萨拉聪明又受欢迎
萨拉在高中非常受欢迎。她虽然不是啦啦队队员，全校师生却都认识并喜爱她，一方面因为她聪明，另一方面因为她善良。她帮助过许多同班同学和低年级学生，从不贬低别人。高中最后一年，她每门课的成绩都是第一。当然，也有一些学生嫉妒她，但即使是这些人也对她赞不绝口，因为他们曾经得到过她的帮助。正因如此，她被选为毕业生代表。毕业典礼上，她发表了演讲，在学校里更加出名了。
萨拉爱着约翰尼。他们交往已经将近四年。约翰尼也很受欢迎，不仅因为他热爱运动、性格开朗，还因为同学们都知道，过去两年里，他从一个成绩只有 C 等的学生，进步为平均成绩超过 85% 的学生。他也和萨拉一起毕业了。
萨拉和约翰尼的联合毕业派对
萨拉的父母为女儿的成就感到非常骄傲。几乎一手把萨拉带大的奶奶更是自豪。奶奶提议为萨拉举办一场难忘的毕业派对，并愿意承担费用。约翰尼的妈妈也想为儿子举办一场盛大的毕业派对。萨拉和约翰尼提议把两场派对合并，因为两边邀请的客人反正几乎一样。萨拉的奶奶和约翰尼的妈妈欣然同意。奶奶还建议只邀请萨拉和约翰尼的朋友，不必邀请父母及其朋友，让年轻人尽情玩乐。不过，她不希望萨拉因为派对而在外过夜。
大家商定了日期和时间，并预订了场地。派对地点其实是酒店的一间会议室。房间的一面墙上有一块大屏幕，还配备了播放照片和电影的全部设备。整个房间都由他们使用。
怎样缩小邀请名单？
萨拉和约翰尼不想邀请所有人，只想请几位最亲密的朋友。他们决定派对总共只有 12 人，包括他们自己。问题是，两个人都很受欢迎，却只能再邀请 10 个人，该怎样筛选名单呢？
萨拉：学校里有 50 位朋友希望我邀请他们。
约翰尼：我也一样。那么我们一共有 100 位朋友，却只能从中邀请 10 位。你知道从 100 人中选 10 人，一共有多少种不同的组合吗？
萨拉：你是在开玩笑，还是当真想算一算？
约翰尼：只是好奇。不过我确实想知道。
萨拉：你以前学过这类数学问题吗？
约翰尼：我想没有。你知道我选过哪些课。
萨拉：如果你真有兴趣，我就和你一起算。不过为了容易理解，我们先从一个很小的例子开始。假设有 7 个人，要邀请其中 5 人。先看看谁坐在第 1 号座位上。
约翰尼：7 个人中的任何一个都可以坐第 1 号座位，这没什么难的。
萨拉：所以有 7 种可能。对于其中每一种情况，第 2 号座位又有多少种可能呢？
约翰尼：第 2 号座位有 6 种可能，因为已经有一个人坐在第 1 号座位了。我明白了，接着第 3 号座位有 5 种可能，以此类推，最后一个座位只有 3 种可能。
萨拉：所以总共有 7 × 6 × 5 × 4 × 3 种可能。在数学中，我们使用“阶乘”这个概念。整数 n 的阶乘是 n × (n−1) × (n−2) × …… × 1，写作 n!。我们刚才讨论的座位排列叫作排列，记为 7P5。
7P5 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) = 7!/2! = 2520
约翰尼：可是我们不在乎谁坐在哪张椅子上，只在乎邀请谁。
萨拉：我知道，我正要说到这一点。我们一步一步来。现在假设有 5 个人和 5 个座位。
约翰尼：和刚才一样，第 1 个座位有 5 种可能，第 2 个有 4 种，第 3 个有 3 种，第 4 个有 2 种，第 5 个只有 1 种。所以座位安排的总数就是 5!。
萨拉：现在回到从 7 人中邀请 5 人的问题。我们已经知道，选定的 5 位朋友有 5! 种座位安排。而从 7 人中选出 5 人并安排座位的总数是 7P5。如果不关心谁坐在哪里，只关心邀请谁，就可以用 7P5 除以 5!。所以，仅考虑邀请名单时，组合数是：
7C5 = 7P5/5! = 2520/5! = 21
约翰尼：原来从 7 人中邀请 5 人，就有这么多不同的组合。我试试看能否把你的方法推广到一般情况：从 n 位朋友中邀请 r 位。
如果考虑座位的排列顺序，写作：nPr = n!/(n−r)!
如果不考虑座位顺序，只考虑选人的组合，写作：nCr = n!/((n−r)! × r!)
