约翰·鲍尔老师走进三角学课堂……满面笑容
约翰·鲍尔老师走进三角学课堂，看上去非常高兴。一些学生立刻察觉到，鲍尔老师一定又有什么新花样。他们知道老师喜欢给大家出难题；他如此开心，准是想出了一个棘手的挑战。
鲍尔老师对全班说：“今天我们不讲新课，而是解决一道有趣的问题。大家可以合作。你们坐成三排，每排组成一个小组。你们有20分钟来解决这道题。”
问题：运用三角学知识求出 π 的值。
大多数学生都惊呆了。鲍尔老师为什么要这样“折磨”他们？老师从未在课堂上讲过这类问题，大家完全不知道从哪里入手。他们只记得一些三角函数的定义和背过的几个恒等式。做过的练习题里也从来没有这样的题目。学生们面面相觑，希望别人能想出办法。
20分钟过去后，老师请第一排的学生回答。他们说：“鲍尔老师，我们还没有学过这个内容。”
第二排有一名学生自豪地说：“我们知道，−1 的反余弦（也叫 arccos）等于 π 弧度。我们用计算器算出 arccos(−1) = 3.14159265359，所以 π ≈ 3.14159265359。”
鲍尔老师有些失望，因为这几乎和直接上网查 π 的数值没什么区别，但他还是说：“努力得不错。”
接着他转向第三组，问萨拉：“我希望你们组的办法比这更好。”
萨拉说他们确实有更好的办法，于是老师请她到黑板前解释。
萨拉：其实，这全要归功于汤米的天才想法。
汤米说他饿了，真想吃一块夏威夷披萨。这句话给了我们重要的启发。我们简单讨论了一下，最后认为：圆可以看作一个有无限多条边的多边形，就像一张巨大的披萨，可以切成无数小块。汤米倒是更关心披萨上的菠萝和火腿。我们只好叫他安静一点，否则一块也不给他吃。
为了解决这个问题，我们决定先从切成6块的披萨入手（图7.1）。我们先观察其中一块。它从披萨中心 A 点向外延伸。我们画出线段 BC，把这一块披萨外侧的两个角连接起来。这样就得到了三角形 ABC。至于线段 BC 与披萨圆弧之间那一小块食物，我们暂时不去管它。大家争论了一会儿，决定稍后再考虑。
我们从 A 点向 BC 画一条垂直的虚线 AD。AD 是正六边形的边心距，也就是从中心到一条边中点的距离。我们设 AD = r。随着边数增加，边心距会逐渐趋近于披萨的半径。
中心角 BAC = 360°/6 = 60°，因为六块披萨在中心的角度总和为360°。角 BAD 是它的一半，即30°。由于三角形 ABC 是等腰三角形，BD = DC。我们设 BD = L/2，也就是底边 BC 长度的一半。
于是 (L/2)/r = tan(BAD) = tan 30° = 0.57735。
三角形 ABC 的面积 = r × L/2 = 0.57735 r2。
但是整张披萨包含六个这样的三角形。因此，六边形的面积 = 6 × 0.57735 r2 = 3.4641 r2。由于半径为 r 的圆面积是 πr2，我们得到 π 的初步估计值：π ≈ 3.4641。这个估计值偏大，因为边心距为 r 的六边形会伸出半径为 r 的圆之外。
把披萨的切片数量加倍
请记住，我们的出发点是：圆可以看作一个有无限多条边的多边形。接下来，我们用同样的方法研究切成12块的披萨（图7.2）。汤米又不高兴了，因为每块披萨会变小。我们告诉他，可以做一张更大的披萨，再切成12等份。汤米这才满意。我们像研究6块披萨时那样，连接披萨中心与每块的外侧端点，画出三角形，并从 A 点画一条类似的垂线。
这里 BD/AD = (L/2)/r = tan(360°/(12 × 2)) = tan 15° = 0.26795。
因此，三角形 ABC 的面积
= 0.26795 r2。
披萨中正十二边形的面积
= 12 × 0.26795 r2 = 3.2154 r2。
这给出了 π 的新估计值 π ≈ 3.2154，比6块披萨得到的3.4641更小。
