约翰尼对萨拉隐瞒了一个秘密

萨拉爱着约翰尼。他们交往已经将近四年了。甚至在学年结束之前很久，两人就为亲密的朋友联合举办了一场盛大的高中毕业派对。他们几乎会把生活中发生的一切都告诉对方——注意，是“几乎”。生活一直照常进行，直到有一天，萨拉放学后来到约翰尼家，两人坐着聊天时，发生了一次争吵。

约翰尼：我很高兴自己在学校成绩这么好，这很大程度上要感谢你。我告诉过你，爸爸希望我去XYU大学，而且我已经被录取了。

萨拉：是啊，我知道。我也想进入ZYU大学的科学专业，上星期收到了录取通知书，你也知道。我很早就告诉过你，奶奶给过我一笔钱，父母也一直在为我存教育基金。这些钱加起来应该至少能支付70%的费用。如果还不够，奶奶也愿意帮忙。我可能还会获得大学的优秀学生奖学金。

约翰尼：对，你差不多两年前就告诉过我教育基金的事。那时我也告诉你，我父母给我准备了类似的基金。不过，我还有一笔从没告诉过你的秘密存款。

萨拉生约翰尼的气了

萨拉：我们什么时候开始互相保守秘密了？我一直把自己的一切都告诉你——想上哪所大学、谁来支付学费、父母是怎么认识的、奶奶的事，还有其他所有事情。你为什么要瞒着我？我要回家了。

萨拉气冲冲地离开了。约翰尼打电话给她，她却总是挂断。她不明白约翰尼为什么要保密。平时她是个情绪稳定、通情达理的人，但她实在无法接受约翰尼对自己隐瞒事情。她心想：“他还有什么秘密？如果他背着我还有别的女朋友，那就让他见鬼去吧！”几天过去了，她始终不跟约翰尼说话，甚至改变上下学的路线，以免碰见他。

几天后，萨拉正在家里，门铃响了。来的是约翰尼，奶奶已经让他进来了。他手里拿着一张纸。

约翰尼：萨拉，对不起。我早就应该告诉你了。这就是我一直没说的事。

萨拉：你为什么不告诉我？上面说你有的钱比教育基金里的还多得多。约翰尼，你以为我会嫉妒你吗？我真心为你高兴，可你为什么要保密？

约翰尼：因为我太笨了。我看不懂上面写的是什么意思。

年利率5%，连续复利

萨拉：这里写着，你出生时有人送给你一万美元，并把它存进银行。银行按年利率5%计算连续复利，直到你把钱取出来。

约翰尼：我就是不懂“连续复利”是什么意思。我从来没听说过，所以才觉得自己太笨，不敢跟你谈。

萨拉：过来，亲爱的。

萨拉给了约翰尼一个长吻，然后说：我爸爸以前跟我讲过这个。我也不是完全明白，不过我们可以一起弄清楚。

约翰尼松了口气，觉得自己并没有那么笨。原来连他崇拜的数学天才萨拉也不懂这个问题，而她的平均成绩可是98%！他不是唯一不懂的人。两人聊了一会儿，又亲热了一阵，约翰尼便回家了。第二天早上，萨拉不再躲着约翰尼，两人一起去上学。萨拉告诉他，她已经问过爸爸，爸爸把整个问题解释给她听了。不过需要一点时间，他们可以放学后再谈。放学后，萨拉跟约翰尼回到他家，两人吃了些零食，喝了汽水，开始讨论约翰尼的“连续复利”之谜。

萨拉：爸爸的解释用到了一些基础代数，还有我们筹备毕业派对时讨论过的东西。

约翰尼：什么？是从我们的一百个朋友里邀请谁，还是让谁坐在谁旁边？

二项式展开

萨拉：都有关系，主要是组合。不过我们先从你知道的东西开始。你说，(a + b)² 等于多少？

约翰尼：很简单。分别用 a 和 b 乘以 a+b，再把结果加起来：

(a + b) × a = a² + ab；(a + b) × b = ab + b²；然后相加：

(a+b) × (a+b) = a² + 2ab + b²。

萨拉：我们可以通过选择 b 的不同组合来确定 a²、ab 和 b² 各项的系数。从两个括号中，每次都可以选择 a 或 b。一次也不选 b，就得到 a²，其系数是 ²C₀ = 2!/(2!0!) = 1。恰好选一次 b，有两种选法，所以 ab 的系数是 ²C₁ = 2!/(1!1!) = 2。两次都选 b，就得到 b²，其系数是 ²C₂ = 2!/(0!2!) = 1。

