普丽娅向好友萨拉求助
普丽娅在母亲珍娜的 T 恤店里辛勤工作。她很难兼顾工作和学业。幸好，她和萨拉成了朋友。这一次，她来找萨拉帮忙完成统计课的作业。虽然她上了课，却没有听懂老师讲的内容。
普丽娅：我想请你帮个忙。你总能把事情解释得很清楚，让我牢牢记住。我读了统计课本，却怎么也看不明白。希望你能帮我做统计课的作业。
萨拉：好吧，我试试看。
普丽娅：第一题很简单，连我都会。抛一枚硬币，出现正面的概率是多少？我的答案是：有两种可能，正面或反面，而且机会相等。因此出现正面的概率是 1/2，出现反面的概率也是 1/2。
萨拉：正确。
莱斯利和琳达的趣事
普丽娅：我知道得先完成作业，但我一定要给你讲个有趣的故事。我一直忘不了，你肯定会喜欢。还记得我们高中时的琳达和莱斯利吗？他们总是形影不离。有一天，莱斯利给琳达一枚硬币，让她抛。如果出现正面，莱斯利就亲琳达的嘴唇；如果出现反面，琳达就亲莱斯利的脸颊。这事就发生在学校后面！他们真古怪。琳达看了看硬币，一面是正面，另一面是反面。她抛了硬币，结果是正面，于是莱斯利亲了琳达。
萨拉：故事就这样结束了吗？
普丽娅：不，不，还有呢。琳达一共抛了四次硬币。你猜怎么着？每次都是莱斯利亲琳达的嘴唇。我们有几个人在旁边看他们玩。后来，他们决定改由莱斯利抛硬币。又抛了两次，每次都是正面，琳达又得到了两次亲吻。越来越多的学生围过来看，但琳达和莱斯利毫不在意。
当正面连续出现了八次时，乔叫他们来点真正的赌注。他们叫乔少管闲事。
吉姆对乔说：“我跟你打赌，下一次一定是反面。也该轮到反面了。”
萨拉：后来怎么样了？
普丽娅：乔没有下注就走了。不过，你觉得吉姆说得对吗？
萨拉：不对，吉姆错了。因为这是一枚公平的硬币，每次抛掷出现正面或反面的概率仍然各为 1/2，并不取决于前一次的结果。如果他们抛了 1,000 次，琳达亲莱斯利的次数预计大约是 500 次，莱斯利亲琳达的次数也大约是 500 次，但不一定恰好各有 500 次。不管怎样，这么多亲吻也太滑稽了。
普丽娅：下一道题是：有两枚硬币，比如一枚五分硬币和一枚十分硬币。同时抛出它们，恰好出现一个正面的概率是多少？
萨拉：想想所有不同的可能结果。
第一种可能是五分硬币和十分硬币都出现正面；第二种是五分硬币正面、十分硬币反面；第三种是五分硬币反面、十分硬币正面；第四种是两枚硬币都出现反面。其中恰好一个正面的情况有两种，因为正面来自哪一枚硬币都可以。所以答案是 2/4 = 1/2。如果题目问的是“至少一个正面”，答案就是 3/4。因此，读题一定要仔细。
普丽娅：下一题问的是：掷两枚六面骰子，点数之和为 7 的概率是多少？这题我会——列出所有可能的结果，再数一数哪些结果的和是 7。答案是 6/36，也就是 1/6。不过，这让我想起了上学时的一件事。
乔和吉姆玩抛硬币和掷两枚骰子的游戏。
乔先掷骰子，再抛硬币。吉姆却不在乎顺序。
他一只手掷骰子，另一只手同时抛硬币。这样会有区别吗？
萨拉：不会，因为抛硬币和掷骰子的结果互不影响。另外，你的老师可能还希望你用树状图来分析这些问题。先画出抛硬币的所有可能结果，再从每个结果分出第一枚骰子的所有可能结果，最后从这些分支画出第二枚骰子的所有可能结果。你可以看看 Belcastro Math 的 YouTube 视频（https://www.youtube.com/watch?v=cogQtPFyZCA），了解树状图的概念。
普丽娅的下一题与抽奖有关。一次抽奖活动共售出 40 张彩票，设有三个奖项。乔买了其中 4 张。先抽出一张彩票决定一等奖，再从剩下的彩票中抽出一张决定二等奖，最后以同样方式抽出三等奖。乔希望三个奖项全都由自己赢得。他获胜的概率是多少？