我们发现，6块和12块披萨对应的多边形都遵循同一个公式。一个三角形 ABC 的面积 = tan(180°/n) × r2；整个正多边形的面积 = n × tan(180°/n) × r2，其中 n 为边数，r 为边心距。随着 n 增加，多边形逐渐趋近于半径为 r 的圆。
切成100块的披萨
接下来，我们想到一张切成100块的披萨。汤米再次反对，因为每块太小，他还是会饿。我们让他放心：这张披萨可以做得非常大，差不多有整间教室那么大。
根据同一个公式，披萨中正100边形的面积为：
100 × tan(360°/200) × r2 = 100 × 0.03142626604 r2 = 3.142626604 r2。这个数值又比前面两个估计值略小。
对于正10,000边形，面积约为 10,000 × 0.000314159276 r2 = 3.14159276 r2。各张披萨对应的面积分别为：3.4641 r2（6块）、3.2154 r2（12块）、3.142626604 r2（100块）、3.14159276 r2（10,000块）。我们本来还可以继续计算，但20分钟已经到了。
由于圆的面积是 πr2，而我们计算的正10,000边形面积约为 3.14159276 r2，因此得出 π ≈ 3.14159276。
鲍尔老师对这个答案非常兴奋。
他告诉全班，这个方法非常精彩，但并不是唯一的方法。他接着说，虽然大家最初是通过直角三角形学习三角学的，现在应该知道，三角学也可以应用于各种三角形和多边形。他鼓励大家进一步探索三角学在四边形和多面体中的应用，并布置了几道三角学课本上的习题作为作业。
到了这时，约翰尼已经深深体会到三角学的奇妙之处，这也多亏了他深爱的女朋友萨拉的帮助。他满怀信心地参加期末考试，最终这门课取得了99%的总成绩。由于他所有课程的平均分远高于85%，这个成绩帮助他保住了那辆自行车。萨拉把这个故事讲给她非常爱的娜娜（奶奶）听。娜娜说：“我一点也不惊讶，因为你就是萨拉斯瓦蒂——知识女神。萨拉不过是你的昵称。”
挑战
挑战：约翰尼参加一次自行车骑行活动。萨拉问他：“这次骑行有多长？”约翰尼回答：“我不知道。不过按地图，我们先向西骑20公里，然后转上一条与第一段道路构成70°内角的路，骑18公里；接着转上一条与第二段道路构成110°内角的路，再骑15公里。最后沿一条直路返回起点。”萨拉说：“这样，路线就形成了一个梯形。”你能算出这次骑行的总路程吗？
解答：我们画出四边形 ABCD（图10.6）。已知 AB = 20公里，BC = 18公里，CD = 15公里，∠ABC = 70°，∠BCD = 110°。因为 ∠ABC + ∠BCD = 180°，所以 AB 与 CD 平行，四边形 ABCD 是梯形。骑行总距离是四条边的长度之和。AB、BC、CD 已知，我们需要求出 DA。
画两条垂线：从 C 点向 AB 作 CE，从 A 点向 CD 作 AF。
在三角形 EBC 中，∠EBC = ∠ABC = 70°。
因此 CE/BC = sin 70°，所以 CE = BC sin 70° = 18 × sin 70° ≈ 16.9145公里。
BE/BC = cos 70°，所以 BE = BC cos 70° = 18 × cos 70° ≈ 6.1564公里。
AE = AB − BE = 20 − 6.1564 ≈ 13.8436公里。
因为 AB 与 CD 平行，而 CE 和 AF 都垂直于这两条平行线，所以 CE 与 AF 也平行。
因此 AF = CE ≈ 16.9145公里。
并且 CF = EA ≈ 13.8436公里。
已知 CD = 15公里，因此 FD = 15 − 13.8436 ≈ 1.1564公里。
因为 AF 垂直于 CD，所以三角形 AFD 是直角三角形。根据勾股定理：
DA2 = AF2 + FD2 ≈ 16.91452 + 1.15642，因此 DA ≈ 16.954公里。
所以骑行路线总长度 = 20 + 18 + 15 + 16.954 ≈ 69.954公里。