萨拉：谢谢你，娜娜。是我八年级时认识的奥利维亚·桑切斯吗？
娜娜：是的。我告诉她星期六上午可以过来。我会为她准备好萨莫萨（samosas，印度三角馅饼）。她以前特别喜欢吃。
萨拉：没错，她非常喜欢。你知道吗？她把萨莫萨叫作“印度恩潘纳达”（Indian empanadas）。我星期六一定待在家里，如果她愿意，我们可以一起度过一整天。
奥利维亚如约而至。和预料的一样，她长高了一点，但变化并不大。她仍然身材娇小，活蹦乱跳，像以前一样活泼健谈。两位朋友见面后都非常高兴。她们一起回忆往事，仿佛昨天还在一起。她们有许多关于初中同学的回忆可以分享，也想知道那些男生女生现在在哪里、在做什么、正在和谁约会。当然，作为十几岁的少女，她们也很喜欢谈论男孩子。奥利维亚有几个男性朋友，但没有一个是她认为适合做男朋友的。听说萨拉已经找到了约翰尼，她非常兴奋。
奥利维亚：你和约翰尼是怎么认识的？
萨拉：他住在附近，每天骑自行车上学。他在上学路上见过我几次，后来就下车和我一起走。之后我们又在学校食堂碰面。就这样，事情慢慢发展起来，现在我们总是一起步行上学。我想，他大概是看上我了吧。
奥利维亚：他长得帅吗？
萨拉：对了，我还没见过你的新学校呢。离这里有多远？
奥利维亚：不到三公里。不过，你还没有回答我关于约翰尼的问题呢。
萨拉：我没回答，是因为这个问题太傻了。这样吧，我想去看看你的新学校。我们可以走过去，再走回来。我问问约翰尼愿不愿意一起去。这样你就能见到他，自己回答刚才的问题了。
萨拉给约翰尼打了电话。约翰尼非常乐意和她们一起散步。三个人一起走向奥利维亚的学校。当然，约翰尼带上了他那辆装有各种新奇设备的新自行车。学校大约三公里远，这段路让两个女孩有更多时间聊天、互相了解近况。
奥利维亚的学校是三角形的
到达奥利维亚的学校后，萨拉和约翰尼对校舍的形状感到十分惊讶。萨拉和约翰尼的高中是一座圆形建筑，而这所学校的底部平面却是三角形的。学校正面沿东西方向延伸，左侧墙壁呈一定角度，而右侧非常狭窄，几乎没有侧墙。
萨拉：这所学校有多大？我是说，它的面积是多少？
奥利维亚：我不知道。我从来没想过这个问题。
约翰尼顿时兴奋起来。他为自己的自行车找到了一个新项目——测量学校的面积。他把这个想法告诉了萨拉和奥利维亚。
奥利维亚：可是你没法测量学校后墙的长度。那里有一道围栏，挡住了通往后面的道路。围栏另一边是一家大公司，公司的大门装有严格的安全锁。
萨拉露出了胸有成竹的微笑
萨拉微微一笑，仿佛已经知道了解决办法。她告诉奥利维亚不用担心。约翰尼利用自行车测得学校前墙长100米。他还测出前墙与侧墙之间的夹角为105°，侧墙长70米。由于各种限制，他认为只能测量这些数据，但萨拉告诉他，这些已经足够了。因为当天是星期六，学校锁着门，他们无法进去，于是决定步行返回萨拉家。一路上，萨拉和奥利维亚继续聊天。毕竟，两年没见，她们有太多事情要聊。约翰尼对她们的谈话并不太感兴趣，不过他有自己的自行车可以研究，也很开心。
三个人回到萨拉家。娜娜当然已经为他们准备好了萨莫萨。大家正津津有味地吃着点心，奥利维亚突然问起，他们究竟该怎样计算学校的面积。
约翰尼画出了这张图（图5.1），然后说：学校的底部是一个三角形，前墙长100米，侧墙长70米，两墙之间的夹角为105°。萨拉，接下来怎么办？你说过，这些信息已经足够了。
萨拉稍微修改了约翰尼的图
萨拉：我们把你的图稍微修改一下。首先给各点标上字母。AB是学校的前墙，AC是侧墙，BC是后墙。角BAC为105°。我准备画一条假想线，把前墙延长到D点，再从C点画一条垂线，与延长线交于D，使角ADC为90°（图5.2）。
萨拉刚画出这些虚线，约翰尼就插话了：现在问题很简单了！根据这张图，我们既可以算出后墙的长度，也可以算出学校的面积。
奥利维亚：我也这么认为。角DAC等于75°，因为它与105°的角BAC互为补角。利用三角形的边长，我们可以写出：
CD/CA = sin 75°，DA/CA = cos 75°。那么sin 75°和cos 75°分别是多少呢？
约翰尼：sin 75° = 0.9659，cos 75° = 0.2588。因此，CD = 0.9659 × CA = 0.9659 × 70 = 67.61米；DA = 0.2588 × CA = 0.2588 × 70 = 18.12米。
奥利维亚：真巧妙！现在我们有两个直角三角形。一个是学校左侧的三角形DAC，高67.61米，底边18.12米。另一个是较大的三角形DBC，高度相同，但底边长为100 + 18.12 = 118.12米。
学校的尺寸
萨拉：你们还记得吗？任何三角形的面积都等于底乘高再除以2。
