华盛顿老师
华盛顿女士是邦斯沃思高中的数学老师。尽管工作充满挑战，她仍然热爱教学。这所学校的一个有趣特点是学生背景多样。必修数学课上有德尔文这样的学生：他是学校橄榄球队的明星，却对数学毫无兴趣。他大部分时间都在练球或健身房里度过。华盛顿老师必须让他相信自己也有能力学好数学。罗茜喜欢说闲话。亚历克斯觉得自己是有史以来最聪明的孩子，一有机会就炫耀。罗茜会告诉你，大家叫他“自作聪明的亚历克斯”（Smart Alec）。萨拉是数学天才，但从不爱出风头。她成绩优异，也深爱着男朋友约翰尼。
无论是德尔文、亚历克斯还是萨拉，华盛顿老师都会给他们提出挑战。她是怎样做到的呢？看看今天的课堂吧。她在黑板上写下这些数字，问道：“谁能把这些数字全部加起来？”
德尔文的方法
许多学生举起了手，但她点了德尔文的名字：“你来向大家演示一下怎样求和，好吗？”
德尔文：我可以用计算器吗？
华盛顿老师想了一会儿，答应了。
| ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | |
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| B | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
| C | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 |
| D | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 |
| E | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 |
| F | 32 | 64 | 96 | 128 | 160 | 192 | 224 |
| G | 64 | 128 | 192 | 256 | 320 | 384 | 448 |
德尔文还没拿出计算器，萨拉就已经在笔记本上写下了答案 3556。罗茜看到了，想把这件事告诉大家。
德尔文把数字一个一个输入计算器，越算越恼火，觉得工作量太大。十五分钟后，他终于在黑板上写出了答案 3556。
德尔文：华盛顿老师，这个答案对吗？
华盛顿老师点头表示正确。德尔文为自己能够完成这道求和题而感到自豪。
亚历克斯的方法
又有两名学生举手，他们是亚历克斯和罗茜。
华盛顿老师：亚历克斯，你想说什么？
亚历克斯：华盛顿老师，我可以算得快得多。
华盛顿老师：请讲。
| ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | 每行之和 | |
| A | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 28 |
| B | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 56 |
| C | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 112 |
| D | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 224 |
| E | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 448 |
| F | 32 | 64 | 96 | 128 | 160 | 192 | 224 | 896 |
| G | 64 | 128 | 192 | 256 | 320 | 384 | 448 | 1792 |
| 3556 |
亚历克斯：每一行的数字都构成一个等差数列。
A 行相邻两列的数字之差是 1，B 行是 2。对于等差数列：
一行的和 =（首项 + 末项）÷ 2 × 项数。
也可以写成：
一行的平均值 × 该行的项数。
每行的平均值就是中间第 ④ 列的数字。我把第 ④ 列的数字相加，得到 508，再乘以每行的项数 7，结果是 3556，与德尔文的答案一样。
华盛顿老师：谢谢你，亚历克斯。你想得很巧妙，也向大家介绍了等差数列：相邻两项的差保持不变。罗茜，你刚才也举手了。
罗茜：华盛顿老师，您刚写完数字，萨拉就在笔记本上写出了答案，比德尔文拿出计算器还早得多。我很好奇她是怎么算出来的。
萨拉走到黑板前
华盛顿老师：萨拉，你有什么妙招？到黑板前来给大家演示吧。
萨拉：亚历克斯指出，每一行的数字组成等差数列。
我还发现，B 行的数字都是 A 行对应数字的两倍。实际上，第 ① 列的数字依次是 1、2、4、8、16、32、64。相邻两行对应数字的比都是 2。因此，这些数字组成了等比数列。
对于等比数列：
和 = a(rn − 1)/(r − 1)，其中 a 是首项，r 是公比（这里为 2），n 是项数（这里为 7）。
