破旧的校舍
桑亚尔夫人（Mrs. Sanyal）是贾加特巴斯蒂（Jagatbasti）贫民区唯一一所学校的创校校长。尽管困难重重，这所学校仍然坚持办学十多年，实在是一项了不起的成就。她为学校在自己的领导下坚持至今感到自豪，但校舍的状况却令她十分忧心。雨季时，好几间教室的屋顶都会漏水，不仅存在安全隐患，还让学生们感到沮丧。她多次向有关部门求助，但他们似乎宁愿学校关闭，尽管附近根本没有其他学校。
一位善良但谨慎的捐助者
为了挽救学校，桑亚尔夫人约见了一位年轻的实业家阿维什·多迪先生（Mr. Avish Dodi）。多迪先生刚在城郊开办了一家大型工厂，希望树立良好的公众形象。应桑亚尔夫人的邀请，他来到学校参观，并答应捐赠100,000印度卢比。但桑亚尔夫人并不满意，因为修补学校漏水的屋顶需要多得多的资金。
多迪先生：桑亚尔夫人，我直说吧。我不太赞成那种让孩子们把所有东西死记硬背，再原封不动地复述出来的教育方式。不过，我还是愿意捐赠100,000卢比。
拉尼娅·阿里老师
桑亚尔夫人深吸一口气，请校工去叫拉尼娅·阿里老师（Ms. Rania Ali）。这位年轻而充满热情的教师走了进来。阿里老师知道，孩子们对学习的兴趣至多只有一点点。她了解自己面临的挑战，却总能找到新方法吸引学生的注意。她以与学生建立联系、帮助他们学习为荣。校长也深知她的出色才能。
桑亚尔夫人：拉尼娅，多迪先生认为我们在这里训练的是只会学舌的鹦鹉，学生根本不理解所学的东西。你教几何的方法很有创意，能不能向他介绍一下？
多迪先生：你大概让学生把每条定理的证明都背下来。那并不代表他们理解了什么。
阿里老师停了一下，微笑着说：我的几何课学生会证明您错了。不过，这可是要让您花钱的。
多迪先生：什么意思？
阿里老师：您一定学过相似三角形和全等三角形，只是不知道还记得多少。我的学生上星期刚学过相似三角形。如果他们能利用这个概念证明勾股定理，您愿意捐多少？
多迪先生：他们能做出什么教科书里没有的东西？
阿里老师：如果您明天能陪我们一整天，学生们就可以一个接一个地向您展示不同的证明，绝不重复。不过，您要为此付出代价。第一个证明仍按100,000卢比捐赠；以后每多一个不同的证明，捐款就翻一番。我说过，这会让您花钱的。
多迪先生：我喜欢这个主意。如果他们真能做到，我就不断把捐款翻倍，不过最多不超过最初金额的100倍。明天上午九点，我们教室见。
阿里老师：请记得带支票簿。失陪了，我现在只有一个小时来准备，让学生们明天好好“抢劫”您一番！
阿里老师召集了几何班的所有学生，和他们讨论这件事。她告诉大家，如果成功，之后会举行一场盛大的庆祝会。塔欣（Taheen）十分兴奋，立刻想出了几种几何构造。阿里老师与学生们一起讨论如何寻找不同的证明方法，大家分组合作。当然，为了那场盛大的庆祝会，每个人都愿意努力！
第二天早晨
第二天早晨，多迪先生带着得意的笑容来到学校。他自己只学过勾股定理的一种证明，认为学生们不可能想出多少其他方法。第一个上场的是梅哈克（Mehak），她展示了多迪先生上学时学过的那个证明。他笑了。
可是，到午饭时，雷汉（Rehan）、拉贾布（Rajab）和阿丽莎（Arisha）已经分别展示了他从未见过的新证明。他十分佩服。孩子们不过是旋转、重新排列相似或全等的直角三角形，拼成不同的图形，再利用这些构造证明定理。这样一共出现了四种不同的证明。由于每增加一个证明捐款便翻倍，他需要捐赠800,000卢比。
午饭后，法特赫（Fateh）、费兰（Feran）、安雅（Anya）和塔欣也各自提出了新的证明。这样共有八名学生，每人展示了一种不同的证明。按照连续翻倍的规则，金额还会继续增长；但多迪先生事先规定了上限，即最初捐款的100倍。因此，他向学校开出了一张10,000,000卢比的支票。