约翰尼：我用刚才的方法就能算出答案，何必这么折腾呢？

萨拉：约翰尼，我是想找出一个规律。现在，(a+b)³ 等于什么？

约翰尼：还是用同样的方法，把三个 (a+b) 相乘就行了。或者既然知道 (a+b)² = a² + 2ab + b²，我可以这样算：

(a² + 2ab + b²) × a = a³ + 2a²b + ab²

(a² + 2ab + b²) × b = a²b + 2ab² + b³

把两式相加，得到：

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。

萨拉：规律是一样的。a³ 的系数是 ³C₀ = 1；a²b 的系数是 ³C₁ = 3；ab² 的系数是 ³C₂ = 3；b³ 的系数是 ³C₃ = 1。

约翰尼：我懂了，可这有什么了不起的？

萨拉：既然知道这个规律，我们来展开 (a+b)⁶。你按自己的方法逐次相乘，我按这个规律算，看看谁先得出答案。

萨拉很快写下：

(a+b)⁶ = ⁶C₀a⁶ + ⁶C₁a⁵b + ⁶C₂a⁴b² + ⁶C₃a³b³ + ⁶C₄a²b⁴ + ⁶C₅ab⁵ + ⁶C₆b⁶

= a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶。

约翰尼费了一番功夫，终于算出了相同的答案，但他说：“萨拉，我知道你比我聪明，可你到底想证明什么？”

萨拉：这个规律可以一直延续下去。因此我们可以写成：

(a+b)ⁿ = ⁿC₀aⁿ + ⁿC₁a^n-1b + ⁿC₂a^n-2b² + … + ⁿC_n-2a²b^n-2 + ⁿC_n-1ab^n-1 + ⁿC_nbⁿ。

这也可以用二项式定理来概括：

约翰尼：我懂了，可这跟我的连续复利问题有什么关系？

复利

萨拉：如果本金是1，每个计息期的利率是 b，一共复利计算 n 次，那么最后的金额就是 (1+b)ⁿ。

约翰尼：对，这就是复利的基本原理，我知道。

萨拉：你的年利率是5%。如果存入一美元，第一年年底就有 (1+0.05) 美元；第二年年底就有 (1+0.05)² 美元。同样，存满20年就有 (1+0.05)²⁰ 美元。

约翰尼：我知道。我已经用计算器算过，1.05²⁰ = 2.6533。因此我的一万美元会变成26,533美元。这根本用不着二项式定理。

萨拉：如果我告诉你还能拿到更多钱，你会高兴吗？还是说多出来的钱应该归我？

约翰尼：当然不能归你！银行会算清楚，如果我应得更多利息，他们就会付给我。

萨拉：你听说过有些银行宣传年利率5%，但每个月计算一次复利吗？

约翰尼：听说过。那么月利率就是0.05除以12，即0.004166667；20年共有20×12=240个月。这样就要展开 (a+b)ⁿ，其中 a=1，b=0.05/12=0.004166667，n=240。哇，这么多次复利！如果逐次相乘，要算很多遍。现在我明白二项式展开有什么用了。按月复利，我能得到10,000×(1.00416667)²⁴⁰，约为27,126美元，比原先算的多593美元。萨拉，按月复利让我多赚了593美元！

萨拉：如果按天复利，每天的利率就是0.05除以365，20年要计算7,300次。你算算 (1+0.05/365)⁷³⁰⁰ 等于多少？

约翰尼兴奋起来，打开笔记本电脑计算。(1+0.05/365)⁷³⁰⁰ 约等于2.7181，因此按天复利可以得到27,181美元，比按月复利的27,126美元还多。他开始好奇，如果每小时都计算复利会怎样，于是问萨拉。

萨拉：何必停在每小时呢？假设银行每秒都计算一次复利吧！管它实际上会不会这么做，想想还能多赚多少不是很有趣吗？

约翰尼算出，每秒的利率非常微小，为0.05/(365×24×3600)，但20年内要计算20×365×24×3600=630,720,000次复利，真是个惊人的数字！他算出最终金额约为10,000×2.71828，即27,183美元，只比按天复利多约两美元。

