二次方程简介

克莱门汀老师：Kwong，你在科学展览项目中提出了二次关系的概念，也许全班都应该学习一下。我原本打算以后再教，但现在看来正是好时机。既然全班都参加了这项调查，大家也可以讨论。Sara，你愿意向全班简单介绍一下二次关系吗？

Sara：我可以试试，但只能讲最基本的概念。

克莱门汀老师：那请到前面来。

Sara说：“大家好。和你们一样，我对这个领域还有很多要学的。还记得我们学过线性关系 y = a + bx 吗？例如，走路时，你的位置取决于起点，加上步行速度乘以走过的时间。我想大家都记得。”

“但事情并不总是这么简单。不是所有关系都是线性的。Kwong给大家展示了一条曲线。假设学生能够善用手机学习。通过智能手机，他们可能获得更多学习资源，或者互相解释问题，因此使用手机可能对学习成绩有积极影响。但也有人会说，玩手机占用了学习时间，减少了专注于学习的时间或注意力。正如克莱门汀老师指出的，过度使用手机会带来负面结果。二次方程能够同时描述这两种影响。它的一般形式是 y = ax² + bx + c。在Kwong的例子中，方程是 y = -2.4x² + 9.6x + 76.8。我想老师以后会进一步讲解。”

克莱门汀老师：大家知道，二次函数写作 y = ax² + bx + c。通常，我们需要求出满足下式的 x 值：

ax² + bx + c = 0。

解二次方程

我能想到四种解法：图像法、因式分解法、配方法和求根公式法。每种方法由不同的小组介绍。下一节课讲前两种方法，再下一节课讲第三、第四种方法。之后一个小组介绍顶点的概念。其他同学要准备好介绍自己生活经历或兴趣中出现的二次关系。我会公布学生及其主题的名单。

———————-下一节课———————-

克莱门汀老师：请第一组开始展示。Kathy：我们采用了Kwong关于学习成绩与智能手机使用时间关系的方程，如图所示。为了求解 -2.4x² + 9.6x + 76.8 = 0，我们绘制了一条连续曲线，取了比Kwong原来更多的数值，也扩大了 x 的取值范围（图7.3）。然后我们寻找 y = 0 时的 x 值。图像显示，当 x = -4 或 x = +8 时，y = 0。每天使用手机负4小时毫无意义，图中出现负分数也不合理。因此我们得出结论：如果每天使用手机8小时，平均成绩可能降为零。要是每天用手机8小时，哪还有时间吃饭、睡觉、玩游戏和学习呢？

克莱门汀老师：谢谢，讲得很清楚。接下来是第二组。

Joe：我们也解了Kwong的二次方程，不过使用的是因式分解法。方程为 -2.4x² + 9.6x + 76.8 = 0。起初，看到这么多小数，我们不知道怎样分解因式。后来有人帮助了我们。谢谢Sara！Sara告诉我们，只要将等式两边同时除以 -2.4，问题就简单多了。这样方程变成 x² – 4x – 32 = 0。我们知道32 = 4 × 8，而且8 – 4 = 4，与左边中间项的系数有关。因此可分解为 (x – 8)(x + 4) = 0。这意味着：

x – 8 = 0，得到 x = 8；或者 x + 4 = 0，得到 x = -4。我们与第一组得到相同答案，不过没有过多考虑负 x 值的实际意义。

Jonathan：这有点令人困惑。Sara，有没有更好的方法？

Sara：我爸爸教了我一种不用猜测、适用于各种二次方程的可靠方法（https://www.youtube.com/watch?v=PgI4ypRRi8k）。

从 x² + bx + c = (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn 开始，因此 b = m + n，c = mn。m 和 n 的平均值为 (m + n)/2，即 b/2。由于 m 和 n 不同，设 m = b/2 + k，那么 n = b/2 – k，因为平均值是 b/2。我们知道 (a + b)(a – b) = a² – b²。因此 mn = (b/2 + k)(b/2 – k) = (b/2)² – k² = c，所以 k² = (b/2)² – c，或 k = √((b/2)² – c)。

