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阿光的自尊与荣誉
十一年级学生阿光（Kwong）独自坐在学校食堂里。从他的表情不难看出，他很生气，也很难过，也许两者都有。他的女朋友小君（Jun）看到他心烦意乱，便坐到他身边聊了起来。她几乎可以肯定，阿光的烦恼与克莱门汀老师（Ms. Clementine）课堂上发生的事有关。小君也知道，阿光的父母对他期望很高，管教也非常严格。
克莱门汀老师是一位非常优秀的数学教师，再过两年就要退休了。她也是一位纪律严明的老师。她不能容忍学生不尊重她，也不能容忍学生不尊重其他老师。她讲课时，许多学生却在使用智能手机。她严厉地要求他们把耳机从耳朵里取出来，并警告说，如果他们再在课堂上使用手机，就把他们送到副校长办公室。她还长篇大论地讲了一番，指出长时间使用手机可能会降低人的思考能力，进而影响学习成绩。虽然她是对全班讲话，阿光却觉得她只是在针对自己。
小君：嗨，阿光。你还在想着克莱门汀老师的事吗？
阿光：她怎么能这样？为什么偏偏针对我？
小君：别这么敏感。她是在对大家说话，不只是对你。阿光，别往心里去。
阿光：不，她就是针对我。她完全可以把我送到副校长办公室。如果我妈妈知道了，我就有麻烦了，可能连所有的自由和特权都会被取消。
小君：那就别告诉你妈妈。
班上又有几位同学围到了阿光和小君身边。
一位旁观的同学：阿光，今天克莱门汀老师可真是对你发火了。
小君对那位同学说：管好你自己的事吧。你在学校里的名声也没好到哪里去。走开。
接下来怎么办
约翰尼（Johnny）：阿光，对不起。当时我们大家只是坐在那里，没人敢质疑克莱门汀老师。她说的那些话没有提供任何证据，我们本来应该请她拿出证明。可我们都像狮子面前的一群鹿一样，吓得不敢出声。
阿光：可她为什么非要针对我？班里至少有十五个学生戴着耳机玩手机。
小君：约翰尼说得对。我们本来应该提出质疑。
阿光：她看上去那么生气。如果我敢对她的话提出任何疑问，她肯定会直接把我送到副校长办公室。一定会的！（他气得几乎要哭出来，说话也有些语无伦次。）
小君：那你打算怎么办？难道一辈子都这样抱怨下去？我父母教导我，要不惜一切努力挽回自己的荣誉。
阿光：什么叫不惜一切努力？我能做什么？
约翰尼：我有个主意，不过不知道你敢不敢试。
阿光：约翰尼，你又有主意了！我可不知道你的主意靠不靠谱。（停了一会儿）这次你想说什么？
约翰尼：我们可以不直接质疑克莱门汀老师，却用实际研究来检验她的说法。我们可以说，想研究智能手机的使用对学习成绩有什么影响。
阿光：约翰尼，这主意也许不错。你具体想怎么做？
科学展览会的项目提案
约翰尼：我们可以告诉她，我们想参加科学展览会，需要她指导。项目的题目就叫“智能手机使用与学习成绩之间的关系”。
阿光：这个项目要怎么做？
约翰尼：你在班里有很多朋友，包括小君和我。我们可以做一项调查。
阿光这时已经平静了一些，开始摆弄手机。突然，他灵光一闪，说：你们知道吗？我可以随时查看手机的使用记录，查出任意两个日期之间的总使用时间。
约翰尼：太好了。凡是有智能手机的人，应该都能查到上学期期末考试那个月的手机总使用时间。
小君：我们何不把班上的同学分组，看看谁认识谁，再分别去调查？我认识学校里许多十一年级学生，有些修读高阶数学，有些没有。我们在班里也都有朋友。这样能不能完成调查？
阿光：首先，我要去和克莱门汀老师谈谈。
约翰尼：好主意。否则她可能以为我们背着她做这件事，只是想让她难堪，那她就会生气了。
下一次有空课的时候，阿光去找克莱门汀老师。
阿光：克莱门汀老师，我为课堂上发生的事感到抱歉。我们决定用行动来弥补。小君、约翰尼和我准备做一个科学展览会项目，向您证明我们是认真学习的学生。