学校不仅修好了屋顶，还剩下足够的钱举办盛大的庆祝会，并奖励那些作出贡献的学生。
挑战
下面列出了这个班提出的八种证明。请和班上的朋友一起研究。现在，证明你也能像这些学生一样聪明：独立思考，或者与朋友讨论，找出勾股定理的第九种证明。据说网上有180多种证明，但这项挑战是要你自己想出一种。说不定你还能发明一种全新的证明！自豪地把你的证明展示给父母吧。祝你好运！
向多迪先生展示的八种证明
勾股定理指出：在直角三角形中，斜边的平方等于另外两条直角边的平方之和。
1. 梅哈克的证明：加菲尔德总统的方法
梅哈克展示的是课堂上学过的证明，即美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德（James Garfield）于1876年提出的方法。
作图：设ABC为直角三角形，底边AB = a，高AC = b，斜边BC = c。
把AC延长到D，使CD = a（与底边相同）。从D作与CD垂直的线段DE，使DE = b。
因为三角形CDE与ABC全等，所以CE = c，且∠DCE = ∠ABC。于是∠BCE = 180° − ∠ACB − ∠DCE = 90°。因此三角形BCE也是直角三角形。
证明：梯形ABDE的面积 = 高 ×（上底 + 下底）/2 = (a+b)(a+b)/2。
梯形ABDE也由三个直角三角形ABC、CDE和BCE组成，因此面积为：
ab/2 + ab/2 + c2/2 = ab + c2/2。
所以 (a+b)(a+b)/2 = ab + c2/2，
(a+b)(a+b) = 2ab + c2，
a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2，
a2 + b2 = c2。
这就证明了勾股定理：底边的平方 + 高的平方 = 斜边的平方。
2. 雷汉：旋转四个全等直角三角形
作图：取一个直角三角形，两条直角边为a、b，斜边为c。
将这个三角形顺时针旋转90°，得到第二个三角形；再旋转得到第三个，继续旋转得到第四个。也就是说，原三角形分别旋转了90°、180°和270°。
把四个三角形排列起来，使它们围成一个边长为c的大正方形，内部留下一个边长为|a−b|的小正方形。
证明：大正方形面积为c2；内部小正方形面积为(a−b)2。每个直角三角形面积为ab/2，四个合计2ab。
因此，大正方形的面积等于四个三角形与内部小正方形的面积之和：
c2 = (a−b)2 + 2ab
= a2 + b2 − 2ab + 2ab。
所以 c2 = a2 + b2。
3. 拉贾布：同样旋转四个三角形，却采用不同的排列方式
作图：画一个底边为a、高为b、斜边为c的直角三角形。
将原三角形分别旋转90°、180°和270°，得到另外三个全等三角形。把它们排列成一个边长为a+b的外部正方形，中间留下一个边长为c的正方形。
证明：外部正方形面积为(a+b)2，也等于内部正方形面积c2与四个三角形面积4 × ab/2 = 2ab之和。
(a+b)2 = c2 + 2ab
a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2。
4. 阿丽莎：从直角顶点向斜边作垂线
作图：画直角三角形ABC，使∠CAB = 90°。
从A点向斜边BC作垂线AD。
证明：在三角形ABC中，∠CAB = 90°，所以∠ACB + ∠CBA = 90°。
在三角形ADC中，∠ADC = 90°，而∠ACB是它与原三角形共有的角。因此∠CAD = ∠ABD，三角形CAB与ADC相似。同样，三角形ABD也与它们相似。
因此 AB/BC = BD/AB ……（1）
以及 AC/BC = DC/AC ……（2）