现在试三个不同的方程。第一个是 x² – 4x – 32 = 0，其中 b = -4，c = -32，因此 -c = 32。于是 k = √((-4/2)² + 32) = √36 = 6。取 k = 6，m = b/2 + k = -2 + 6 = 4，n = b/2 – k = -2 – 6 = -8。因此 x² – 4x – 32 = (x + 4)(x – 8) = 0，解为 x = -4 或 x = 8。方法成功了。

第二个方程是 x² + 8x + 4 = 0。这里 b = 8，b/2 = 4，c = 4。于是 k = √(4² – 4) = √12。因此 m = 4 + √12，n = 4 – √12，所以 x² + 8x + 4 = (x + 4 + √12)(x + 4 – √12) = 0。由此 x = -4 – √12 或 x = -4 + √12。

Jonathan：哇，我自己绝对想不到。谢谢！第三个是不是更复杂？

Sara：有点复杂。方程是 x² + 4x + 10 = 0。这里 b = 4，b/2 = 2，c = 10。因此 k = √(2² – 10) = √(-6)。于是 m = 2 + √(-6)，n = 2 – √(-6)。所以 x² + 4x + 10 = (x + 2 + √(-6))(x + 2 – √(-6)) = 0，得到 x = -2 – √(-6) 或 x = -2 + √(-6)。

Carmen：这真奇怪。负数也能开平方根吗？

克莱门汀老师：非常好。你们对同一个方程得出了相同答案。我会发一张有六道不同方程的练习纸。每个人都要用Kathy和Joe介绍的两种方法解题，并在下节课交上来。

——————-下一节课——————-

第三组和第四组在下一节课做了展示。

Jonathan：我们在课本上读到，配方法就是重新整理二次方程的各项，使含 x 的部分成为一个平方项，其余部分是常数。和另一组一样，我们把Kwong的方程除以 -2.4，使问题容易得多。得到 x² – 4x – 32 = 0。于是我们开始考虑怎样把 x² – 4x 变成一个平方项。

因为 (x – 2)² = x² – 4x + 4，所以 x² – 4x = (x – 2)² – 4。

因此 x² – 4x – 32 = 0 可写成 (x – 2)² = 32 + 4 = 36。

于是 x – 2 = ±√36，即 x – 2 = ±6，得到 x = -4 或 +8。与其他小组的答案相同。

克莱门汀老师：很好，你们得到了同样的答案。现在请第四组展示。

Sara：我们的任务是推导解二次方程的一般公式。我们采用了与第三组相同的配方法。

一般方程为 ax² + bx + c = 0。和其他小组一样，我们把等式两边除以 a，得到 x² + (b/a)x + c/a = 0，即 x² + (b/a)x = -c/a。

然后在等式两边同时加上 (b/2a)²，完成配方。

这样得到 x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²，也就是：

(x + b/2a)² = -c/a + (b/2a)²。

两边开平方，得到：

x + b/2a = ±√(-c/a + (b/2a)²) = ±√(b² – 4ac)/(2a)。

所以 x = (-b ± √(b² – 4ac))/(2a)。

用这种方法，只要代入 a、b、c 的数值，就能求出 y = 0 时的 x 值。

Kwong的方程是 -2.4x² + 9.6x + 76.8 = 0。我们代入 a = -2.4、b = 9.6、c = 76.8，得到 x = 2 ± 6。真让人惊喜，答案与其他小组完全一样！