克莱门汀老师：科学展览会的报名和校内展示截止日期只剩一个星期了。你们怎么来得及准备？做过实验吗？和科学老师谈过吗？我也不确定能帮上什么忙。
阿光与老师交谈
阿光：克莱门汀老师，项目叫“智能手机使用与学习成绩之间的关系”。我们打算调查学校所有十一年级学生。我们有很多人一起做，应该很快就能完成调查。收集完初步数据以后，主要就是数学分析的问题了。我们希望您作为数学老师，能指导我们。
克莱门汀老师心情有些复杂，但她不能拒绝一位请求数学帮助的学生，于是答应了。
智能手机使用与学习成绩：调查
阿光回去找小君和约翰尼。他们发现，三个人加起来认识十一年级的每一位学生，于是分头联系朋友。他们告诉同学，这是一项非正式调查，目的是帮助阿光完成科学展览会项目，与学校无关。任何人的姓名或其他身份信息都不会出现在任何地方，包括阿光的研究报告中。他们还教同学如何查看手机使用记录。拿到数据后，同学们只需把手机使用时间和上学期的平均成绩一起用短信发给阿光。
多亏朋友们热心帮忙，加上智能手机技术的便利，阿光在四十八小时内就收到了全部175名学生的数据。他把数据传到笔记本电脑里。接下来该怎么处理呢？他把手机使用时间换算成每天使用的小时数，再按照每天使用时间从少到多排列数据，然后绘制成图表。他把图表传到手机上，约好第二天上学前与小君和约翰尼见面。
阿光在食堂见到了小君和约翰尼。约翰尼平时和女朋友萨拉（Sara）一起步行上学，所以萨拉也来了。萨拉告诉阿光，如果他们介意她在场，她可以离开。小君回答说，非常欢迎她一起看看他们正在做的研究。阿光也点头表示赞同。
阿光：我做了两张图。先给你们看我最兴奋的那一张。看我手机上这35名学生的数据图（图7.1）。图上显示，随着手机使用时间增加，学生的平均成绩也提高了。所以克莱门汀老师错了！（他说这话时显得颇为得意。）
小君：这会是一场很棒的科学展览会展示。所有学生都会很兴奋。
约翰尼：是的，平均成绩与手机使用程度之间确实存在明显的相关关系。
阿光：我忘了告诉你们，有一两个成绩特别高的学生没有显示在这张图上。
萨拉：我猜其中一个就是我。不过更有意思的是，这张图只有35名学生。约翰尼，你不是说阿光收集了全部175名学生的数据吗？
阿光：对，对。我说过做了两张图。如果我们只用这35名学生的数据参加科学展览会呢？
萨拉：这35名学生是随机抽取的吗？
阿光：不是。我按照手机使用时间从少到多排列了数据。这只是175人中的前35人。
约翰尼：把第二张图给我们看。只用前35人的数据写报告是不诚实的。这样可能使我们被取消参赛资格，甚至被学校开除。
小君：阿光，让我们看看全部数据。
二次函数关系
阿光：好吧，这是全部175名学生的数据图，包括三个离群值（图7.2）。这张图就没那么令人兴奋了。它先稍微上升，然后下降，一直往下降。
约翰尼：萨拉，我现在看见你了。你上学期的平均成绩是98%，属于离群值之一。
萨拉正摆弄着手机，可能没听见他们说话，但突然脱口而出：阿光，如果你想改善克莱门汀老师对你的看法，或者在科学展览会上取得好成绩，就必须分析这些数据。
阿光：你有什么建议？
萨拉：这些数据的形状可能有点像抛物线。我还不确定，但也许可以用二次函数来拟合。
阿光：那是什么？
萨拉：二次函数的一般形式是 y = ax2 + bx + c。我们还没有在课堂上学到，不过假期里我翻过课本。刚才你给我们看图的时候，我用手机上网搜索了一下。有个网站可以在线分析这些数据。你的手机里有原始数据吗？
阿光：没有，但数据在我的笔记本电脑里。我们该怎么分析？
萨拉：来，让我试试。先去掉离群值，把数据输入这个网站，然后点击“执行”。嘿！不到一秒钟就算出来了。数据拟合得到的方程是 y = -2.4x2 + 9.6x + 76.8。
