克莱门汀老师是一位传统的教师
克莱门汀老师是一位传统的教师。她认为，勤奋学习的习惯是学生未来成功的关键。她喜欢自己的学生，也希望他们取得好成绩。也许正因如此，她要求严格，甚至比军队里的教官还严厉。这学期，她正在给高中生教授第一门代数课。她已经教过学生如何用消元法和代入法解联立方程，并希望他们自己判断哪一种方法更适合具体的问题。你可能以为，让学生自由选择方法说明她很宽容。其实不然！她布置的家庭作业多得让学生可能要做上一整夜。
不过，这位老师也有另一面。她非常喜欢宗教节日，尤其是复活节。从小她就喜欢寻找复活节彩蛋，以及吃寻蛋活动中得到的糖果。长大成为老师后，她仍然会与教会一起组织这些活动。也许正因如此，她今天布置的作业全部围绕复活节糖果展开，同时又保持了数学的严谨性。有些题目涉及两种糖果，有些涉及三种、四种，甚至五种不同的复活节糖果。
萨拉和她的男朋友约翰尼都在克莱门汀老师的班上。放学后，他们各自回家。三个小时后，萨拉来到约翰尼家。
萨拉想玩飞盘
萨拉：约翰尼，我们为什么不去公园玩飞盘呢？外面天气真好，微风轻拂，天空万里无云。
约翰尼：你在开玩笑吧？克莱门汀老师布置了那么多作业！我已经做了两个小时，才完成五道题，还有八道没做。而且我做的五道还是最简单的。看来今晚得熬通宵了。你怎么还想着出去玩？你已经做完全部作业了吗？
萨拉：是啊，我已经做完了。
约翰尼：我不相信！你怎么做得那么快？
萨拉：我们先去玩半小时飞盘。回来后我再解释给你听。
约翰尼：那就去玩吧。
他们互相抛接飞盘，并没有玩什么正式比赛，但运动量刚好让他们微微出汗。回来后，约翰尼迫不及待地想知道萨拉为什么能那么快完成作业。
约翰尼：快给我看看你的诀窍。
萨拉：这不是我发明的诀窍。昨天晚上，爸爸告诉我一种简单的方法，叫作克拉默法则。
约翰尼：那到底是什么？克莱门汀老师为什么没教我们？
萨拉：她大概想等我们上十二年级的矩阵课程时再教。至少我是打算选那门课的。
矩阵与克拉默法则
约翰尼：矩阵是什么？
萨拉：我先给你讲一些基础知识，再演示如何使用克拉默法则。至于其他内容，如果你十二年级选了那门课，就可以跟她继续学。我们先从你今天做过的第一道题开始。这道题讲的是焦糖糖果和奇巧巧克力（KitKat）：七颗焦糖糖果加两块奇巧巧克力共29美元；两颗焦糖糖果加五块奇巧巧克力共26美元。我用 x 表示一颗焦糖糖果的价格，y 表示一块奇巧巧克力的价格，于是：
7x + 2y = 29 …… 方程1
2x + 5y = 26 …… 方程2
约翰尼：这些我早就做过了。
萨拉：但是，我可以把这两个方程写成一个2×2矩阵 M。第一列是 x 的系数，第二列是 y 的系数；第一行对应第一个方程，第二行对应第二个方程。我们再把等号右边的数单独写成一列。
现在，我们写出另一个矩阵 Mx：把 M 中 x 所在的那一列替换为方程右边的常数列。同样，把 M 中 y 所在的那一列替换为常数列，就得到矩阵 My。
接下来计算这些2×2矩阵的行列式。计算方法如下图所示：
因此，本题矩阵 M 的行列式 D 为：
7 × 5 − 2 × 2 = 35 − 4 = 31。
矩阵 Mx 的行列式 Dx = 29 × 5 − 26 × 2 = 145 − 52 = 93。
矩阵 My 的行列式 Dy = 7 × 26 − 2 × 29 = 182 − 58 = 124。
根据克拉默法则，x = Dx/D，y = Dy/D。
因为 D = 31，Dx = 93，Dy = 124，所以一颗焦糖糖果的价格 x = 93/31 = 3美元，一块奇巧巧克力的价格 y = 124/31 = 4美元。
约翰尼：这么贵的糖果一定特别大！不过，我算出来的答案也是一样的。这只是一个有两个未知数的问题，我很快就能解决。这对我帮助不大。
萨拉：只要你明白这个思路就好。我们可以慢慢做更难的题目。不过在此之前，我先教你怎样计算更大矩阵的行列式。
3×3矩阵——计算行列式的巧妙方法
这里有一个3×3矩阵。如下图所示，可以从中得到三个2×2的子矩阵。每个这样的子矩阵对应一个子式，再按照图中所示，与第一行相应的元素及其代数余子式的符号结合。然后像刚才一样计算各个2×2行列式，就能得到结果。
