水仙花是一种美丽的黄色花朵
水仙花是一种美丽的黄色花朵。美国华盛顿州的几个县每年都会举办活动来赞美水仙花的美丽。每年四月，几个城市会同时在各自的城市举行水仙花游行。在塔科马市（Tacoma），游行规模很大，来自24所高中的学生都会参加。这个著名的节日还包括一场选美比赛，选出“水仙花女王”（Daffodil Queen）。这个故事部分与这个欢乐的节日有关。数百名高中女生以“水仙花公主”的身份参加选美，希望自己能脱颖而出，成为最美丽、最有魅力的水仙花女王。
萨拉（Sara）深爱着约翰尼（Johnny），两人经常去对方家里做客。他们通常也一起上学、一起放学回家。这天傍晚，萨拉早些时候给约翰尼打过电话，现在又来到他家。约翰尼正在等她。
萨拉：你为什么把旅行包打开了？
约翰尼的妈妈：我们准备周末去塔科马旅行，观看水仙花游行。
萨拉：哇，那一定很有意思！约翰尼从来没有告诉过我，你们一家这么喜欢水仙花。
约翰尼的妈妈：我的哥哥住在塔科马。他的女儿，也就是我的侄女莉齐（Lizzi），参加了今年的水仙花选美比赛。她长得非常漂亮，很有可能获胜。到目前为止，她的表现很不错。所以，这个周末我们要去看她参加水仙花游行。原本约翰尼的爸爸也要去，但他太忙了。因此，只有我和约翰尼去。
他们果然去了塔科马。回来以后，约翰尼有一个问题想问萨拉，于是请她到家里来。
萨拉：嗨，约翰尼！旅行怎么样？莉齐赢得冠军了吗？
莉齐与约翰尼的争论
约翰尼：莉齐差一点就赢了。她获得了亚军。见到她和我的舅舅、舅妈真高兴，游行也非常漂亮。你知道吗，莉齐现在才上十一年级，所以明年还可以再参加比赛。不过，先不说这些。我和莉齐发生了一场争论，也许你能帮我们解决。
萨拉：什么样的争论？
约翰尼：我觉得这与几何有关。
萨拉：有意思！一位选美比赛的亚军，居然还懂几何！看来她也很聪明。把具体情况告诉我，我试试看能不能解决。
约翰尼：让我画一个直角三角形给你看。我们住的旅馆位于C点，道路AC和BC互相垂直。游行队伍沿着图中箭头所指的方向前进。我们争论的问题是：莉齐在游行过程中，什么时候距离我们最近？
我说这很容易计算。只要从旅馆所在的C点向游行道路AB作垂线CD，然后就可以计算出所有需要的数据。
萨拉：你说得对。
约翰尼：可是她根本不给我机会计算，就直接说，当她走完从B到A的游行路线的五分之一时，她距离我们最近。
萨拉：她给出证明了吗？
约翰尼：她说会通过电子邮件把证明发给我，但到现在还没有发来。
萨拉：那我们先看看她说得对不对。设CD = x，BD = a，DA = b。
因为BA是直角三角形ABC的斜边，根据勾股定理：
AB2 = AC2 + BC2 = 50000
因此，AB = 223.61米。
也就是说，BD + DA = a + b = 223.61米。
现在，BDC也是一个直角三角形。因此：
DB2 = BC2 – CD2
即：a2 = 10000 – x2。
同样，根据直角三角形ADC：b2 = 40000 – x2。
于是：b2 – a2 = 40000 – x2 – (10000 – x2) = 30000。
因此：(b + a)(b – a) = 30000。
我们已经知道：a + b = 223.61米。
所以：b – a = 30000 / 223.61 = 134.16米。
将最后两个方程相加：2b = 357.77
因此，b = 178.89米，a = 44.72米（约44.7米）。
莉齐是对的
约翰尼：你知道吗？莉齐说得对！因为a约等于44.7米，而a + b = 223.61米。这意味着a正好约为a + b的五分之一（44.7 / 223.61 ≈ 1/5）。
萨拉：莉齐确实很聪明！但她怎么能这么快算出来呢？一种可能是，她知道什么叫作几何平均数。
什么是几何平均数？
约翰尼：什么是几何平均数？
萨拉：我们通常所说的平均数是算术平均数。计算两个数的算术平均数，就是先把它们相加，再除以2。而几何平均数则是先将两个数相乘，再对乘积开平方根。（如果想进一步了解几何平均数，请阅读《兰利公园之旅》（Trip To Langley Park）。）
约翰尼：我明白了。这就好比说，一个长为a、宽为b的长方形，其面积与一个边长为√ab的正方形相同。但是，这与我们的问题有什么关系呢？
萨拉：你画的图中，底边AB被D点分成BD（a）和DA（b）两部分。在这个直角三角形ABC中，从直角顶点C向斜边AB作垂线CD，那么CD的长度就是a和b的几何平均数。
约翰尼：这就是说，x = √ab，因此x2 = ab？
萨拉：你可以从这个关系式开始，再利用a + b = 223.61米。在直角三角形BDC中：x2 = 1002 – a2。
约翰尼：那么：
ab = 1002 – a2
所以：b = 10000/a – a
因此：a + b = 10000/a
也就是说：223.61 = 10000/a
所以：a = 10000/223.61 = 44.72米。
当然：a/(a+b) = 44.72/223.61 ≈ 1/5。
真聪明！不过，这仍然需要不少计算。而且，我们怎么证明x2 = ab呢？刚才我们只是把它当成一个已知关系。
萨拉：你可以看到：∠ADC = ∠ACB = 90°。
因为三角形的内角和是180°，所以：∠DAC = 90° – ∠DCA。
同时，因为∠ACB是直角：∠BCD = 90° – ∠DCA。
因此：∠DAC = ∠BCD。
两个三角形的第三个角也必然相等：∠ACD = ∠DBC。
所以，三角形ACD和BCD相似。
约翰尼：因此，根据相似三角形对应边的比例：
BD/CD = CD/AD
即：a/x = x/b
所以：x2 = ab。
真妙！
萨拉：莉齐真是一个聪明的女孩。她高中毕业以后打算做什么？
约翰尼：她想成为一名土木工程师，不过我不知道她的父母希望她做什么。
萨拉：她的数学能力让我印象深刻。希望她能够选择自己喜欢的职业。
挑战题
直角三角形ABC的两条直角边分别为AB = a和BC = b。如图所示，在这个三角形内嵌入一个边长为p的正方形。那么，p与a、b之间有什么关系？
解答：
图中各个图形的面积如下：
三角形ABC的面积 = ab/2
三角形ADE的面积 = (a-p) × p/2
三角形EFC的面积 = (b-p) × p/2
正方形BDEF的面积 = p2
三角形ABC的面积等于三角形ADE、三角形EFC和正方形BDEF的面积之和。
因此：ab/2 = (a-p) × p/2 + (b-p) × p/2 + p2
整理后得到：ab/2 = (a+b) × p/2 – p2/2 – p2/2 + p2
所以：ab/2 = (a+b) × p/2
因此：p/2 = ab/[2(a+b)]
即：p = ab/(a+b)
也可以写成：p = 1/(1/a + 1/b)
而a和b的调和平均数（Harmonic Mean）为：2/(1/a + 1/b)
因此，p等于a和b的调和平均数的一半。
（如果想进一步了解调和平均数，请阅读《兰利公园之旅》（Trip To Langley Park）。）