萨拉与约翰尼的两年恋情
约翰尼出生在一个中上阶层家庭。他善于交际，穿着讲究。他有一个与众不同的爱好：各种各样的自行车。约翰尼十八个月大时，父母给他买了一辆幼儿三轮车。他爱极了。其他新玩具通常只能吸引他一小会儿，但这辆三轮车却让他爱不释手。他把它搬来搬去，骑着它跑遍家里的各个角落。一年多以后，他在玩具店看到了自行车，非常想要一辆。于是三岁生日那天，他得到了一辆带两个辅助轮的自行车。他给车贴上漂亮的贴纸，骑得到处都是，甚至坚持要骑到室外。于是父母允许他在后院骑车。又过了一年，他想拆掉辅助轮。父母告诉他必须戴头盔，他答应了。先拆掉一个辅助轮，几个星期后再拆掉另一个。七岁时，约翰尼有了下一辆自行车，骑着它走遍附近街区。因为他家位于一条尽头路上，父母才放心让他这样做。随着他长高，父母或祖父母每隔两三年就会送他一辆新车。他总是爱不释手。如今约翰尼已经上高中，对自行车及其新技术简直着了迷：制造自行车的先进材料、骑行中的运动学奥妙，以及车上各种新奇的装置和功能，都令他兴奋不已。
约翰尼还有一位女朋友，名叫萨拉。两人彼此相爱。萨拉的父母维杰和索尼娅都是软件工程师，从印度移居北美。起初生活艰难，但他们努力工作，终于安顿下来。萨拉基本上是由同住的外祖母（Nana）带大的。她聪明伶俐，身材苗条，留着齐肩长发，穿着得体而朴素。萨拉和约翰尼交往将近两年了。他们住在同一个社区，经常互相串门，大多数日子还一起步行上学。
约翰尼想买一辆新自行车，却没有钱
一天，约翰尼上网时看到一则自行车广告，觉得那辆车简直是为他量身打造的。想要归想要，可要拿出2800美元买下它，对他来说无异于做梦。
萨拉来找他时，约翰尼告诉了她这辆车和它的价格。
萨拉：这车是金子做的吗？怎么这么贵？
约翰尼：车架是坚固的钛合金，整辆车却很轻。它的空气动力学设计特别出色，还有许多先进的技术功能。它装有陀螺仪，可以告诉你车子转过了多少度。你看这个功能，甚至能计算你向南或向北走了多少米、向东或向西走了多少米。你还不明白吗？太神奇了！我太喜欢了。平时它要卖大约7000美元，现在打折只要2800美元。
萨拉：你有这么多钱吗？
约翰尼：没有，不过做做梦总可以吧？
萨拉：你问过你爸爸吗？
约翰尼的爸爸恰好就在附近，听到了萨拉的话。他问：“问我什么？”
约翰尼说：“没什么，爸爸。我们只是在谈这辆漂亮的自行车。我很喜欢，可它要2800美元。”
约翰尼以为这事就此结束了。没想到当晚爸爸对他说：“我跟你妈妈商量过这辆车了。我们可以买给你，但有一个条件：这学期你的平均成绩必须超过85%。如果达不到，暑假你就得打工，把买车的钱全部还给我们。把这当作鼓励你好好学习的动力吧。”
萨拉，你能帮我在三角学中拿到A吗？
约翰尼答应了爸爸的条件，尽管他过去的成绩并不太好。他觉得其他科目应该还过得去，但最担心的是三角学（Trig）。他的数学成绩一向平平，不过他知道萨拉是个数学高手。他不知道她究竟能帮自己多少。于是他把整件事告诉萨拉，然后说：“萨拉，你能帮我在三角学中拿到A吗？不然我可能得自己掏钱买车了。”
萨拉想起自行车上的种种技术功能，尤其是陀螺仪。她已经大致翻过他们的三角学课本，脑海里渐渐形成了一个计划。于是她说：“约翰尼，我爱你。我愿意为你做任何事，甚至能把你培养成三角学高手！”
约翰尼：三角学高手！我喜欢这个称号。
约翰尼和爸爸一起去买了那辆自行车。他觉得实物比想象中还要好，车上的各种功能也让他十分着迷。他打电话请萨拉过来。萨拉像往常一样穿着短袖T恤和裙子，可约翰尼觉得她今天格外迷人。她面带笑容，因为男朋友得到新车，她也由衷高兴。约翰尼兴奋地把自行车展示给她看。萨拉虽然不太懂自行车，却很高兴看到他如此快乐。
