वैदिक रेखागणित

आर्य समाज की स्थापना 1875 में स्वामी दयानंद सरस्वती ने वैदिक ज्ञान के प्रसार के लिए भारत में एक आंदोलन के रूप में की थी । इस लक्ष्य की ओर, उनोने कई शिक्षण संस्थान शुरू किए जिन्हें गुरुकुल कहा जाता है । कोई भी अच्छा काम दंडित हुए बिना नहीं रहता है । 1983 में संस्थापक की हत्या कर दी गई थी (https://en.wikipedia.org/wiki/Arya_Samaj) । फिर भी, आर्य समाज, न केवल भारत में बल्कि, पूरे विश्व में फैल गया । कई शिक्षण केंद्र स्थापिक किए गए जिनका नाम अक्सर  डी ए वी (दयानंद आर्य वीर) से शुरू होता है । प्रारंभ में इस गणित कहानी के लेखक के रूप में, मैंने यू एस ए के एक काल्पनिक शहर में एक डीएवी संडे स्कूल बनाया । मेरे शोध ने बाद में दिखाया कि आर्य समाज यू एस ए और अन्य पश्चिमी देशों में कितना व्यापक था ।   कहानी अभी भी काल्पनिक है जिस मूल रूप में पहले लिखी गई थी ।

राजू साहू

राजू साहू टेक्सास के टिम्बेल शहर में रहने वाला एक 12 साल का लड़का था । वह अपने माता-पिता के साथ यहां आया था जब वह 2 साल का था क्योंकि उसके पिता और मां को यहां अच्छी नौकरी मिली थी । राजू ने अपनी पढ़ाई में उत्कृष्ट प्रदर्शन किया और अपने स्कूल और आस-पड़ोस में सभी को पसंद आया । वह अपने दोस्तों के साथ बेसबॉल भी खेलता था ।

डी ए वी संडे स्कूल

राजू के माता-पिता यह सुनिश्चित करना चाहते थे कि वह अपनी भारतीय संस्कृति को न भूलें – बॉलीवुड वाली नहीं बल्कि प्राचीन वैदिक संस्कृति । शहर में आर्य समाज के स्थानीय सदस्यों द्वारा संचालित डी ए वी संडे स्कूल नामक एक छोटा संडे स्कूल था, और राजू को हर हफ्ते वहां भेजा जाता था । आमतौर पर रविवार का स्कूल लगभग दो घंटे तक चलता था ।  आधे घंटे का एक व्याख्यान होता था, एक अनौपचारिक सत्र और एक यज्ञ जिसे हवन कहा जाता था । राजू इस बात से प्रभावित थे कि अंत में वक्ताओं का प्रश्न-उत्तर सत्र होता था । इसे शंका समाधान कहा जाता था । यह  मंदिर या चर्च में उपदेशों से अलग था जहां आपको उपदेशक से सवाल करने की अनुमति नहीं थी ।

मिस ज्ञान देवी की प्रस्तुति

इस रविवार, वैदिक ब्राह्मण परिवारों में यज्ञ की प्रथा पर मिस ज्ञान देवी की प्रस्तुति थी । एक घर में रस्सी के सिद्धांतों (सुलभ सूत्र) का उपयोग करके अच्छी तरह से डिजाइन किए गए त्रेता अग्नि यज्ञ उपकरण होते थे । इसमें तीन कुंड शामिल थे जो एक साथ जुड़े हुए थे ।   एक पुश्तैनी कुंड (गढ़ापत्य) था, एक कुंड जिसे अहवनिया कहा जाता था और तीसरा जिसे दक्षिण कहा जाता था।   एक कुंड वृत्त आकार का था, एक वर्ग के आकार का और तीसरा एक अर्धवृत्त का  । एक बाधा यह थी कि हर कुंड का क्षेत्रफल समान होना चाहिए । 
विविध उद्देश्यों के लिए विशेषज्ञ यज्ञों में विभिन्न आकृतियों की वेदियों का उपयोग करते थे । निम्न   तालिका में कुछ उदाहरण दिखाए गए हैं।

वेदी प्रकार	आकार	उद्देश्य
शियाना	बाज़	समृद्धि प्राप्ति
कांटा	सारस	मान प्राप्ति
अलाजा	अलाजा पक्षी	प्राधिकरण प्राप्ति
प्राग	त्रिभुज	शत्रु विनाश

 इन वेदियों  की जटिल रचना के लिए चौकोर, समकोण त्रिभुज और गोलाकार ईंटों से बनाया गया था। इसका मतलब यह है कि परकार न होने के बावजूद रेखा गणित को अच्छी तरह से विकसित किया जाना था। लंबाई माप के लिए उपलब्ध उपकरण थे छड़ी, रस्सी और तिल के बीज । 

शंका समाधान 

राजू प्रस्तुति से लगभग मंत्रमुग्ध हो गया लेकिन उसके पास कई सवाल थे ।

राजू: मिस, इतिहास में यह लगभग किस कालखंड का व्यवरण था ?

