卡门觉得自己的问题被敷衍了
卡门曾向老师克莱门汀女士提出一个关于二次方程的问题。老师说会在另一节课上讨论，卡门觉得自己的问题被敷衍了。究竟什么时候才会讲呢？关于二次函数的课程似乎都已经结束了。卡门很好奇，但又不喜欢自己钻研。有一天，她在走廊里遇见克莱门汀女士，再次问起这个问题。老师告诉她今天就会讨论，于是两人一起走进教室。
克莱门汀老师：今天，我想回答卡门在前几节课学习二次方程时提出的问题。大家还记得，二次方程可以用多种方法求解。萨拉告诉过我们，对于 y = ax2 + bx + c = 0，可以使用公式 x = (-b ± √(b2 – 4ac))/(2a)。
用五分钟解一道方程
我会在黑板上写一道方程，给大家五分钟求出 x。接着她写道：
y = x2 + 3x + 3 = 0。
五分钟后，克莱门汀老师问：谁算出答案了？
萨拉：我算出来了，不过答案有点奇怪。我的结果是 x = -3/2 ± √(-3)/2。
克莱门汀老师问还有谁得到了相同答案，许多学生都说自己也是如此。
克莱门汀老师：凯西，你以前向大家展示过怎样用图像法解二次方程。你能用这种方法求解 y = x2 + 3x + 3 = 0 吗？其他同学可以用计算器帮你。
在同学们的帮助下，凯西画出了好几张类似的图，但没有一条曲线与 x 轴相交（图 8.1）。这意味着不存在使 y = x2 + 3x + 3 = 0 成立的实数 x。
克莱门汀老师：凯西，根据你的图像，我们是否可以说方程 y = x2 + 3x + 3 = 0 没有实数解？那么萨拉，你怎样解释你那个奇怪的答案呢？
电磁学中的虚数
萨拉：我们在物理课学习交流电（简称 AC）时接触过一个概念。通常我们说，电流等于电压与电阻之比。不过，只要电流通过导线，导线周围就会产生磁场。对于交流电，磁场的方向不断变化。这个磁场位于与电流方向垂直的平面上，磁场的变化会阻碍电流的变化。因此，我们学习了阻抗，它包含电阻以及磁场所产生的影响。阻抗写作 Z = R + jX，其中 j = √(-1)。R 被认为是实部，而 jX 是虚部。
认识虚数单位 i 及其性质
克莱门汀老师：很好，萨拉。这里的 Z 称为复数，因为它由两部分组成：实部 R 和虚部 jX。我相信物理老师会进一步向你们解释其中的道理。在数学课上，我们不用 j，而使用虚数单位 i（读作 iota），其中 i = √(-1)。
萨拉举手说：克莱门汀老师，我刚才不应该说 x = -3/2 ± √(-3)/2，而应该说 x = -3/2 ± i√3/2。
克莱门汀老师：这样说就对了。现在我想看看有多少同学理解了虚数单位 i。我会在黑板上写一些等式，大家看看能否理解。
i2 = -1，1/i = –i，(a + ib) + (c + id) = a + c + i(b + d)，(a + ib)(a + ib) = a2 – b2 + 2iab。
(a + ib)(a – ib) = a2 + b2，1/(i – 1) = (i + 1)/((i – 1)(i + 1)) = (i + 1)/(i2 – 1) = -(i + 1)/2。
又过了几分钟，她说：乔，你曾经向大家展示如何用因式分解法解二次方程。现在请用这种方法解 y = x2 + 3x + 3 = 0。
乔看起来有些困惑，但还是走上讲台。在全班同学的帮助下，他终于写出了：
y = x2 + 3x + 3 = (x + 3/2 + i√3/2)(x + 3/2 – i√3/2) = 0。
因此，x = -3/2 + i√3/2，或者 x = -3/2 – i√3/2。
克莱门汀老师：俊，你上次对寻找邝的二次方程的顶点特别兴奋。你能上来向大家展示怎样求 y = x2 + 3x + 3 的顶点吗？
俊：对于 y = ax2 + bx + c，在顶点处有 2ax + b = 0。
这里 a = 1，b = 3，因此顶点满足 2x + 3 = 0，也就是 x = -3/2。此时 y 取得最大值或最小值，而凯西的图像表明这个点是最小值点。所以在她的图像中，y 永远不会等于零。
克莱门汀老师：卡门，我希望现在你的问题已经得到解答了。
卡门：是的，克莱门汀老师。非常感谢！这真有意思。
挑战题
1 的立方根可以用希腊字母欧米伽（ω）表示。也就是说，ω3 = 1。求 ω 的所有可能值。
解答：ω3 = 1 也可以写成 ω3 – 1 = 0，或 (ω – 1)(ω2 + ω + 1) = 0。
如果 ω – 1 = 0，那么 ω = 1。
如果 ω2 + ω + 1 = 0，利用二次方程求根公式可得 ω = -1/2 ± i√3/2。这就是另外两个根。因此，ω 的三个可能值为 1、-1/2 + i√3/2 和 -1/2 – i√3/2。