积极进取的普丽娅
普丽娅一直是个积极进取的女孩。如今她16岁了，在妈妈珍娜经营的商店里帮忙。店里印制和销售带有各种图案的T恤，既为上门顾客制作，也接受团队的特别订单。普丽娅的工资略高于最低工资标准。由于她还在读高中，所以只在店里兼职。
普丽娅正在学习地理课。期末考试占课程总成绩的40%。老师允许全班同学选择完成一项地理项目来代替期末考试。普丽娅此前的成绩很低，觉得做项目可能更有利，因为她可以按照自己的进度完成。
普丽娅聪明的地理项目
普丽娅是个非常聪明的女孩。她向老师提议，研究“妈妈的T恤店的顾客来自哪里”。她觉得可以在上班时利用工作时间完成这个项目。妈妈希望研究能帮助改善生意，因此同意了。地理老师认为这个想法与地理课有一定关联，而且很有实际意义，于是批准了项目。
顾客在订购T恤时都会留下地址和电话号码，到了约定日期或之后再来取货。普丽娅找出店里过去两个月的记录，逐一查看顾客地址，并用笔记本电脑上的 Google 地图查询每个地址到商店的距离。她把这些距离记录下来作为数据，并将顾客分为三组：距离不到1公里、1至2公里，以及超过2公里。她发现，来自2公里以外的顾客非常少。于是她把这个结论写进项目报告。
老师说：“你可以做得更好，好得多。”
她请地理老师先看看报告，给些意见，但暂时不要评分。老师浏览后说：“你可以做得更好，好得多。”老师还说，由于这是独立完成的项目，她不应该向他寻求帮助。
可怜的普丽娅低着头坐在学校食堂里，满心困惑，不知道该怎么办。她的朋友凯特走了过来，但普丽娅一点也不想聊天。凯特是个好朋友，没有就此离开，而是坐在她旁边，问她为什么心情这么糟。
普丽娅：是我的地理项目。老师对它不满意。我可能会不及格。
凯特：让我看看你的报告。
普丽娅把报告交给凯特。凯特很快看了一遍，却也不知道怎样改进。普丽娅觉得自己没希望了。突然，凯特开口了。
凯特把普丽娅介绍给萨拉
凯特：那边有萨拉。你为什么不去和她谈谈？也许她能帮你。她可是个真正的高手。
普丽娅：首先，我不知道她有没有学过地理。其次，就算她能帮忙，为什么要帮我呢？她比我们高两个年级，根本不认识我。
凯特是个好朋友，并没有放弃。她有点坚持地说：她真的很聪明，而且喜欢挑战。再说了，找她谈谈又有什么损失呢？对她友善一点。我以前和她说过一次话。我来介绍你们认识。
凯特走到萨拉坐的地方，向她打招呼，然后坐下。普丽娅跟着凯特过去。
凯特：嗨，萨拉。我是凯特。我们以前见过一次，不知道你还记不记得我。这是我的朋友普丽娅。
萨拉：嗨，凯特，我记得你。很高兴认识你，普丽娅。
普丽娅：我听说过很多关于你的好事。学校里人人都知道你怎样帮助约翰尼学习三角学。
萨拉：是的，我帮过他。他是我的男朋友。这有什么问题吗？
普丽娅：我确实有个问题，但不是因为你聪明，也不是因为你帮助了男朋友。我很佩服你。我真希望自己也有一个像你这样聪明、能帮助我的朋友。
萨拉：你刚才说你有个问题。
凯特：我想她有个挑战要交给你。
普丽娅：是这样的，我确实遇到了困难，来找你是因为你很聪明。如果你觉得我不该来，我也能理解。你一定有很多事情要忙。
萨拉：先让我听听你的问题，再决定能不能帮你。
普丽娅向萨拉讲述了自己的地理项目，并把报告给她看。萨拉很快浏览了一遍。
萨拉：我知道怎样改进这个项目了
你说这是地理课的项目，那就应该加入一些真正的地理内容。你说你有顾客的地址。找一张当地地图，在上面标出你们的商店，再用小圆点标出每位顾客的位置。
普丽娅：谢谢，这个我很容易做到。
萨拉：你们的商店在哪里？
普丽娅告诉了她准确地址。
萨拉微笑着说：你想在这个项目中拿到 A+ 吗？
普丽娅：想啊！怎么做？
萨拉：先把标满圆点的地图带来，然后我再告诉你。
普丽娅：谢谢你，萨拉。我一定会做的。
一听说有机会拿到 A+，普丽娅高兴得不得了。她感谢好朋友凯特把自己介绍给萨拉。接下来的三天里，她努力工作，在当地地图上为每位顾客的地址标上一个圆点，并用方块标出商店的位置。随后她把标好的地图带给萨拉（图8.1）。
萨拉：现在是不是更像一个地理项目了？你的地图上连河流都有。你妈妈满意吗？
普丽娅：妈妈说，这张地图提供的信息比上一份报告多得多。河对岸几乎没有我们的顾客。
萨拉：上次你告诉我商店地址时，我就是因为这条河才笑的。如果你根据这张地图写报告，老师应该很容易给你 B+，甚至 A–。不过，要拿 A+，你还得学点新东西。自从上次谈话以后，我一直在想这件事。
普丽娅：我要学什么？
萨拉：我可以和你一起做，但即使内容变难，你也必须认真听。
普丽娅：我完全愿意。来吧！
萨拉打开笔记本电脑，找出一张飞镖靶的图片。
普丽娅：我需要学玩飞镖吗？我已经会了。
萨拉：不用，我们只是借飞镖靶来学习一些知识。
普丽娅：好吧，那我们从靶心开始吗？用飞镖击中那里可不容易。
萨拉：还记得数学课上学过的 X 轴和 Y 轴吗？两条轴相交的地方叫原点。