克莱门汀老师：非常好。Sara，你把这个推导讲得很简单。

Carmen举手问：如果 b² – 4ac 是负数，会怎么样？

克莱门汀老师：我们会在另一节课讨论这个问题。请耐心等待。

好了，同学们，还记得上节课我发的六道方程练习吗？大家要用Jonathan和Sara展示的方法解题，下节课交答案。

顶点

克莱门汀老师：现在开始第五组的展示。

Jun：我是Jun，代表第五组发言。大家都看过Kwong那张很有意思的图，它符合方程 y = -2.4x² + 9.6x + 76.8。

大家已经求出了 y = -2.4x² + 9.6x + 76.8 = 0 时的 x 值。

我可不想得到零分，也就是这里的 y = 0。我想获得尽可能高的分数。所以别再只顾着求 y = 0 了！（她带着挑战的语气说道。）

第一组的图像显示，y 先增加，随后开始下降。在这条曲线上，有一个 x 值，使 y 在该点既不继续上升也不继续下降。这一点叫作顶点。

图中的最高点出现在 x = 2。把 x = 2 代入，y = -2.4 × 2² + 9.6 × 2 + 76.8 = 86.4。所以顶点坐标是 (2, 86.4)。还有另一种方法。对于 y = ax² + bx + c，曲线的斜率是 2ax + b。在顶点，斜率为零，即 2ax + b = 0，因此顶点的 x 坐标是 -b/(2a)。代入本题，x = -9.6/(-2.4 × 2) = 2，再求得 y = 86.4。所以Kwong的图表明，为获得最佳成绩，每天使用手机2小时，平均成绩可以提高将近10%。干得好，Kwong！

克莱门汀老师：谢谢Jun这场充满热情的展示。还记得几何课上讲过的顶点吗？顶点是两条线相交的点。类似地，对抛物线而言，顶点是上升与下降趋势交接的地方。它可以是最大值点，也可以是最小值点。这次的抛物线有一个最大值。也有一些抛物线先下降后上升，此时顶点就是曲线的最小值点。因此，顶点的概念可以帮助我们寻找最大值或最小值。

学生的生活经历与兴趣

好了，现在大家要介绍自己生活经历和兴趣中的二次关系实例。请按照我分配主题的顺序依次发言。

Ashley：我是学校啦啦队的队长。有两种情况可以用二次关系来描述。第一种有点像Kwong的方程。如果先表演一个简单的啦啦队动作，再逐渐增加难度，评委就会给更高的分数。增加动作数量可以加分，但每增加一个动作，也可能降低团队在所有动作中的整体表现。这可能是因为队员难以学会太多动作，或者表演时间有限。因此，分数与动作数量之间可能存在二次关系。我的朋友Kim会介绍另一种情况。

Kim：我们有一种托举抛接动作：大家把一个身材娇小的女孩抛向空中，然后一起接住她。如果抛得不够高，观众就会喝倒彩；但如果抛得太快，我们又担心她的头会撞到只有12米高的屋顶。所以我需要计算抛起她的速度，让她的头最高只达到11米，以确保安全。Sara告诉我，这也是一个二次关系问题。

Dino：我妈妈很喜欢种蔬菜。在一条20米长的种植行里，她种了20株番茄，一共收获1000个番茄，平均每株50个。我们争论起来，我认为如果在同样长的种植行里多种几株，她就能收获更多番茄。我们向温室工作人员咨询，他们告诉我们，每增加一株，每株的产量就会减少一个番茄。我觉得这也是一道需要求顶点的二次函数题。

Tom：这件事发生在我爸爸的店里。一位女士带来一张竖幅照片，高宽比为4:3。她想把照片放大到192平方英寸，并想知道放大后的高度和宽度。爸爸很聪明，他告诉我自己用二次方程算出了答案。

Jorge：我打篮球，但个子不算高。为了扣篮，我需要跳起来，让双脚离地2.5英尺。教练告诉我，他的运动机能学老师教过一个描述跳跃高度的方程：16t² – 12t，其中 t 是在空中的时间（秒）。我需要在空中停留多长时间才能扣篮？