阿光：谢谢你，萨拉。也许你应该加入我们的科学展览会团队。
萨拉：我还有很多事情要完成，所以不太确定。
小君：你可以当我们的顾问。我们还需要有人回答那些难题呢。拜托，加入我们吧！你负责指导，具体工作由我们三个来做。
萨拉：我会考虑的。不过现在我们该上课了。
阿光请求再和克莱门汀老师谈谈。
阿光：克莱门汀老师，我们已经完成调查，我也拿到了数据。
课堂上讨论调查数据
克莱门汀老师：你说过这个项目涉及数据分析。那就向全班介绍一下吧，也许有人能帮忙。
阿光对全班说：为了科学展览会项目，我们做了一项调查。你们都知道，因为大家都参与了。这张图显示的是上学期考试那个月的智能手机使用时间与上学期学习成绩之间的关系。大家可以看到，曲线先上升，达到最高点后又下降。萨拉给我介绍了一个可以计算这种关系的网站。数据符合二次函数 y = -2.4x2 + 9.6x + 76.8。感谢大家参与。目前我们得到的结果就是这些。
克莱门汀老师：我认为你们应该邀请萨拉参加科学展览会项目。萨拉，你愿意吗？
萨拉：愿意，克莱门汀老师。他们已经邀请过我，我正在考虑。如果您觉得这样对大家有好处，我很乐意加入。
科学展览会展示
阿光和团队为科学展览会制作了一张海报，并获得学校批准。海报展示了175名学生的调查数据图、数据拟合方程 y = -2.4x2 + 9.6x + 76.8、该方程的图像及其与 y = 0 对应的点，还有抛物线顶点的坐标。
下面是展示的标题和摘要。
“使用智能手机能提高学习成绩”
我们调查了本校175名十一年级学生，询问他们在上学期期末考试那个月使用智能手机的总时间，以及该学期的平均成绩。数据符合二次函数关系 y = -2.4x2 + 9.6x + 76.8。这表明，平均而言，当每天手机使用时间不超过两小时时，学习成绩随着使用时间增加而提高。平均成绩的最大增幅接近10%。然而，过度使用手机则会使成绩下降。
科学展览会结束后，克莱门汀老师问阿光进展如何，他们进行了下面的谈话。
阿光：很多其他学校的学生都来看我们的海报。我们的海报很受欢迎，还得了一个奖。不过评委们问了我们许多尖锐的问题。幸好萨拉在场，能回答这些问题。否则我们就招架不住了。
评委提出的问题
克莱门汀老师：我相信评委们是公正的，也是在履行职责。他们问了些什么？
阿光：他们提出的问题包括：
你们的数据既显示使用手机与成绩提高有关，也显示与成绩下降有关。为什么只强调提高？这难道不会误导别人吗？
你们的数据只涵盖一个月，也就是考试那个月。学校难道不是还会把整个学期的作业和期中测验成绩计入总成绩吗？
你们证明了成绩与手机使用时间之间存在关联。对此有什么合理的解释？
你们的标题是“使用智能手机能提高学习成绩”。成绩与手机使用时间存在相关性，就真的能证明因果关系吗？还是说这只是巧合？要证明标题中的观点成立，还需要做哪些实验？
如果出于伦理原因，不允许进行你们想做的实验，又该如何检验这一观点的有效性？
你们认为曲线顶点所对应的每天两小时适用于每一名学生吗？
你们是怎样确定离群值的？又如何解释这些离群值？
你们说，因为图像看上去是弯曲的，所以尝试用二次函数拟合。有没有试过三次函数或更高次多项式，看看是否能得到更好的拟合效果？
克莱门汀老师：很好。这说明评委们对你们的研究很感兴趣，也让你们为将来做好了准备。
免责声明
任何人都不应该把这里的数据当作决定适当手机使用时间的依据。这是一个虚构的故事。所有人物和数据都是编造的。设计这些数据的唯一目的，是解释二次方程的概念。各个 y 值先由方程 -2.4x2 + 9.6x + 76.8 计算得出，然后再给每个数据点加上一个介于 -5 和 5 之间的随机数。