约翰尼：当然记得，我在几何课上学过。因此，学校建筑的面积是67.61 × 100 ÷ 2，也就是3380.5平方米。这样面积就算出来了。奥利维亚，我早就告诉过你，萨拉会帮我们解决问题。现在，后墙的长度怎么办？
奥利维亚：那很简单。还记得几何课上学过的勾股定理吗？
约翰尼：我记得！而且两周前萨拉还提醒过我。公式是：
斜边2 = 底边2 + 高2。
对于三角形DBC：
BC2 = DB2 + DC2
BC2 = 118.122 + 67.612
BC ≈ 136.1米。
所以，学校后墙的长度约为136.1米。
奥利维亚：我太高兴了，真想跳起来！我要去校长办公室，申请把这些墙壁的长度贴在学校公告栏上。希望你们不介意。我一定会把功劳归给你们。
约翰尼：请不要提我们的名字。别人会奇怪，为什么外校学生跑来测量你们学校的尺寸。再说，我不过是想用自行车找点乐子。好了，我得回家了，妈妈一定在等我。
萨拉：奥利维亚，其实计算都是你们做的。即使我们不在这里，你自己也能算出来。我只是画了几条虚线。约翰尼说得对，不用提我们的名字。不过，在你告诉学校其他人之前，还有一件事应该做。
奥利维亚：什么事？
萨拉：如果数学老师问你，为什么只给出一个角度，而不是全部三个角，你准备怎么回答？
奥利维亚：因为我们只测量了一个角。
求出全部三个角
萨拉拿出三角学课本，向奥利维亚展示怎样求出这个三角形的所有角。奥利维亚睁大眼睛读着，似乎不敢相信仅凭这些信息就能求出另外两个角。
她读出了一个叫作正弦定理（Law of Sines）的公式：
sin A/a = sin B/b = sin C/c
然后她画出了下面这张图。在图中，角A为约翰尼测量得到的105°，与它相对的边a约为136.1米。
因为sin A = sin 105° = 0.9659，所以：
sin A/a = 0.9659/136.1 ≈ 0.007097。
因此，sin B/b和sin C/c也都等于约0.007097。
因为边b = 70米：
sin B = 0.007097 × 70 = 0.4968，
所以角B ≈ 29.8°。
因为边c = 100米：
sin C = 0.007097 × 100 = 0.7097，
所以角C ≈ 45.2°。
检验一下：105° + 29.8° + 45.2° = 180°。三角形的内角和正好是180°，所以计算结果是正确的。
奥利维亚：谢谢你，萨拉。现在我要在学校公告栏上贴一张说明，列出学校三面墙的长度和三个角的大小。
萨拉：好啦，这些问题都解决了。可是你还没有告诉我，你觉得约翰尼怎么样？
奥利维亚：别让我嫉妒你了！他长得帅，又聪明，而且很爱你。我真希望自己也有一个像他这样的男朋友。
后来，奥利维亚见到了校长，并请求允许她张贴一份关于学校建筑的数学发现。校长让她先请数学老师核实这些信息。她照做了，然后写了一份说明，介绍学校钝角三角形的形状、墙壁的长度、墙壁之间的夹角，以及建筑物的面积。奥利维亚受到了同学们的称赞。一些同学很好奇她是怎样求出这些数据的，她便把整个计算过程告诉了他们。当然，只有她最亲密的朋友才知道她去萨拉家做客的经过，以及萨拉那位帅气男朋友的故事。
挑战
挑战：由于约翰尼上学期在学校表现非常出色，父母送给他一架带遥控器的无人机。他想试飞，于是邀请萨拉和他一起去公园。萨拉当然答应了，因为她很喜欢和约翰尼待在一起。她还带上了爸爸的六分仪。
约翰尼操纵无人机，让它停在空中的某个位置，然后对坐在身旁的萨拉说：“我想知道无人机离我们有多远。”
萨拉测量发现，从她所在的位置观察，无人机的仰角为45°。她朝无人机的方向向前走了大约20米，再次测量时，仰角变成了60°。她还需要继续向前走，才能到达无人机的正下方。
根据这些信息，萨拉告诉约翰尼无人机离他有多远。你能想出这个聪明女孩是怎样计算的吗？
解答：
我们画一个三角形：萨拉的第一个位置为A，向前走20米后的第二个位置为B，无人机的位置为C（图10.5）。将直线AB向前延长至D。
已知：AB = 20米，角CAB = 45°，角CBD = 60°。（注意，萨拉还需要继续向D点方向走，才能到达无人机的正下方。）
在三角形ABC中：
角A = 45°。
角B = 180° − 60° = 120°（因为这两个角互为补角）。
角C = 180° − 45° − 120° = 15°（三角形的内角和为180°）。
根据正弦定理：
sin A/a = sin B/b = sin C/c。
与角B相对的边为b，即AC；与角C相对的边为c，即AB = 20米。
由正弦定理可得：
sin B/b = sin C/c
sin 120°/b = sin 15°/20
0.866/b = 0.259/20
b/0.866 = 20/0.259
b = 0.866 × 20/0.259 ≈ 66.9米。
因此，约翰尼的无人机距离他大约66.9米。