普丽娅：记得。我们要把靶心叫作原点吗？
萨拉：对，我们把内靶心看作原点。它周围有许多圆环。哪一个圆环离原点最近？
普丽娅：外靶心是最近的圆环。
萨拉：我们可以说，外靶心是半径最小的圆吗？
普丽娅：可以。下一个半径更大的圆环是三倍得分环。半径最大的是双倍得分环。
萨拉：很好。那么我们就可以以内靶心为原点，用半径来描述各个圆环的位置。
普丽娅：好吧，不过我觉得刚才已经这么做了。
萨拉：是的。但现在我要给你看一张插着飞镖的靶子。我把靶上的得分数字去掉了。现在告诉我，飞镖尖端在哪里？
普丽娅：它在内靶心正上方的外环上。
萨拉：完全正确。你已经告诉我飞镖的位置了。如果我们再标出东、西、南、北，你就能更精确地描述它的位置。
普丽娅：是的。现在我可以说，飞镖尖端在内靶心的正北方。
萨拉：如果我把飞镖插在一个不完全对应这些方向、而是位于其他角度的地方，你就更难告诉我它的位置了。
普丽娅：我们不能标出不同的角度，让这件事变得容易些吗？
带有极坐标的方格纸
萨拉：当然可以。你刚才提出的，其实就是使用极坐标方格纸。
普丽娅：是吗？我甚至不知道极坐标是什么。
萨拉：极坐标用一个点到原点的距离，以及这个点所在的角度来表示位置。角度从东方的0°开始，向北是90°，向西是180°，向南是270°。
普丽娅：真有意思！如果飞镖落在这张图上的任何位置，我都能准确说出它在哪里——离原点有多远，角度是多少。
萨拉：飞镖的坐标可以写成 (r, θ)，其中 r 是到原点的距离，θ 是角度位置。在书中，你也会看到用“模”（modulus）表示 r，用“辐角”（argument）表示 θ。
普丽娅：极坐标比我们在几何课上学过的普通 x、y 直角坐标（笛卡尔坐标）有什么特别的好处？它们能相互转换吗？
萨拉：两种坐标各有用途。极坐标在地理中也有应用，因为地球在某种程度上像一个球体。它们还用于导航、雷达，以及其他需要研究曲线的场合。是的，利用三角学，可以把直角坐标转换成极坐标，也可以把极坐标转换成直角坐标。
用极坐标表示普丽娅的地图
现在先来提高你的项目成绩。我希望你在之前给我看的地图上叠加极坐标网格，并把商店放在原点。
普丽娅：从这张极坐标地图上，我看到大多数顾客来自 θ = 90° 到 360° 的区域，而360°在图上也标为0°。来自 θ = 0° 到 90° 的顾客非常少。在 θ = 90° 到 360° 的区域内，附近的顾客较多，远处的顾客较少。我不知道怎样把后面这一点说得更好。
萨拉：关于第二点，你可以说：“距离与顾客人数之间存在反向关系。”现在我们还需要解释，为什么 θ = 0° 到 90° 的区域顾客这么少。这是因为商店附近的那个方向有一条河。如果你们可以搬迁商店，你觉得搬到哪里最好？
根据研究提出建议
普丽娅：我觉得最好的位置是在桥附近，但仍然位于河的这一边。这样，我们现有的顾客仍然离商店很近，会继续光顾，而河对岸也可能有更多顾客过来。如果有可能，而且我们负担得起，我觉得那会是个很好的位置。
萨拉：现在把所有观察结果和建议写进报告。对了，你的报告准备叫什么题目？
普丽娅想了一会儿，说：“地理因素对企业经营成功的影响。”
普丽娅根据与萨拉讨论的内容重写了报告。她把报告交给地理老师，也给了妈妈一份。
普丽娅的报告得了100分！她非常高兴。这是她第一次在任何作业或考试中得到满分。妈妈也很高兴看到她完成了这么出色的工作。普丽娅确实提出了一条改善生意的建议。
普丽娅去找萨拉，把自己得了满分的好消息告诉她，并感谢她的所有帮助。为了表示谢意，妈妈让普丽娅送给萨拉两张T恤兑换券：也许一张给萨拉，另一张给她的男朋友。
萨拉：谢谢，不过你们真的不用这样。我很喜欢和你一起研究这个项目。正因为如此，我自己也学到了极坐标的知识。普丽娅向新朋友道别后离开了。
挑战
挑战：普丽娅告诉14岁的弟弟乔加，自己如何利用极坐标在地理作业中得了100分。乔加对普丽娅说：“谢谢你给我的主意，我也可以用它。”乔加本来应该去修剪草坪，于是他来到院子里。在院子中央，他把一根半径为7厘米的大木桩钉进地里。他把绳子的另一端拉直，系在一台割草机上。这时割草机距离木桩中心8米。启动割草机的自动运行模式后，割草机开始绕着木桩移动，绳子也开始缠绕在木桩上。然后乔加叫来普丽娅，说：“看，这就是极坐标。现在请你画出割草机走过的路线。”你认为普丽娅画出的图形是什么样的？
解答：木桩的半径 (r) 为7厘米。圆的周长为2πr，取 π 约为22/7。木桩的周长约为7 × 2 × 22/7，即44厘米。开始时，割草机距离木桩8米。割草时，它不能向外离开，而是试图绕木桩画圆；每绕一圈，绳子就会在木桩上缠绕44厘米。因此，每转过2π弧度，绳子的长度就减少2πr。如果角度 θ 以弧度为单位，这条路线是一条螺旋线，其方程为：
r = 800 – 7 θ 厘米。下图展示了 θ 从0到30π弧度时的路线，也就是螺旋线的15圈。
