es mucho mayor para los próximos 5 kilómetros.

            Esto es genial. Verificaré las integrales para algunas funciones más.

            Sara: Pensamos en la integral solo para determinar la distancia recorrida en el tiempo si supiéramos la velocidad. La integración también se puede usar para determinar el área bajo una curva, el volumen de un cubo, esfera, cono, cilindro, etc. Supongo que veremos muchos más ejemplos de aplicaciones de integrales en nuestro curso.

            Eso terminó el día y los dos se fueron a casa.

Broma de cálculo

            John y Jim estaban en un restaurante cuando comenzaron a discutir. John dijo: “La mayoría de la gente sabe suficiente matemática para salir adelante”, pero Jim no estuvo de acuerdo.

            Después de un rato, Jim fue al baño. John llamó a la camarera, le dio una propina de diez dólares y le dijo: “Cuando venga mi amiga, te haré una pregunta y solo diré x cubo”.

Jaime regresó. John llamó a la camarera y le preguntó: “¿Cuál es la integral de tres x al cuadrado?”

            La mesera dijo, “x cubo” y comenzó a alejarse.

            Después de unos pocos pasos, miró hacia atrás, sonrió y dijo: “¡Más una constante!”

Desafío

            Johnny puede andar en bicicleta con la velocidad V(t) = 1 + 4t + 10t² metros/minuto donde t es el tiempo desde su inicio. ¿Qué distancia puede recorrer en los primeros 10 minutos?

Solución

V(t) = ds/dt = 1 + 4t +10t² metros/minuto.

La distancia recorrida en los primeros 10 minutos será

 =(10+200+10000) – 0 =10210 metros o 10,21 kilómetros.

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