克莱门汀老师：太好了。现在大家知道二次方程的应用题是怎么来的了。课本里还有很多这样的题目。作业是下节课前任选六道完成。

挑战

Kim的问题：我们表演托举抛接动作，把一个身材娇小的女孩抛向空中，然后一起接住。如果抛得太低，大家就喝倒彩；如果抛得太快，又担心她的头撞到只有12米高的屋顶。因此，我必须算出抛起她的速度，使她的头最高只达到11米，以确保安全。Sara说，这也是一个二次关系问题。

Kim的问题可以分为两部分。第一部分是啦啦队员到达11米高度所需的时间，第二部分是需要以多快的速度把她抛起。为了更容易理解，可以先问：如果她从11米高处开始下落，要多久才会落地？我们使用关系式：

距离 = ut + at²/2

这里初速度 u = 0，因为女孩被抛到最高点时，瞬间既不向上也不向下运动，速度为零。令 a 为地球重力加速度，即 9.81 米/秒²。

那么 11 = 0 + 9.81t²/2，或者 t²/2 = 11/9.81，t² = 22/9.81 秒² = 2.2425 秒²，因此 t = 1.4975 秒。

下落过程中的速度 v 按以下关系增加：

v = u + at = 0 + 9.81 × 1.4975 米/秒 = 14.6908 米/秒。

为了验证答案，我们再考虑以这个初速度向上抛女孩的情况。注意，此时女孩向上运动时会减速，因此加速度 a 要取负值。

距离 = ut + at²/2，即

距离 = 14.6908 米/秒 × 1.4975 秒 – (9.81 米/秒² × (1.4975 秒)²)/2，

结果为 22 – 11 = 11 米，正是Kim希望女孩达到的高度。

Dino的问题：妈妈喜欢种蔬菜。在20米长的一行里，她种了20株番茄，总共收获1000个番茄，平均每株50个。我们争论多种几株是否能提高总产量。温室工作人员说，每增加一株，所有植株的单株产量都会减少一个番茄。我觉得这是一道求顶点的二次函数题。

假设Dino的妈妈增加 x 株，那么总株数为 20 + x。原来每株产50个番茄，但每增加一株，每株产量减少一个，所以每株产量变成 50 – x。

因此总产量 y = (20 + x)(50 – x) = 1000 + 50x – 20x – x²。

y = -x² + 30x + 1000。

Jun在课堂上说，对于 y = ax² + bx + c，在顶点有 2ax + b = 0。

因此 -2x + 30 = 0，得到 x = 15。

增加15株后，总产量为 (20 + 15)(50 – 15) = 1225个番茄。

顶点可能对应最大值或最小值。显然，这里不是最小值，因为1225个番茄比目前的1000个更多。

Tom的问题：一位女士来到爸爸的店里，带着一张高宽比为4:3的竖幅照片。她想将照片放大到192平方英寸，想知道放大后的长和宽。爸爸告诉我，他用二次方程求出了答案。

设宽度为 x 英寸，那么高度为 4x/3，面积为 4x²/3。因此：

4x²/3 = 192，即 x² = 144，所以 x = ±12 英寸。其中只有 x = 12 英寸符合实际意义。

所以照片宽12英寸，高为12 × 4/3 = 16英寸。验证面积：16 × 12 = 192平方英寸。

Jorge的问题：我打篮球，但个子不算高。为了扣篮，我需要跳到双脚离地2.5英尺。教练说，他的运动机能学老师教过跳跃高度的方程 16t² – 12t，其中 t 是在空中的时间（秒）。我需要在空中停留多久才能扣篮？

这与Kim的啦啦队问题相似，只是单位不同。这里都使用英尺。关系式为 16t² – 12t = 2.5，即 16t² – 12t – 2.5 = 0。

对于二次方程 ax² + bx + c = 0，求根公式为 x = (-b ± √(b² – 4ac))/(2a)。

因此 t = (12 ± √(12² – 4 × 16 × (-2.5)))/(2 × 16)，得到约0.92秒或 -0.17秒。负时间没有实际意义，因此Jorge需要在空中停留约0.92秒才能扣篮。