萨拉：亲爱的约翰尼，你学得真快。
约翰尼：我们有 100 位朋友，却只想邀请 10 位。出于好奇，这该怎么算？也就是 n = 100，r = 10。
萨拉：100C10 = 100!/(10! × 90!)，这是一个很大的数字。100! 大得会让许多计算器显示错误信息。我用笔记本电脑上的程序计算 100C10。答案约为 1.73 × 1013，也就是超过 17 万亿种组合。记住，这只是邀请名单的组合数，还没有考虑座位安排。如果连座位顺序也算进去，数字会更大：100P10 = 100!/90!，约为 6.28 × 1019。
好奇心到此为止
约翰尼：这个好奇心可真够折腾的。我们把问题简化一下吧。你从自己的 50 位朋友中选 5 位，我从我的 50 位朋友中选 5 位。这样，邀请名单的可能组合会少一些吗？
萨拉：光是我自己的邀请名单，就有 50C5 = 50!/(5! × 45!) = 2,118,760 种组合。你的名单也一样。假设我们的朋友名单没有重叠，那么两个人合起来的组合数是 2,118,760 × 2,118,760，约为 4.49 × 1012。这比 1.73 × 1013 略小，但仍然是我们不想处理的庞大数字。
约翰尼：看来这样根本行不通。而且我们应该邀请自己最喜欢的朋友。为什么不干脆每人选出最亲近的 5 个人呢？
萨拉：没那么简单。如果邀请一位朋友，要不要同时邀请他或她的女朋友或男朋友？
约翰尼：当然要。不过这样我们每个人就只能邀请两位朋友以及他们各自的伴侣。每人还剩下一个名额。能不能邀请一个没有交往对象的人？
萨拉：如果其他人都带着伴侣，只有他们单独来，他们会有什么感受？
约翰尼：那么只剩下两个选择。第一，我们共同再邀请一对情侣。
萨拉：另一个呢？
约翰尼：邀请书呆子乔和皮特。他们俩是好朋友，不会在乎别人是不是带着伴侣来。而且他们还挺有趣的。
萨拉：好吧。先告诉我，你想邀请哪两位朋友。
最终邀请名单与座位安排
约翰尼说出了两位朋友的名字，然后萨拉也选了两位。这样，邀请名单就没有重复的人了。
萨拉：我们要不要规定座位安排？房间的一侧留出空位，好让大家都能看到屏幕。因此座位不用排成圆圈。如果随意安排 12 人的座位，就有 12P12 种可能。你知道，这个数字接近 5 亿。而且即使让大家随便坐，也不可能真正随机。一起到场的情侣多半会坐在一起，乔和皮特也会如此。
约翰尼：不如规定每个人都和自己的伴侣坐在一起，乔和皮特也坐在一起。这样就相当于安排 6 组人，座位安排共有 6P6 种可能。
萨拉：那是 720 种。不过你的计算有个漏洞。我们还没有决定每对情侣中男生坐右边、女生坐左边，还是反过来。每一对都可能有自己的选择。如果考虑这一点，原文把可能数写成 720 × 720，也就是超过 50 万种排列。
约翰尼：如果我们不留出空位，而是围成一个圆圈坐呢？可能的安排会更多还是更少？
萨拉：如果直线排列有 n! 种，那么对应的圆形排列就有 (n−1)! 种。这样，6 组人的排列数从 6! 变成 5!，也就是 120 种。不过，如果还要区分每对人谁坐左边、谁坐右边，原文计算为 120 × 120 = 14,400 种。
约翰尼：真让人糊涂。我们就这样安排，还是再增加一些座位条件？
萨拉：不如我坐在你左边，乔坐在我的正对面，皮特坐在你的正对面。我邀请的朋友坐在我左侧，你邀请的朋友坐在你右侧。这样大家可能更自在。
约翰尼：假设每对情侣都挨着坐，你那一边有 4 种安排，我这一边也有 4 种，一共就是 16 种可能。
萨拉：你觉得可以吗？
约翰尼：我可以接受。
所有客人都收到了邀请，也都来参加了派对。大家享用了一顿丰盛的晚餐，花了好几个小时回忆高中时代的点点滴滴。有些人还带来了保存在不同媒体上的活动录像，播放给大家看。所有人都玩得很开心，笑声不断。
乔讲了一个笑话
一位数学教授问妻子，密码锁的数字组合是什么。妻子说：“35—25—15。”教授试了试，告诉妻子密码打不开锁。妻子问：“你输入的是哪些数字？”教授说：“15—25—35。”妻子说：“亲爱的，我真不知道该拿你怎么办！”皮特听后哈哈大笑：“哈哈，原来‘组合’也有顺序啊！”
挑战题
挑战 1：计算 50001!/49999!。
解答 1：不能简单地用计算器分别求出两个阶乘再相除。你可以试试，数字太大，计算器会报错。我们这样做：
50001!/49999! = (50001 × 50000 × 49999!)/49999! = 50001 × 50000 = 2,500,050,000。
挑战 2：本学期你必须选修 5 门课。可选课程共有 8 门，但英语是必修课。你一共有多少种选课组合？
解答 2：因为英语是必修课，所以在计算剩余课程和选择数量时，都不把它算进去。因此，你需要从另外 7 门课中选 4 门。组合数为：
7C4 = 7!/(4! × (7−4)!) = (7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) = 35。
超级挑战
问题：5099 和 99!，哪一个更大？
解答：5099 = 502 × 502 × …… × 502 × 50（其中 502 出现 49 次）。
99! = 99 × 98 × 97 × …… × 3 × 2 × 1
= (99 × 1) × (98 × 2) × (97 × 3) × …… × (52 × 48) × (51 × 49) × 50。
因此，5099/99! =
502/(99 × 1) × 502/(98 × 2) × …… × 502/(51 × 49) × 50/50。
所有分子为 502 的分数都大于 1，而 50/50 = 1。
所以 5099/99! > 1，即 5099 > 99!。