莎拉为什么教约翰尼微积分？
约翰尼和莎拉相爱了，所以经常待在一起。当然，他们偶尔也会一起学习微积分。约翰尼问莎拉为什么开始教他微积分。
莎拉：有三个原因。第一个原因是，我本来就打算复习微积分课本，觉得我们一起学会更好。第二个原因是，我知道你迟早会请我教你微积分。
约翰尼：我又没请你教我。你怎么知道我会开口？
莎拉：来，亲爱的，先亲我一下。我能读懂你的心思。
约翰尼吻了她，说：好吧，那你告诉我，我现在在想什么？
莎拉：你正在想两件不同的事。其中一件是，你想知道第三个原因是什么。
约翰尼：对。你说有三个原因，却只说了两个。第三个是什么？
莎拉：和你一起学习很有趣，而且我们一起学习时，我学得更好。
约翰尼：你真会读心术！我确实在想第三个原因。现在告诉我，我还在想什么？
莎拉：你正打算再约我出去一次。
约翰尼：莎拉，我爱你。我去问问妈妈能不能再借她的车，带你出去兜风。
约翰尼去找妈妈商量。
约翰尼：妈妈，我能再借一下你的车吗？我想带莎拉出去约会。记得吗？你以前还鼓励我这么做呢。
妈妈：今天不行。明天怎么样？
约翰尼问莎拉第二天能不能一起出去约会。莎拉欣然答应。
蒙特温之旅
他们查看了附近的地点，决定去蒙特温镇，因为他们觉得沿途风景一定很美。他们所在城市的西边有两座非常相似的山，人们常称它们为“双子山”。蒙特温镇就在这两座山的西边。
第二天下午，约翰尼借了妈妈的车，接上莎拉，两人就出发了。公路从两座山之间穿过。每座山的山脚都呈宽阔、平滑的曲线。一路上绿意盎然，树木高大，还有一些小湖泊，景色十分美丽。途中，他们看到湖边有一座公园，便决定下车欣赏一会儿风景。他们还在公园里玩了飞盘，然后继续开车前往蒙特温。
约翰尼：莎拉，你在做什么？
莎拉：没什么，只是在手机上点几下，记录我们的 GPS 坐标。我不会打扰你的，只是隔一会儿记录一次。我们继续欣赏周围美丽的山景吧。
他们继续开车，直到抵达蒙特温。这是一座很小的镇子，主要商业区只有一个大广场。镇上有许多住宅，还有一所带操场的小学校和一个娱乐中心。
蒙特温的主要广场上有一家餐馆。约翰尼和莎拉决定进去看看。餐馆虽然不大，却有一个舞池。他们点了餐。吃饭时，他们发现店里有一台小电脑，顾客可以用它选歌播放。这里没有唱片骑师，但人们可以在自己选的歌曲播放时跳舞。
约翰尼：莎拉，你想跳舞吗？
莎拉：不太想。我们能不能回到刚才去过的那个公园？我很喜欢那里。我们可以在那里待一会儿。
约翰尼请女服务员拿账单来。莎拉突然插话。
莎拉：我们平摊账单吧。
约翰尼：不用，让我来付。
莎拉：上次也是你付的。
约翰尼：上次其实不是我付的钱。妈妈希望我带你出去约会，就把她的信用卡给了我。我用的是她的卡。说实话，她对我们上次去了那么便宜的餐馆还不太满意。所以今天她又把卡给了我。
莎拉：为什么要让她付钱呢？
约翰尼：因为她爱我，也许她也喜欢你。
约翰尼付了账，这对恋人开车回到湖边的公园。他们在那里待了一会儿，然后开车返回。约翰尼送莎拉回家，两人吻别，道了晚安。
第二天早上，莎拉起床后和娜娜一起吃早餐。娜娜问她约会怎么样。两人一边聊天，莎拉一边用笔记本电脑做些事情。这时莎拉的手机响了，是约翰尼打来的，问她能不能过来一会儿。莎拉带着笔记本电脑来到约翰尼家，想给他看点东西。
分析记录的 GPS 坐标
莎拉：我们离开公园前往蒙特温时，公路大致是从东向西延伸的。所以我开始记录我们的 GPS 坐标。
约翰尼：公路并不是笔直地从东向西延伸，而是弯弯曲曲的。
莎拉：这是我记录下来的其中一段弯曲路线。图中的横轴表示我们向西行驶的距离，纵轴表示向北或向南的位移。哦，我稍微调整了一下比例尺，让向西的总距离在图上等于 2π（约为 6.28）。