还有一种巧妙的计算方法，如图中的另一种方法所示：把3×3矩阵的前两列再抄写到右侧，然后沿箭头方向将相应元素相乘。顺向箭头（黑色）的乘积相加，反向箭头（红色）的乘积相减。这种对角线捷径只适用于3×3行列式，不能直接用于更大的矩阵。对于5×5这样的矩阵，需要采用其他行列式计算方法。若不想手工计算，也可以使用计算器或电子表格软件。
约翰尼：你打算一直讲下去，还是终于要给我演示一道题？
萨拉：好，这里还有一道你已经做过的题。杰米一家买了6块Caramilk焦糖巧克力、2块KitKat奇巧巧克力和2块Hershey好时巧克力，共花16美元。乔妮买了1块Caramilk、3块KitKat和1块Hershey，共花10美元。约瑟芬买了9块Caramilk、1块KitKat和3块Hershey，共花20美元。每种巧克力各多少钱一块？
我用 x 表示Caramilk的价格，y 表示KitKat的价格，z 表示Hershey的价格，写出三个方程。
图的左上方列出了含有 x、y、z 三个未知数的方程，旁边则是矩阵形式。这里有一个3×3矩阵 M，右侧还有由方程右端常数组成的列矩阵。将 M 的相应列替换为常数列，就得到 Mx、My 和 Mz（见图），然后分别计算它们的行列式。
我算得 D = 8，Dx = 8，Dy = 16，Dz = 24。
根据克拉默法则，x = Dx/D = 1，y = Dy/D = 2，z = Dz/D = 3。
所以，一块Caramilk是1美元，一块KitKat是2美元，一块Hershey是3美元。价格相差这么多，它们的大小一定不同。你觉得呢？
约翰尼：我明白了！剩下的题都可以用同样的方法。如果我偷懒，也许会用电脑计算一些4×4或5×5行列式。这样，我应该只需要再花两个小时就能做完作业，不必熬通宵了。谢谢你，萨拉！不过克莱门汀老师怎么办？她可能会问我们是怎样做出来的。
萨拉：别担心，我来应付。
第二天上课时，老师问有没有人完成全部家庭作业。只有两名学生举手——萨拉和约翰尼。其他学生只完成了有两个未知数的题目，有些人还做了几道三个未知数的题，然后就停下来了。
克莱门汀老师：萨拉，我不是不相信你，不过请把你的作业本给我看看。
萨拉把作业本交给了老师。
克莱门汀老师：我看到你用了矩阵。真聪明！是谁教你的？
萨拉：爸爸告诉了我一些知识，后来我又自己查阅资料学习。
克莱门汀老师：我猜，你也教了约翰尼，所以他才完成了全部作业。做得好！
放学回家的路上，萨拉对约翰尼说：爸爸告诉我，矩阵在物理学、经济学、图论、概率论等许多领域都有广泛应用。矩阵还可以进行各种运算。而且，克拉默法则并不是利用矩阵解联立方程的唯一方法。
可是，此时约翰尼已经不想再听数学了。他只想好好享受这一天剩下的时光。
你觉得克莱门汀老师怎么样？她布置了那么多作业，却又让所有题目都围绕糖果展开，充满了复活节的气氛。
挑战题
复活节期间，五个不同的家庭在同一家商店购买糖果。约翰逊一家买了2份花生脆糖、3颗复活节彩蛋巧克力、4包健达糖果、5块白巧克力和1只大兔子巧克力，支付45美元。戴维森一家买了6份花生脆糖、2颗复活节彩蛋巧克力、3包健达糖果、1块白巧克力和5只大兔子巧克力，支付48美元。钟家买了1份花生脆糖、5颗复活节彩蛋巧克力、2包健达糖果、2块白巧克力和2只大兔子巧克力，支付35美元。汤姆林森一家买了5份花生脆糖、4颗复活节彩蛋巧克力、1包健达糖果、3块白巧克力和4只大兔子巧克力，支付48美元。为了不落后于邻居，基奇纳瓦一家买了3份花生脆糖、1颗复活节彩蛋巧克力、5包健达糖果、4块白巧克力和3只大兔子巧克力，支付51美元。
每种糖果的单价是多少？
解答：用 a 表示一份花生脆糖的价格，b 表示一颗复活节彩蛋巧克力的价格，x 表示一包健达糖果的价格，y 表示一块白巧克力的价格，z 表示一只兔子巧克力的价格。于是得到下面五个方程。请按以下步骤求解：
步骤1：把方程左侧的系数写成一个5×5矩阵 M，并把方程右侧的常数写成一个包含五个元素的列矩阵。
步骤2：分别用右侧的常数列替换 M 中对应的列，构造矩阵 Ma、Mb、Mx、My 和 Mz。
步骤3：计算它们的行列式 D、Da、Db、Dx、Dy 和 Dz。说实话，对我而言，用Excel计算这一步快得多。
步骤4：计算 a、b、x、y、z 的值。
步骤5：把求得的数值代入至少一个原方程，检查答案是否正确。