将式（1）两边乘以AB·BC：
AB2 = BC·BD ……（3）
同理，由式（2）得到：
AC2 = BC·DC ……（4）
将式（3）和式（4）相加：
AB2 + AC2 = BC·BD + BC·DC
= BC(BD + DC)。
因为BD + DC = BC（见图），所以：
AB2 + AC2 = BC·BC。
AB2 + AC2 = BC2。
5. 法特赫：在原直角三角形左侧作一个相似三角形
作图：画三角形ABC，使∠CAB = 90°。
延长CA至D，画出与ABC相似的三角形ABD，使∠DAB = 90°，∠ADB = ∠ABC，∠ABD = ∠ACB。于是较大的三角形DBC也与ABC相似。
证明：根据相似三角形的对应边成比例：
AD/AB = AB/AC，故 AD = AB2/AC。
BD/AB = BC/AC，故 BD = AB·BC/AC。
三角形DAB与ABC的面积之和等于三角形DBC的面积。
三角形ABD面积 = AB·AD/2 = (AB2/AC)·AB/2。
三角形ABC面积 = AB·AC/2。
三角形DBC面积 = (AD+AC)·AB/2，也可写成BD·BC/2。
因此：
AD·AB + AC·AB = BD·BC。
代入BD = AB·BC/AC：
AD·AB + AC·AB = (AB·BC/AC)·BC。
再代入AD = AB2/AC：
AB·AB2/AC + AC·AB = BC2·AB/AC。
两边同时除以AB/AC，得到：
AB2 + AC2 = BC2。
6. 费兰：边长安排巧妙的相似直角三角形
作图：画直角三角形ABC，使斜边AC长cc（即c·c），直角边BC长ac，AB长bc。
再构造直角三角形ADB，使其斜边AB长bc，另外两边AD长ab、DB长bb。再构造直角三角形BCE，使其斜边BC长ac，另外两边BE长aa、CE长ab。
按图排列这些三角形，使它们组成矩形ADEC。
证明：矩形ADEC的一条边AC长cc，即c2；其对边DE长aa+bb，即a2+b2。
矩形的对边长度相等，因此：
c2 = a2 + b2。
7. 安雅：横向排列两个全等直角三角形
作图：设ABC与BED为两个全等的直角三角形，E点位于AB上。连接A、D，形成三角形ABD。
证明：用两种方法计算三角形ABD的面积：
面积(△ABD) = BD·AF/2 = AB·DE/2。
根据图中的符号：
c(c−x)/2 = b·b/2。
由三角形BFC与ABC相似（BD垂直于AC），可以求得x = CF：
x = a2/c。
代入面积等式：
c(c−a2/c)/2 = b2/2，
c(c−a2/c) = b2，
c2 − a2 = b2，
c2 = a2 + b2。
8. 塔欣：利用代数进行证明
作图：设ABC与DEF为两个全等的直角三角形，使B位于DE上，而A、F、C、E四点共线。
设BC = EF = a，AC = DF = b，斜边AB = DE = c。
显然，AB垂直于DE，因为∠ABE是直角。
证明：连接A与D，用两种不同的方法计算三角形ADE的面积。
第一步：求CE的长度。
根据相似三角形BCE与DFE：
CE/FE = BC/DF，
所以 CE = BC·FE/DF = a·a/b = a2/b。
第二步：用两种方法计算三角形ADE的面积。
以DE为底边：
面积(△ADE) = AB·DE/2 = c2/2 ……（1）
以AE为底边：
面积(△ADE) = DF·AE/2 = b·AE/2
= b(AC+CE)/2 = b(b+a2/b)/2 ……（2）
因为两种方法计算的是同一个三角形的面积，所以：
c2/2 = b(b+a2/b)/2，
c2 = b(b+a2/b)，
c2 = b2 + a2。
勾股定理得证。