约翰尼：你真狡猾！这样就可以用弧度表示角度了，因为 2π 弧度等于 360°。
约翰尼：这看起来很像我们在三角学中学过的 y = sin x 图像。
莎拉：如果公路沿着一条平滑、连续的曲线延伸，就有可能。
约翰尼：麦克林顿路没有断点，也没有明显的尖锐转折，所以我们假定它是连续的。为什么不能对这条路作同样的假设呢？
莎拉：我想可以。这是 y = sin x 的图像。
约翰尼：你还记录了更多坐标吗？
莎拉：记录了，不过后面的公路弯得很不规则，所以我只给你看这一段。另外，我还测量了这段波形第一个四分之一周期中，向北位移与向西位移的比值，并在图上标出了各点的斜率。
分析 sin x 的斜率
约翰尼：你说左边只显示波形的第一个四分之一周期，也就是从 x = 0 到 π/2。看起来，开始时斜率很大，接近这一段末端时逐渐减小。你为什么在这里停下来？为什么不测量整个波形呢？
莎拉：我测量了整个波形，还把各点的斜率画成了一条曲线。就在右边。
约翰尼：斜率也形成了一条波浪形曲线。我好像在三角学里见过它。
莎拉：对，斜率的图像看起来像 y = cos x。
约翰尼：y = sin x 图像各点的斜率形成了 y = cos x 的曲线。根据斜率的定义，并假定我们关于连续性的假设成立，这就意味着：
d(sin x)/dx = cos x。
约翰尼翻开微积分课本核对，说：嘿，真的对！我以前从没这样想过。计算斜率这个办法真管用。
约翰尼盯着图像看了一会儿，然后说：我看到你画了两条竖直虚线，标出了 d(sin x)/dx 等于零的两个位置。第一次是在第一个四分之一周期结束时，sin x 达到最大值。第二次是在 sin x 图像的最低点，曲线变平，函数达到最小值。
莎拉：这很有意思，也很合理。当函数值在某处变得平坦时，它的斜率就是零。看，我们的书里有一章讲最大值和最小值。书上说，在最大值或最小值处，一阶导数等于零。
y = cos x 的斜率
约翰尼：我想知道，如果研究 y = cos x 的斜率，会不会发生同样的事情。
莎拉：我用同样的方法，根据 y = cos x 的图像计算了斜率。左边显示第一个四分之一周期，图中写出了各点的斜率。
约翰尼：这些斜率全都是负的。
莎拉：如果继续看第二个四分之一周期之后的部分，就不是这样了。右边显示的是整条 y = cos x 曲线各点瞬时斜率的图像。
约翰尼：这张图有点让人困惑。它看起来像 y = sin x 的图像，只不过上下颠倒了。
莎拉：查查课本。书上是不是说 d(cos x)/dx = -sin x？图像显示的正是这个结果。
约翰尼：没错。还有一件事，我们还没有求 tan x 的一阶导数。
莎拉：记得吗？在某些角度附近，tan x 可以趋向无穷大，因此比较难在图上完整显示。不过课本说 d(tan x)/dx = sec2x。
几天后，约翰尼去看莎拉。他们告诉莎拉的爸爸妈妈，最近几天一直在一起学习微积分。两位家长都很高兴。莎拉的父母向他们介绍了微积分在物理学和工程学中的几种应用。她的爸爸还谈到微积分在经济学和投资策略中的用途，特别是在期权交易方面。她的妈妈则解释了微积分如何帮助人们研究药物的使用剂量和给药频率。总的来说，凡是需要考虑变化的地方，微积分都能帮助测量变化率并解释其意义。
挑战题
求 d2(sin x + cos x)/dx2。
解答：d(sin x + cos x)/dx = cos x – sin x
因此，d2(sin x + cos x)/dx2 = d(cos x)/dx – d(sin x)/dx = -sin x – cos x。