Mi cometa es más grande que la tuya.
La Sra. Rania Ali enseñó a estudiantes de una escuela primaria ubicada en un barrio pobre. La mayoría de los estudiantes venían allí porque tenían que hacerlo. Los niños tenían, en el mejor de los casos, un interés marginal en el aprendizaje. La Sra. Ali era consciente de su desafío, pero la gran maestra encontró nuevas formas de llamar la atención de sus alumnos. Esta es la historia del día en que dos estudiantes estaban a punto de ser expulsados por pelearse en la escuela pero ella los salvó dándoles una lección de geometría.
En India y Pakistán, el final del invierno se celebra con un festival de vuelo de cometas que se celebra en basant panchami. Basant es la temporada de primavera cuando los niños comienzan a jugar afuera porque pronto comenzarían los días de calor abrasador del verano. En el espíritu de la primavera, Rajab y sus amigos habían hecho una gran cometa de 90 cm de largo y 30 cm de ancho. Estaban muy orgullosos de ello hasta que se encontraron con Rehan y sus amigos. Este grupo se reunió e hizo una cometa que tenía solo 80 cm de largo pero 40 cm de ancho. Comenzó una discusión sobre de quién era la cometa más grande. Con la ayuda de sus irritantes amigos, comenzaron a gritar más y más fuerte como si gritar fuera el factor convincente en lugar del tamaño de la cometa. No, no se golpeaban ni se insultaban, pero los gritos incesantes y cada vez más fuertes en la escuela se hicieron insoportables. La directora lo escuchó y llamó a Rajab y Rehan a su oficina. Dijo que ese comportamiento era intolerable y que ambos serían expulsados. Algunos de los otros estudiantes le dijeron a la Sra. Ali, quien luego fue a la oficina del director. Ella le dijo al director que nunca antes había visto a ninguno de los dos estudiantes portarse mal. Al final, convenció al director de que no deberían ser expulsados si al final del día los dos iban a su oficina y le mostraban cómo podrían haber resuelto la discusión lógicamente en lugar de pelearse.
La Sra. Ali entró a su clase donde también estaban presentes Rajab y Rehan.
Rajab y Rehan serían expulsados a menos que…
Sra. Ali: Todos saben que Rajab y Rehan serían expulsados a menos que puedan decidir cuál cometa es más grande y explicárselo al director. ¿Cómo deberíamos empezar?
Mehak: Podríamos pedirle a uno de ellos que dibuje su cometa.
Sra. Ali: Está bien, Rajab. Haz un dibujo de tu cometa en la pizarra. Rajab tomó tizas de colores y con orgullo hizo un dibujo de su cometa. La Sra. Ali le pidió que etiquetara todas las esquinas de la cometa y también el medio. Así es como se veía la cometa.
Sra. Ali: Cometa colorida, Rajab. ¿Quién me quiere decir si la cometa es simétrica?
Arisha; Tiene que ser. La parte superior de la cometa sobre AC tiene que ser exactamente igual a la parte de abajo.
Mehak: He visto cometas que están un poco torcidas pero no vuelan. Entonces el triángulo ABC tiene que ser congruente con el triángulo ADC. Eso también significaría que los cuatro ángulos formados por el cruce de AC y BD tienen que ser iguales, es decir, 90°.
Alia: Sra. Ali, me gusta que convierta su pelea en una lección de geometría.
Sra. Ali: Gracias Alia. Ahora dime el área del triángulo ABE.
Alia: Aprendimos la última vez que sería base x altura/2. Entonces, yo diría AE x BE/2. También el triángulo BEC tendría el área EC x BE/2.
Cometa como suma de cuatro triángulos de ángulo recto
Sra. Ali: Entonces, ¿cuál es el área de la cometa, Rehan?
Rehan: Primero, el área del triángulo ABC es la base AC por la altura BE dividida por dos. Debido a que la cometa es simétrica, el triángulo ADC tendría la misma área, por lo que el área de la cometa sería AC x BD/2, lo que significa que el largo por el ancho dividido por dos.
Sra. Ali: Entonces, ¿qué tan grande era tu cometa, Rehan?
Rehan: Mi cometa medía 80 cm de largo y 40 cm de ancho. Por lo tanto, tenía un área de 3200/2 cm2, que es 1600 cm2.
Sra. Ali: ¿Y Rajab?
Rajab: Mi cometa medía 90 cm de largo y 30 cm de ancho. Esto significa que su área era de 90 x 30/2 o 1350 cm2. Rehan, tu cometa con un área de 1600 cm2 era más grande que la mía.
Taheen: Sra. Ali, quiero dibujar algo en la pizarra.
Sra. Ali: Adelante. Taheen.
Cometa como medio rectángulo
Taheen: Me quedé con la mitad superior de su cometa. Luego volteé el triángulo rojo y lo pegué en el lado izquierdo. Luego también volteé el triángulo azul y lo pegué en el lado derecho. De esta manera, hice un rectángulo con su cometa, con la base AC y la altura BE. El área de la cometa es AC x BE, que es lo mismo que largo x ancho original (BD)/2, pero creo que esto es más sencillo.
Sra. Ali: Muy bien Taheen. Nos ayudaste mucho. Rajab y Rehan, ahora pueden decirle al director lo que aprendieron. Además, tu tarea sería hacer lo mismo para obtener las áreas de un paralelogramo y un trapezoide. Yo haré los dibujos para ti y, en la próxima clase, tienes que explicar cómo obtuviste las áreas.
Rajab: ¿Tenemos que hacerlo?
Rehan: Creo que tenemos que hacerlo porque la Sra. Ali acaba de salvarnos de ser expulsados.
Desafío
Ayuda a Rajab y Rehan a encontrar las áreas de un paralelogramo y un trapezoide.
Solución: ABCD es un paralelogramo. Por lo tanto, el lado AB es paralelo a CD y AC es paralelo a BD. Dibujar una perpendicular CE de C a AB y otra (BF) de B a CD. Los triángulos AEC y BDF son triángulos rectángulos. El ángulo BAC es igual al ángulo BDF (los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, también puedes probar esto de forma independiente usando suposiciones de líneas paralelas). También el lado AC es igual al lado BD. Por lo tanto, los triángulos AEC y BFD son congruentes y, por lo tanto, AE = BF.
CEBF es un rectángulo de base EB y altura EC. Por lo tanto su área es EB x EC. Área del triángulo AEC = AE x CE/2 (base x altura/2). De manera similar, el área del triángulo BFD = BF x CD/2. El área del paralelogramo = área del triángulo AEC + área del triángulo BFC + área del rectángulo CEBF = AB x CE (base x altura).
Para el trapezoide ABCD, dibuja también dos vértices similares AE y BF.
El área del trapezoide = área del rectángulo CDEF + área del triángulo ACE + área del triángulo DFB que es EF x CE + AE x CE/2 + FB x DF/2. DF es igual a CE porque AB y CD son paralelos. Por tanto EF x CE + AE x CE/2 + FB x DF/2 =(AE/2 + EF+ FB/2) x CE = (AB + CD) x CE/2 que es altura x (suma de los dos lados paralelos )/2.
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