返回页面顶部

二次方程简介

克莱门汀老师：Kwong，你在科学展览项目中提出了二次关系的概念，也许全班都应该学习一下。我原本打算以后再教，但现在看来正是好时机。既然全班都参加了这项调查，大家也可以讨论。Sara，你愿意向全班简单介绍一下二次关系吗？

Sara：我可以试试，但只能讲最基本的概念。

克莱门汀老师：那请到前面来。

Sara说：“大家好。和你们一样，我对这个领域还有很多要学的。还记得我们学过线性关系 y = a + bx 吗？例如，走路时，你的位置取决于起点，加上步行速度乘以走过的时间。我想大家都记得。”

“但事情并不总是这么简单。不是所有关系都是线性的。Kwong给大家展示了一条曲线。假设学生能够善用手机学习。通过智能手机，他们可能获得更多学习资源，或者互相解释问题，因此使用手机可能对学习成绩有积极影响。但也有人会说，玩手机占用了学习时间，减少了专注于学习的时间或注意力。正如克莱门汀老师指出的，过度使用手机会带来负面结果。二次方程能够同时描述这两种影响。它的一般形式是 y = ax² + bx + c。在Kwong的例子中，方程是 y = -2.4x² + 9.6x + 76.8。我想老师以后会进一步讲解。”

克莱门汀老师：大家知道，二次函数写作 y = ax² + bx + c。通常，我们需要求出满足下式的 x 值：

ax² + bx + c = 0。

解二次方程

我能想到四种解法：图像法、因式分解法、配方法和求根公式法。每种方法由不同的小组介绍。下一节课讲前两种方法，再下一节课讲第三、第四种方法。之后一个小组介绍顶点的概念。其他同学要准备好介绍自己生活经历或兴趣中出现的二次关系。我会公布学生及其主题的名单。

———————-下一节课———————-

克莱门汀老师：请第一组开始展示。Kathy：我们采用了Kwong关于学习成绩与智能手机使用时间关系的方程，如图所示。为了求解 -2.4x² + 9.6x + 76.8 = 0，我们绘制了一条连续曲线，取了比Kwong原来更多的数值，也扩大了 x 的取值范围（图7.3）。然后我们寻找 y = 0 时的 x 值。图像显示，当 x = -4 或 x = +8 时，y = 0。每天使用手机负4小时毫无意义，图中出现负分数也不合理。因此我们得出结论：如果每天使用手机8小时，平均成绩可能降为零。要是每天用手机8小时，哪还有时间吃饭、睡觉、玩游戏和学习呢？

克莱门汀老师：谢谢，讲得很清楚。接下来是第二组。

Joe：我们也解了Kwong的二次方程，不过使用的是因式分解法。方程为 -2.4x² + 9.6x + 76.8 = 0。起初，看到这么多小数，我们不知道怎样分解因式。后来有人帮助了我们。谢谢Sara！Sara告诉我们，只要将等式两边同时除以 -2.4，问题就简单多了。这样方程变成 x² – 4x – 32 = 0。我们知道32 = 4 × 8，而且8 – 4 = 4，与左边中间项的系数有关。因此可分解为 (x – 8)(x + 4) = 0。这意味着：

x – 8 = 0，得到 x = 8；或者 x + 4 = 0，得到 x = -4。我们与第一组得到相同答案，不过没有过多考虑负 x 值的实际意义。

Jonathan：这有点令人困惑。Sara，有没有更好的方法？

Sara：我爸爸教了我一种不用猜测、适用于各种二次方程的可靠方法（https://www.youtube.com/watch?v=PgI4ypRRi8k）。

从 x² + bx + c = (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn 开始，因此 b = m + n，c = mn。m 和 n 的平均值为 (m + n)/2，即 b/2。由于 m 和 n 不同，设 m = b/2 + k，那么 n = b/2 – k，因为平均值是 b/2。我们知道 (a + b)(a – b) = a² – b²。因此 mn = (b/2 + k)(b/2 – k) = (b/2)² – k² = c，所以 k² = (b/2)² – c，或 k = √((b/2)² – c)。