मिस ज्ञान देवी: वैदिक काल 1500 - 500 ईसा पूर्व से था लेकिन सुलभ सूत्र वाले ग्रंथ 800-600 ईसा पूर्व में बौधायन सूत्रों का भाग थे ।

राजू: पाइथागोरस प्रमेय या स्थिरांक पाई को जाने बिना वे यह सब कैसे कर सकते थे ?

मिस ज्ञान देवी: पाइथागोरस ने यह प्रमेय 500 ईसा पूर्व के आसपास दिया था लेकिन आर्यों को यह बहुत पहले से पता था। यहां वर्णित मंत्र है
दीर्घचतुरश्रश्याक्श्य ररु: पारश्र्वमानी तिर्य्ज्ज च यत् पर्थग् भूते कुरुस्तदुभयं करोति (विकर्ण की लंबाई के साथ खींची गई एक रस्सी एक ऐसा क्षेत्र बनाती है जो लंब और क्षैतिज पक्ष एक साथ बनाते हैं।)
आप और मैं इस बात पर चर्चा करेंगे कि वे एक वर्ग के समान क्षेत्रफल वाले एक वृत्त का निर्धारण कैसे करते थे और फिर आप इसे अगले रविवार को कक्षा में प्रस्तुत कर सकते हैं।

जवाब पाकर राजू खुश हो गया। बाद में, वह मिस ज्ञान देवी से मिले जिन्होंने उन्हें कुछ संदर्भ दिए (https://www.youtube.com/watch?v=s723-3hkUjA, https://en.wikipedia.org/wiki/Baudhayana_sutras), और उन्होंने तैयारी की सुलभसूत्र, वर्गों और वृत्तों पर निम्नलिखित प्रस्तुति।

राजू की प्रस्तुति

राजू : एक वर्ग ABCD बनाइए।   उद्देश्य सुलभ सूत्रों का उपयोग करके इस वर्ग के समान क्षेत्रफल वाले एक वृत्त का निर्माण करना है।

वर्ग के विकर्णों के रूप में AC और BD रेखाएँ खींचिए और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को कहें E । केंद्र E और आधी विकर्ण लंबाई त्रिज्या के साथ एक वृत्त खींचिए (चित्र देखें)। E से, एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचिए जो वर्ग रेखा CD को X पर और वृत्त को Y पर मिलती है। EY पर बिंदु Z को इस प्रकार चिह्नित करें कि YZ = 2 ZX  । केंद्र E और त्रिज्या EZ वाला एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त का क्षेत्रफल वही होगा जो वर्ग ABCD का है।

मिस ज्ञान देवी : राजू, अब अपने रेखा गणित के ज्ञान की सहायता से सिद्ध कीजिए कि EZ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल वर्ग ABCD के बराबर है।

राजू: मान लीजिए कि वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई 2a है। तब इसका क्षेत्रफल 4a होगा। वर्ग के आधे विकर्ण की लंबाई a√2 या 1.4142a होगी। तब लंबाई EY = 1.4142a और EX = a  । इसलिए EZ की लंबाई = (1 + 0.41142/3)a = 1.1381a । वर्ग के क्षेत्रफल की तुलना में 1.1381a = (1.1381a)2 = 4.069 a2 त्रिज्या वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल 4a2 है।

शंका समाधान 

वेणु (एक अन्य छात्र): तो वैदिक उत्तर केवल एक सन्निकटन है।
राजू : हाँ, लेकिन याद रखना कि पाई का मान भी ऐसा ही है। आप इसे एक लाख दशमलव स्थानों तक जान सकते हैं लेकिन फिर भी यह सटीक नहीं है । वैसे, इन गणनाओं में यदि वृत्त का क्षेत्रफल 4 और त्रिज्या 1.1381 हो, तो हम कहेंगे कि पाई का मान 3.1416 की तुलना में 3.088 होगा जैसा कि हम आज जानते हैं। याद रखें, ये गणना लगभग 2600 साल पहले की हैं।

चुनौती

एक वर्ग के समान क्षेत्रफल के साथ एक अर्धवृत्त बनाने के लिए वैदिक रेखा गणित सुलभ सूत्र विधि का विस्तार करें ।
हल: वर्ग ABCD से, विकर्ण AC को उसकी एक भुजा बनाकर एक वर्ग ACUV खींचिए । यदि ABCD का क्षेत्रफल 4a2 है, तो ACUV का क्षेत्रफल (a2√2)2 या 8a2 होगा। अब वर्ग ACUV के लिए राजू की विधि का उपयोग करने से लगभग 8a2 के क्षेत्रफल वाला एक वृत्त या 4a2 क्षेत्र का एक अर्धवृत्त प्राप्त होगा।