欧拉数与二项式展开

萨拉：你看，即使每秒计算一次复利，也不会多赚多少。还可以把计息间隔缩短到微秒，让复利计算频率再增加一百万倍。你会发现，金额并不会无限增长。现在把 a 写成1，把 b 写成1/n，那么：

由于 1^n-k=1，(1+1/n)ⁿ 等于从 k=0 到 n 的各项 ⁿC_k(1/n)^k 之和，也可以写成：

当 n→∞ 时，(1+1/n)ⁿ 的极限是：

1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + …

这个无穷级数的和称为欧拉数，记作 e。它是一个无理数，近似值为2.7183。所以，对于年利率5%、存期20年的一万美元，连续复利的最终金额约为27,183美元。这是计息间隔趋近于零时的极限金额。

约翰尼：我有两个问题。第一，这就是我们学习对数函数时谈过的那个欧拉数吗？

萨拉：是的。自然对数以 e 为底，而常用对数以10为底。第二个问题是什么？

约翰尼：我们一直按20年计算。如果我现在就想取钱呢？从存款开始到现在只有18年。

连续复利公式

萨拉：连续复利可以用下面的公式计算：

A = Pe^rt，其中 P 是本金，r 是年利率（对你来说是5%，即0.05），t 是以年为单位的时间，A 是包括利息在内的最终金额。

约翰尼：那么 r=0.05，t=18年时，我只能得到24,596美元；如果 t=20年，就有27,183美元。我还算出，如果50年后才取钱，就会有121,825美元。

萨拉：是这样，不过你很幸运，我也跟爸爸讨论过接下来的问题。

约翰尼：什么问题？

所得税难题

萨拉：所得税。你现在18岁，还在上学，几乎没有其他收入。像这样的赠款本金通常不需要缴纳所得税，但赚取的利息可能属于应税收入。

约翰尼：如果现在取钱，24,596美元减去最初的10,000美元，累计利息就是14,596美元。我不知道要交多少税。

萨拉：这要看利息以前是如何申报的，以及账户适用什么税务规则。利息不一定要等到取款时才纳税。以后你可能还有奖学金收入和工作收入，情况会更复杂。

约翰尼：所以你是说我应该现在把钱取出来？

萨拉：我可没这么说。你可以考虑把符合条件的部分存入免税储蓄账户。不过，你得先确认自己是否有足够的供款额度，以及这笔存款和利息的税务情况。账户里未来的投资收益才可能享受免税待遇。

约翰尼：但如果以前赚的利息需要交税，我可能得用别的钱来支付。

萨拉：跟你爸爸谈谈吧。我真惊讶你们还没聊过这件事。我相信他会乐意帮你弄清楚。这样你就可能两全其美了。

约翰尼：谢谢你，萨拉。我真的很抱歉一直瞒着你。我会跟爸爸谈的。

萨拉：我倒觉得，你可以把符合规定的存款留在免税储蓄账户里，等将来我们一起买房子时再取出来。开玩笑啦！

约翰尼说她真是个机灵鬼，然后紧紧抱住她，给了她一个长吻。

挑战题

11年级学生法拉坐在学校食堂里，和朋友们聊天。她正得意地谈论自己的遗产。祖父留给她120,000美元，在她10岁生日时存入银行，但要等到18岁生日才能完全支配。这笔钱按5%的年利率、每年复利一次计息。请利用二项式展开，求她18岁生日时账户中的金额。

解答：由于年利率为5%，每年复利一次，n 年后的金额为120,000×(1+0.05)ⁿ。

二项式展开公式为：

(a+b)ⁿ = ⁿC₀aⁿ + ⁿC₁a^n-1b + ⁿC₂a^n-2b² + … + ⁿC_n-2a²b^n-2 + ⁿC_n-1ab^n-1 + ⁿC_nbⁿ。

取 a=1，n=18−10=8，得到：

⁸C₀ + ⁸C₁b + ⁸C₂b² + ⁸C₃b³ + ⁸C₄b⁴ + ⁸C₅b⁵ + ⁸C₆b⁶ + ⁸C₇b⁷ + ⁸C₈b⁸

= 1 + 8b + 28b² + 56b³ + 70b⁴ + 56b⁵ + 28b⁶ + 8b⁷ + b⁸。

令 b=0.05，得到 (1.05)⁸ ≈ 1.477455。因此金额为120,000×1.477455 ≈ 177,295美元。

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