现在试三个不同的方程。第一个是 x² – 4x – 32 = 0，其中 b = -4，c = -32，因此 -c = 32。于是 k = √((-4/2)² + 32) = √36 = 6。取 k = 6，m = b/2 + k = -2 + 6 = 4，n = b/2 – k = -2 – 6 = -8。因此 x² – 4x – 32 = (x + 4)(x – 8) = 0，解为 x = -4 或 x = 8。方法成功了。

第二个方程是 x² + 8x + 4 = 0。这里 b = 8，b/2 = 4，c = 4。于是 k = √(4² – 4) = √12。因此 m = 4 + √12，n = 4 – √12，所以 x² + 8x + 4 = (x + 4 + √12)(x + 4 – √12) = 0。由此 x = -4 – √12 或 x = -4 + √12。

Jonathan：哇，我自己绝对想不到。谢谢！第三个是不是更复杂？

Sara：有点复杂。方程是 x² + 4x + 10 = 0。这里 b = 4，b/2 = 2，c = 10。因此 k = √(2² – 10) = √(-6)。于是 m = 2 + √(-6)，n = 2 – √(-6)。所以 x² + 4x + 10 = (x + 2 + √(-6))(x + 2 – √(-6)) = 0，得到 x = -2 – √(-6) 或 x = -2 + √(-6)。

Carmen：这真奇怪。负数也能开平方根吗？

克莱门汀老师：非常好。你们对同一个方程得出了相同答案。我会发一张有六道不同方程的练习纸。每个人都要用Kathy和Joe介绍的两种方法解题，并在下节课交上来。

——————-下一节课——————-

第三组和第四组在下一节课做了展示。

Jonathan：我们在课本上读到，配方法就是重新整理二次方程的各项，使含 x 的部分成为一个平方项，其余部分是常数。和另一组一样，我们把Kwong的方程除以 -2.4，使问题容易得多。得到 x² – 4x – 32 = 0。于是我们开始考虑怎样把 x² – 4x 变成一个平方项。

因为 (x – 2)² = x² – 4x + 4，所以 x² – 4x = (x – 2)² – 4。

因此 x² – 4x – 32 = 0 可写成 (x – 2)² = 32 + 4 = 36。

于是 x – 2 = ±√36，即 x – 2 = ±6，得到 x = -4 或 +8。与其他小组的答案相同。

克莱门汀老师：很好，你们得到了同样的答案。现在请第四组展示。

Sara：我们的任务是推导解二次方程的一般公式。我们采用了与第三组相同的配方法。

一般方程为 ax² + bx + c = 0。和其他小组一样，我们把等式两边除以 a，得到 x² + (b/a)x + c/a = 0，即 x² + (b/a)x = -c/a。

然后在等式两边同时加上 (b/2a)²，完成配方。

这样得到 x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²，也就是：

(x + b/2a)² = -c/a + (b/2a)²。

两边开平方，得到：

x + b/2a = ±√(-c/a + (b/2a)²) = ±√(b² – 4ac)/(2a)。

所以 x = (-b ± √(b² – 4ac))/(2a)。

用这种方法，只要代入 a、b、c 的数值，就能求出 y = 0 时的 x 值。

Kwong的方程是 -2.4x² + 9.6x + 76.8 = 0。我们代入 a = -2.4、b = 9.6、c = 76.8，得到 x = 2 ± 6。真让人惊喜，答案与其他小组完全一样！

