这次轮到萨拉的妈妈讲故事了
奶奶经常给萨拉讲故事或唱摇篮曲，哄她入睡。即使萨拉已经是十几岁的少女，有时仍坚持要听。这一次，奶奶去探望亲戚，要离开几天。萨拉睡不着，便去找妈妈，请她讲一个自己从未听过的故事。妈妈不习惯做这件事，因为这通常是奶奶的任务，可萨拉坚持不肯让步。最后，妈妈答应了。事情是这样的。
妈妈：这是一个古老的印度故事。我上高中时在一本杂志上读到过，不知道是不是真的。
萨拉：快讲吧，妈妈！就算是编出来的也没关系。
妈妈：从前，印度有一位国王，特别喜欢别出心裁的礼物。有一天，一个人送给国王一张设计独特的地毯。我当时很喜欢它的图案，还请爸爸帮我把杂志上的图片复印下来。你看，就是这张（图6.1）。你刚才让我讲故事时，我特意从房间里把它找了出来。
萨拉：妈妈，这张地毯的图案看起来像条形码之类的东西。
妈妈：也许确实有点像。那个人运用了十进制数字的位值概念，凭借自己的智慧，并请一位技艺精湛的织毯工匠帮忙。他在地毯上排列数字，使1到10之间的距离、10到100之间的距离，以及100到1000之间的距离都相同。这是一种表示数字的新方法。然而，国王早已习惯了普通的数字排列方式：1到2的距离与2到3的距离相同，而1到10的距离则长得多。他认为这种新方法会让普通人困惑，于是打发那个人离开，没有进一步鼓励他。不过，国王心地善良，还是给了他一小笔奖赏。事情就这样结束了。
到了十六世纪，苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier）重新发明了这种体系。
萨拉：谢谢妈妈讲这个故事。我们每天谈到毫升、厘升、分升和升的时候，不也会用到十进制逐级变化的概念吗？
萨拉睡着了，但第二天她把这个故事讲给了约翰尼。
约翰尼：你妈妈和奶奶都很会讲故事。毕竟，你妈妈是你奶奶的女儿嘛。
萨拉：不对，她不是奶奶的女儿，而是奶奶的儿媳妇。算了，你昨天说自己很沮丧。发生什么事了？
绘制指数数据的图像
约翰尼：还记得你奶奶讲过的沙阿叔叔的故事吗？沙阿叔叔给奶奶的钱可以用指数函数 f(t) = Cinitial × 2t 表示。他从一美元开始，每年把金额翻一番，一直到奶奶14岁。我想看看这个函数的图像是什么样子，所以根据故事列出了金额表，然后尝试作图（图6.2和图6.3）。
首先，我使用普通方格纸，把年数放在X轴上，美元金额放在Y轴上。X轴范围设为0到14，Y轴范围设为0到20,000。Y值大于1000的点很容易标出，但Y值很小时，就很难看清应该把点画在哪里。我又把Y轴的范围改为0到20。这样，金额不超过16的点就容易标出了，但更大的数值又没有地方画。我十分沮丧，觉得根本找不到一种能容纳所有数据点的刻度。
神奇的方格纸
萨拉：约翰尼，妈妈故事中最精彩的部分还在后面呢。她给了我一种根据这个原理制作的神奇方格纸。亲爱的约翰尼，这种神奇方格纸正好能解决你的作图难题。你用的方格纸上，X轴和Y轴都是线性刻度。例如，在你的Y轴上，1000美元到10000美元的距离，大约是1美元到10美元距离的1000倍。而在神奇方格纸上，1到10的距离与1000到10000的距离相同。也就是说，每一个十倍区间的距离都相等。妈妈称它为半对数坐标纸，简称半对数纸。之所以叫“半”，是因为其中一条轴和你原来使用的一样，是线性刻度；另一条轴则是对数刻度。我把刻度设为从1到100000，并画出了全部14年的数据。
约翰尼：太妙了！替我谢谢你妈妈。不过我有一个问题：在这种纸上，1美元和2美元之间的距离是怎样确定的？
萨拉：纸上已经画好了那些线，但我们还得弄清楚这些线的位置是怎么计算出来的。不过，我有一个想法。
约翰尼：我看你画了三张图。
萨拉：是的。第一张是我手工画的，有点乱（图6.4）。它表示沙阿叔叔每年给奶奶的钱，一直到她14岁。记得吗？她出生时得到1美元，第二年2美元，再下一年4美元，以此类推，到第14年达到16384美元。你可以在这张图上看到每一年的金额。
约翰尼：另外两张图呢？
萨拉：约翰尼，你以前用电脑程序画过很多图。我也用了同样的方法，但发现笔记本电脑上的绘图程序允许选择坐标轴类型——线性或对数。我把X轴设为线性，Y轴设为对数，然后用同样的数据画出了图6.5。
约翰尼：哇！这些图像都是斜率为正的直线。不过第三张图的斜率是负的（图6.6）。
萨拉：第三张图表示阿什莉有128克糖果，而且每天可以吃掉剩余糖果的一半。两种情况都可以用指数函数表示，只不过一个呈指数增长，另一个呈指数衰减。在半对数图上，它们都变成了直线：增长时斜率为正，衰减时斜率为负。
约翰尼：真棒！不过我还有那个问题：刻度上2、3、4等数字对应的线究竟是怎么确定的？
萨拉：我们得查资料才知道。我记得课本里有一章专门讲对数。改天再研究，好吗？
挑战题
十年级学生托尼·戈迪托（Tony Gordito）正和朋友们坐在学校食堂里，一边吃东西一边聊天。切尔西（Chelsea）说，她准备在那个周末参加一场5公里长跑，为癌症基金会筹款。托尼说，也许自己也应该参加。大家都笑了，因为他们认为托尼根本跑不下来。切尔西问：“你能跑多快？”托尼反问：“你跑5公里需要多少分钟？”切尔西回答：“22分钟。”托尼宣布，明年他也要参加比赛，并跑出比她22分钟更好的成绩。既然已经夸下海口，托尼就到跑道上开始训练。他尽可能快地走路，偶尔穿插慢跑，最终用60分钟完成了5公里。他打算每周练习两三天，并让每周所需的时间比上一周减少2%。如果托尼坚持训练，你认为52周后，他能否在22分钟以内跑完5公里，战胜切尔西？托尼把这件事告诉了数学老师克莱门汀夫人。老师说：“一图胜千言。你为什么不在方格纸上每隔四周画出一次自己的成绩呢？哦，对了，一定要用直尺画出一条合适的直线。”
解答：托尼最初跑完5公里用了60分钟。每过一周，他的用时比前一周减少2%。因此，n周后的用时为 60 × (1 − 0.02)n，即 60 × 0.98n。为了得到一条直线，托尼需要把5公里跑步时间画在对数刻度上。他找来一张单周期半对数坐标纸，按照图示绘制数据。图中的箭头清楚地表明，他的成绩超过了切尔西的22分钟（图13.2）。