所以第一列的和是 1 × (r7 − 1)/(r − 1)。
最后一行的第一个数是 r6 = 64，因此 r7 = 2 × 64 = 128，而 r7 − 1 = 127。如果结合亚历克斯的方法，我不必只看第 ① 列，而可以取：
a = 4 × 7 = 28，即第一行的和。
于是最终答案为 28 × 127 = 3556。
约翰尼：大家好！让我们为萨拉欢呼三声，感谢她教会我们什么是等比数列！
华盛顿老师：我很高兴大家都得到了相同的答案。谢谢亚历克斯和萨拉向全班介绍了等差数列与等比数列。
我希望你们回家后和家人谈谈《圣诞节的十二天》这首歌，并算一算送礼物的人总共要花多少钱。顺便说一句，你们还可以用萨拉教的方法展示一下自己的本领。作业纸放在桌上，拿一张回去，开心地做吧！
挑战题
《圣诞节的十二天》（略作修改；括号中给出每天新增礼物的费用）
圣诞节的第一天，我的真爱送给我：梨树上的一只鹧鸪（$100）。
圣诞节的第第二天，我的真爱送给我：两只斑鸠（$100），还有梨树上的一只鹧鸪。
圣诞节的第第三天，我的真爱送给我：三只法国母鸡（$200），还有两只斑鸠、梨树上的一只鹧鸪。
圣诞节的第第四天，我的真爱送给我：四只鸣叫的鸟（$400），还有三只法国母鸡、两只斑鸠、梨树上的一只鹧鸪。
圣诞节的第第五天，我的真爱送给我：五枚银戒指（$800），还有四只鸣叫的鸟、三只法国母鸡、两只斑鸠、梨树上的一只鹧鸪。
圣诞节的第第六天，我的真爱送给我：六只棕色鹅（$1,600），还有五枚银戒指、四只鸣叫的鸟、三只法国母鸡、两只斑鸠、梨树上的一只鹧鸪。
圣诞节的第第七天，我的真爱送给我：七只游泳的天鹅（$3,200），还有六只棕色鹅、五枚银戒指、四只鸣叫的鸟、三只法国母鸡、两只斑鸠、梨树上的一只鹧鸪。
圣诞节的第第八天，我的真爱送给我：八位打扫卫生的女仆（$6,400），还有七只游泳的天鹅、六只棕色鹅、五枚银戒指、四只鸣叫的鸟、三只法国母鸡、两只斑鸠、梨树上的一只鹧鸪。
圣诞节的第第九天，我的真爱送给我：九位跳舞的女士（$12,800），还有八位打扫卫生的女仆、七只游泳的天鹅、六只棕色鹅、五枚银戒指、四只鸣叫的鸟、三只法国母鸡、两只斑鸠、梨树上的一只鹧鸪。
圣诞节的第第十天，我的真爱送给我：十位跳跃的贵族（$25,600），还有九位跳舞的女士、八位打扫卫生的女仆、七只游泳的天鹅、六只棕色鹅、五枚银戒指、四只鸣叫的鸟、三只法国母鸡、两只斑鸠、梨树上的一只鹧鸪。
圣诞节的第第十一天，我的真爱送给我：十一位吹笛的乐师（$51,200），还有十位跳跃的贵族、九位跳舞的女士、八位打扫卫生的女仆、七只游泳的天鹅、六只棕色鹅、五枚银戒指、四只鸣叫的鸟、三只法国母鸡、两只斑鸠、梨树上的一只鹧鸪。
圣诞节的第第十二天，我的真爱送给我：十二位击鼓的鼓手（$102,400），还有十一位吹笛的乐师、十位跳跃的贵族、九位跳舞的女士、八位打扫卫生的女仆、七只游泳的天鹅、六只棕色鹅、五枚银戒指、四只鸣叫的鸟、三只法国母鸡、两只斑鸠、梨树上的一只鹧鸪。
现在计算真爱每天送出的全部礼物价值（前一天的全部礼物，加上当天新增的礼物）。
| 圣诞节第几天 | 送给真爱的新增礼物 | 新增礼物的费用 | 当天全部礼物的价值 |
| 第一天 | 梨树上的一只鹧鸪 | $100 | $100 |
| 第二天 | 两只斑鸠 | $100 | $200 |
| 第三天 | 三只法国母鸡 | $200 | $400 |
| 第四天 | 四只鸣叫的鸟 | $400 | $800 |
| 第五天 | 五枚银戒指 | $800 | $1,600 |
| 第六天 | 六只棕色鹅 | $1,600 | $3,200 |
| 第七天 | 七只游泳的天鹅 | $3,200 | $6,400 |
| 第八天 | 八位打扫卫生的女仆 | $6,400 | $12,800 |
| 第九天 | 九位跳舞的女士 | $12,800 | $25,600 |
| 第十天 | 十位跳跃的贵族 | $25,600 | $51,200 |
| 第十一天 | 十一位吹笛的乐师 | $51,200 | $102,400 |
| 第十二天 | 十二位击鼓的鼓手 | $102,400 | $204,800 |
注意，每天全部礼物的价值都比前一天翻一倍，因此形成一个等比数列：a = 第一天的费用 = $100，r = 公比 = 2，n = 项数 = 12。
因此，十二天的总费用 = a(rn − 1)/(r − 1) = 100(212 − 1)/(2 − 1) = 100(212 − 1)。
从表中可以看出，第十二天的费用 = 100 × 211 = $204,800。
因此，100(212 − 1) = 2 × $204,800 − $100 = $409,600 − $100 = $409,500。