约翰尼：你为什么那么有把握，能让我成为三角学高手？
萨拉：到时候你就知道了。今天天气不错，我们去学校吧。你骑车，我在那里等你。
约翰尼：好，学校见。
圆形的学校建筑
萨拉为约翰尼画了这张图（图1.1）。学校建筑外有一条环形道路，可以骑车，也可以绕着学校步行。在学校内部，可以从正门一直走到后面，也就是从南向北穿过建筑；另有一条走道连接建筑的东端和西端。沿这些通道，从学校中心朝任一方向走到环形道路，距离都是100米。
萨拉和约翰尼来到建筑的东侧（见箭头）。约翰尼右手扶着自行车，左臂搂着萨拉的腰。他还能奢求什么呢？心爱的自行车和深爱的漂亮女友，都在身边。约翰尼将车上的行进距离和转动角度读数都归零。他们像一对小情侣一样慢慢走着。萨拉突然叫他停下，约翰尼有些惊讶。他看了看自行车：转过的角度已经达到45°；车上的仪表显示，他们向北移动了70.7米。随后萨拉步行回家，约翰尼则去骑车兜风。
后来，在约翰尼家里，萨拉在原来的图上画了几条线，标出他们的起点以及转过45°后的位置。她又画了一条线，把建筑中心A与他们当时所在的位置C连接起来。因为道路是圆形的，这条线同样长100米。接着，她从A朝箭头方向画出另一条线，再从C向这条线作垂线。这样，角BAC就是45°，角CBA则是90°。
萨拉在学校示意图上画了一个三角形
约翰尼：你为什么在原来的图上画了个三角形？
萨拉：三角学研究的就是三角形，确切地说，主要是直角三角形。约翰尼，你能看出我们从哪里出发、在哪里停下，以及45°的角BAC在哪里吗？
约翰尼：当然能。顺便说一句，角ACB也应该是45°，因为三角形的内角和是180°。这是我在几何课上学过的。这样它就是一个等腰三角形，AB和CB两条边相等。
萨拉亲了他一下，说：“约翰尼，你真是个天才！还记得几何课上学过的勾股定理吗？”
约翰尼：有点印象。我记得证明挺难的，而且它跟直角三角形有关。
萨拉：对。根据勾股定理，AC2 = AB2 + CB2 ，因为AC是直角三角形的斜边，AB和CB是另外两条边。
约翰尼：可我们刚才说过AB = CB。那么AC2 = 2AB2 = 2CB2。
萨拉：也就是说，AB = CB = AC/√2。记住AC = 100米，所以AB = CB = 100/√2，约等于70.7米。你向北移动了70.7米；向西移动的距离则是100减去70.7米，也就是29.3米。
约翰尼：哇！这正是我自行车上的实际读数。从学校东侧的起点算起，我向北走了70.7米，向西走了29.3米。
萨拉：这说明自行车的读数与我们的计算结果一致。
约翰尼：好吧，这些都很棒，可这里面到底哪里用到了三角学？
萨拉：三角学之于几何学，就像代数之于算术。
约翰尼：这是什么意思？
萨拉：对于一个直角三角形，若其中一个角是BAC（也就是角A），我们可以分别用几何语言和三角函数来表示这些比值：
几何中的比值 三角函数表示
高／斜边 正弦A（sin A）
底／斜边 余弦A（cos A）
高／底 正切A（tan A）
斜边／高 余割A（1/sin A，cosec A）
斜边／底 正割A（1/cos A，sec A）
底／高 余切A（1/tan A，cot A）
约翰尼：把这些比值换个写法，有什么了不起的？
萨拉：首先，我想看看你有没有认真听。tan 45°等于多少？
约翰尼：我们说过，在有一个45°角的直角三角形中，高和底相等，所以tan 45° = 1。