萨拉知道这些抽奖并非相互独立，因为每抽出一张彩票，剩余彩票的数量就会改变。因此，她按连续发生的条件概率计算。乔赢得一等奖的概率是 4/40 = 1/10 = 0.1，因为 40 张彩票中有 4 张属于他。
假设他赢得了一等奖，就只剩下 39 张彩票，其中 3 张仍属于乔。因此，在已赢得一等奖的条件下，他赢得二等奖的概率是 3/39。
如果他又赢得二等奖，那么在已赢得前两个奖项的条件下，他赢得三等奖的概率是 2/38。
因此，乔赢得全部三个奖项的概率是 4/40 × 3/39 × 2/38 = 1/2470 ≈ 0.000405，即约 0.0405%。也可以说，他赢得全部三个奖项的机会大约是 2470 分之一。
座位排列
普丽娅：作业题都做完了，不过我还有一个出于好奇的问题。今晚 7 点，Southern Gourmet 餐厅有一场晚宴，我想邀请你参加。我希望到场的有你、我和另外三个人。如果大家随机就座，一共有多少种不同的座位安排？
萨拉：这是两个不同的问题。首先，谢谢你的邀请，我很乐意参加。至于第二个问题，你得告诉我，我们是坐成一排，还是围着圆桌坐。
普丽娅：这有区别吗？
萨拉：有。如果我们坐成一排，普丽娅坐在一端，萨拉坐在另一端，那么我们就不相邻。但如果围着圆桌坐，两端的概念就不存在了，我们仍然可能相邻。
萨拉：如果我们坐成一排，而你第一个到达，你可以从 5 把椅子中任选一把。第二个到达的人就只有 4 种选择，因为你已经占了一把椅子。
普丽娅：对，第三个人有 3 种选择，第四个人有 2 种，最后一个人只有 1 种。我能像计算抛硬币的结果那样，把这些选择的数量相乘吗？
萨拉：可以。虽然这些座位选择并不独立，但根据乘法计数原理，可以把每一步的选择数相乘。
普丽娅：那么一共有 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 种可能的排列。
萨拉：数学上把它写成“5 的阶乘”，记作 5!。如果围着圆桌坐，并把旋转后相同的座位安排视为同一种，那么可能的安排数就是 (5 − 1)! = 4! = 24。
普丽娅：我只是好奇而已。实际上，我想坐在你和我妈妈之间。晚餐见！
挑战题
Southern Gourmet 餐厅想制作一块大招牌：把 SOUTHERN 的字母以所有可能的不同顺序排列，每种排列写一行，再在旁边用大字写出不打乱顺序的 GOURMET。一共有多少种排列？
后来他们改变了主意：用大字写出不打乱顺序的 SOUTHERN，而把 GOURMET 的字母按所有可能的顺序排列。这次有多少种排列？
如果允许这两个单词中的任意一个被打乱，而另一个保持原样，总共有多少种不同的方案？如果两个单词的字母都可以同时打乱，又有多少种组合？你觉得这些制作招牌的计划怎么样？
解答：SOUTHERN 有 8 个字母，而且互不相同。因此有 8P8 种排列。8P8 = 8!/0! = 8! = 40,320。也就是说，这块招牌要为 SOUTHERN 写 40,320 行，而 GOURMET 只写一行。SOUTHERN 的每一行恐怕都会小得难以辨认。
GOURMET 有 7 个字母，而且互不相同。因此有 7P7 种排列。7P7 = 7!/0! = 7! = 5,040。这块招牌就需要为 GOURMET 写 5,040 行，而 SOUTHERN 只写一行。GOURMET 的每一行同样会小得难以辨认。
如果恰好只有一个单词的字母被打乱，而另一个保持原样，则应将两种情况的数量相加：40,320 + 5,040 = 45,360。不过，如果把两个单词都保持原样的情况在两组中重复计算了一次，那么不同的最终字母组合共有 45,359 种。若两个单词都可以任意排列，组合数则为 40,320 × 5,040 = 203,212,800。无论采用哪一种方案，招牌都将大得不切实际！