克莱门汀老师：非常好。Sara，你把这个推导讲得很简单。

Carmen举手问：如果 b² – 4ac 是负数，会怎么样？

克莱门汀老师：我们会在另一节课讨论这个问题。请耐心等待。

好了，同学们，还记得上节课我发的六道方程练习吗？大家要用Jonathan和Sara展示的方法解题，下节课交答案。

顶点

克莱门汀老师：现在开始第五组的展示。

Jun：我是Jun，代表第五组发言。大家都看过Kwong那张很有意思的图，它符合方程 y = -2.4x² + 9.6x + 76.8。

大家已经求出了 y = -2.4x² + 9.6x + 76.8 = 0 时的 x 值。

我可不想得到零分，也就是这里的 y = 0。我想获得尽可能高的分数。所以别再只顾着求 y = 0 了！（她带着挑战的语气说道。）

第一组的图像显示，y 先增加，随后开始下降。在这条曲线上，有一个 x 值，使 y 在该点既不继续上升也不继续下降。这一点叫作顶点。

图中的最高点出现在 x = 2。把 x = 2 代入，y = -2.4 × 2² + 9.6 × 2 + 76.8 = 86.4。所以顶点坐标是 (2, 86.4)。还有另一种方法。对于 y = ax² + bx + c，曲线的斜率是 2ax + b。在顶点，斜率为零，即 2ax + b = 0，因此顶点的 x 坐标是 -b/(2a)。代入本题，x = -9.6/(-2.4 × 2) = 2，再求得 y = 86.4。所以Kwong的图表明，为获得最佳成绩，每天使用手机2小时，平均成绩可以提高将近10%。干得好，Kwong！

克莱门汀老师：谢谢Jun这场充满热情的展示。还记得几何课上讲过的顶点吗？顶点是两条线相交的点。类似地，对抛物线而言，顶点是上升与下降趋势交接的地方。它可以是最大值点，也可以是最小值点。这次的抛物线有一个最大值。也有一些抛物线先下降后上升，此时顶点就是曲线的最小值点。因此，顶点的概念可以帮助我们寻找最大值或最小值。

学生的生活经历与兴趣

好了，现在大家要介绍自己生活经历和兴趣中的二次关系实例。请按照我分配主题的顺序依次发言。

Ashley：我是学校啦啦队的队长。有两种情况可以用二次关系来描述。第一种有点像Kwong的方程。如果先表演一个简单的啦啦队动作，再逐渐增加难度，评委就会给更高的分数。增加动作数量可以加分，但每增加一个动作，也可能降低团队在所有动作中的整体表现。这可能是因为队员难以学会太多动作，或者表演时间有限。因此，分数与动作数量之间可能存在二次关系。我的朋友Kim会介绍另一种情况。

Kim：我们有一种托举抛接动作：大家把一个身材娇小的女孩抛向空中，然后一起接住她。如果抛得不够高，观众就会喝倒彩；但如果抛得太快，我们又担心她的头会撞到只有12米高的屋顶。所以我需要计算抛起她的速度，让她的头最高只达到11米，以确保安全。Sara告诉我，这也是一个二次关系问题。

Dino：我妈妈很喜欢种蔬菜。在一条20米长的种植行里，她种了20株番茄，一共收获1000个番茄，平均每株50个。我们争论起来，我认为如果在同样长的种植行里多种几株，她就能收获更多番茄。我们向温室工作人员咨询，他们告诉我们，每增加一株，每株的产量就会减少一个番茄。我觉得这也是一道需要求顶点的二次函数题。

Tom：这件事发生在我爸爸的店里。一位女士带来一张竖幅照片，高宽比为4:3。她想把照片放大到192平方英寸，并想知道放大后的高度和宽度。爸爸很聪明，他告诉我自己用二次方程算出了答案。

Jorge：我打篮球，但个子不算高。为了扣篮，我需要跳起来，让双脚离地2.5英尺。教练告诉我，他的运动机能学老师教过一个描述跳跃高度的方程：16t² – 12t，其中 t 是在空中的时间（秒）。我需要在空中停留多长时间才能扣篮？