萨拉：天才！你正在成为三角学高手。好处在于，我们可以把几何关系写得更简洁、更容易理解，就像用代数能更方便地解决复杂的算术问题一样。
萨拉的手机响了。爸爸叫她回家吃晚饭。她吻别约翰尼，便离开了。
约翰尼拿出三角学课本，重新温习各种三角函数的含义。他越来越有信心，也更渴望继续学习。萨拉竟然利用他自行车上的那些小玩意儿（虽然他自己可不这么称呼它们！）教会他三角学，这让他印象深刻。他开心极了。
挑战题
挑战题：约翰尼和萨拉决定登上芒特埃奇特拉公园（Mountedge Terra Park）。从他们站的地方上去，有两条路：一条公路和一段台阶。萨拉想走台阶。平路与台阶都沿同一个方向延伸。路牌显示，她需要先在平地上走320米，再爬600级台阶，每级台阶的水平深度为30厘米，竖直高度为25厘米。约翰尼从同一起点沿公路骑车上去，与萨拉在山顶会合。当然，约翰尼快得多，萨拉到达时他已经在等她了。约翰尼问萨拉，他骑的那条公路坡度角是多少。萨拉刚爬完600级台阶，还气喘吁吁呢！你能替约翰尼算出来吗？
解答：萨拉的路线包括320米的水平步行路程，加上台阶带来的水平位移：30厘米 × 600 = 18000厘米 = 180米。因此，总水平位移为500米。台阶造成的竖直位移为25厘米 × 600 = 15000厘米，即150米。若公路通往同一终点，其倾角为x，则tan x = 竖直位移／水平位移。因此tan x = 150/500 = 0.3，公路的倾角为arctan 0.3 = 16.7°（由计算器求得）。
挑战题：开心果核桃小方酥
挑战题：乔的妈妈经营一家面包糕点店。店里卖一种美味的开心果核桃小方酥，每块一美元。虽然叫“小方酥”，成品其实是三角形。她先把糕点切成长50厘米、宽2.5厘米的长条，再把长条切成正方形，最后沿对角线切开，做成底边长2.5厘米、一个锐角为45°的直角三角形。这样，每条50厘米×2.5厘米的糕点能切出40块。最近原料涨价，利润下降了。乔的妈妈认为孩子们喜欢每块一美元的价格，不愿涨价，也不想改变配方或糕点的厚度。乔建议把50厘米长、2.5厘米宽的糕点条切成宽2.5厘米的长方形，再把每个长方形切成两个直角三角形，使其中一个锐角为41°，另一个为49°。这样既能切出更多块，造型或许还会更别致。
解答：见图10.1。糕点的厚度不变，宽度也保持不变。对于一个锐角为45°的直角三角形，其高为2.5 tan 45° = 2.5 × 1 = 2.5厘米。所以目前她把一条50厘米×2.5厘米的糕点切成20个正方形，再各切成两半，共得40块。按照乔的建议，将锐角改为41°后，每块三角形的高将是2.5 tan 41°，即2.5 × 0.869，约为2.173厘米。因此，他建议把50厘米×2.5厘米的糕点条切成长约2.173厘米、宽2.5厘米的长方形。50/2.173约为23，可以切出23个长方形；每个再切成两半，便可用同样多的原料做出46块，而不是原来的40块。我们该叫他“三角学大师乔”，还是“巧计大师乔”呢？
挑战题：三角函数
挑战题：证明：sin (90°- x) = cos x，tan (90°- x) = cot x，sec (90°- x) = cosec x，sin (90°- x) = cos x。
解答：三角形的内角和为180°。因此，对于直角三角形（图10.2），若角BAC = x，则角ACB = 90° – x。
sin (90° – x) = AB/AC = cos x。
tan (90° – x) = AB/BC = cot x。
sec (90° – x) = AC/BC = cosec x。