克莱门汀老师：太好了。现在大家知道二次方程的应用题是怎么来的了。课本里还有很多这样的题目。作业是下节课前任选六道完成。

挑战

Kim的问题：我们表演托举抛接动作，把一个身材娇小的女孩抛向空中，然后一起接住。如果抛得太低，大家就喝倒彩；如果抛得太快，又担心她的头撞到只有12米高的屋顶。因此，我必须算出抛起她的速度，使她的头最高只达到11米，以确保安全。Sara说，这也是一个二次关系问题。

Kim的问题可以分为两部分。第一部分是啦啦队员到达11米高度所需的时间，第二部分是需要以多快的速度把她抛起。为了更容易理解，可以先问：如果她从11米高处开始下落，要多久才会落地？我们使用关系式：

距离 = ut + at²/2

这里初速度 u = 0，因为女孩被抛到最高点时，瞬间既不向上也不向下运动，速度为零。令 a 为地球重力加速度，即 9.81 米/秒²。

那么 11 = 0 + 9.81t²/2，或者 t²/2 = 11/9.81，t² = 22/9.81 秒² = 2.2425 秒²，因此 t = 1.4975 秒。

下落过程中的速度 v 按以下关系增加：

v = u + at = 0 + 9.81 × 1.4975 米/秒 = 14.6908 米/秒。

为了验证答案，我们再考虑以这个初速度向上抛女孩的情况。注意，此时女孩向上运动时会减速，因此加速度 a 要取负值。

距离 = ut + at²/2，即

距离 = 14.6908 米/秒 × 1.4975 秒 – (9.81 米/秒² × (1.4975 秒)²)/2，

结果为 22 – 11 = 11 米，正是Kim希望女孩达到的高度。

Dino的问题：妈妈喜欢种蔬菜。在20米长的一行里，她种了20株番茄，总共收获1000个番茄，平均每株50个。我们争论多种几株是否能提高总产量。温室工作人员说，每增加一株，所有植株的单株产量都会减少一个番茄。我觉得这是一道求顶点的二次函数题。

假设Dino的妈妈增加 x 株，那么总株数为 20 + x。原来每株产50个番茄，但每增加一株，每株产量减少一个，所以每株产量变成 50 – x。

因此总产量 y = (20 + x)(50 – x) = 1000 + 50x – 20x – x²。

y = -x² + 30x + 1000。

Jun在课堂上说，对于 y = ax² + bx + c，在顶点有 2ax + b = 0。

因此 -2x + 30 = 0，得到 x = 15。

增加15株后，总产量为 (20 + 15)(50 – 15) = 1225个番茄。

顶点可能对应最大值或最小值。显然，这里不是最小值，因为1225个番茄比目前的1000个更多。

Tom的问题：一位女士来到爸爸的店里，带着一张高宽比为4:3的竖幅照片。她想将照片放大到192平方英寸，想知道放大后的长和宽。爸爸告诉我，他用二次方程求出了答案。

设宽度为 x 英寸，那么高度为 4x/3，面积为 4x²/3。因此：

4x²/3 = 192，即 x² = 144，所以 x = ±12 英寸。其中只有 x = 12 英寸符合实际意义。

所以照片宽12英寸，高为12 × 4/3 = 16英寸。验证面积：16 × 12 = 192平方英寸。

Jorge的问题：我打篮球，但个子不算高。为了扣篮，我需要跳到双脚离地2.5英尺。教练说，他的运动机能学老师教过跳跃高度的方程 16t² – 12t，其中 t 是在空中的时间（秒）。我需要在空中停留多久才能扣篮？

这与Kim的啦啦队问题相似，只是单位不同。这里都使用英尺。关系式为 16t² – 12t = 2.5，即 16t² – 12t – 2.5 = 0。

对于二次方程 ax² + bx + c = 0，求根公式为 x = (-b ± √(b² – 4ac))/(2a)。

因此 t = (12 ± √(12² – 4 × 16 × (-2.5)))/(2 × 16)，得到约0.92秒或 -0.17秒。负时间没有实际意义，因此Jorge需要在空中停留约0.92秒才能扣篮。

返回页面顶部