凯茜和萨拉
凯茜和萨拉从记事起就是好朋友。如今她们都17岁了，虽然各自有男朋友，友情却依然深厚。她们常常坐在一起闲聊。
凯茜：戴夫刚拿到驾照。我们打算开车去兰利公园庆祝一下，到了那里再开回来。
萨拉：太好了！你们打算走哪条路？
凯茜：戴夫给我看了一条穿过乡村的风景优美的路线，车流量很少。他说去的时候要慢慢开，以每小时40公里的速度欣赏风景，回来时则开每小时60公里。虽然限速是50公里，但开到60公里也不会收到超速罚单。你和男朋友约翰尼要不要一起来？
萨拉：我问问约翰尼。你们什么时候去？
凯茜：明天。
萨拉打电话给约翰尼，然后告诉凯茜：我们想去，不过还是让你们这对小情侣单独相处吧。
凯茜：这是什么意思？
分乘两辆车
萨拉：约翰尼想开自己的车，我跟他坐一辆，你们坐戴夫的车。我们走同一条路线。而且他不喜欢去的时候开得太慢、影响其他车辆，回来时又超速。即使不会收到罚单，他还是想往返都以每小时50公里的速度行驶。
凯茜：随你们便，不过我们还是欢迎你们坐我们的车。
萨拉：旅行结束后我们还可以聚一聚。既然我们会比你们早10分钟回来，就顺便给你们买好咖啡。
凯茜怎么也想不明白，萨拉为什么会早10分钟回来。我们去时开40公里，回来开60公里，而他们往返都开50公里，走的还是同一条路。她一定是疯了！
第二天，他们果然出发了。正如萨拉所说，凯茜和戴夫确实晚了10分钟回来。凯茜仍然无法理解，甚至怀疑萨拉他们作弊了。萨拉坚称，他们往返都严格保持每小时50公里。
你怎么看？
兰利公园究竟有多远？
萨拉的笑话
两位政治人物正在电视上争论。政治人物A说，他们赢得选举的概率有90%。B则说，A获胜的概率是0%。主持人十分困惑，试图调解，说实际概率也许是这两个数的某种平均值。B反驳道：“我敢打赌，那肯定不是算术平均数——也许是几何平均数或调和平均数。”
挑战题
设 x 和 y 是两个正实数。
证明：几何平均数 ≤ 算术平均数。
证明：调和平均数 ≤ 算术平均数。
请记住：算术平均数 = (x+y)/2
几何平均数 = √(xy)
调和平均数 = 2/(1/x + 1/y)。
解释与挑战题解答
故事解析：首先，把这个问题看作一道简单的代数应用题。
假设兰利公园距离出发地 d 公里。
凯茜和戴夫去程的速度为40公里/小时，需要 d/40 小时；返程的速度为60公里/小时，需要 d/60 小时。因此，总时间为：
d/40 + d/60 = 3d/120 + 2d/120 = 5d/120 = d/24 小时。
因为1小时有60分钟，我们可以乘以60，得到：
60d/24 分钟 = 5d/2 分钟 = 25d/10 分钟。
萨拉和约翰尼往返都以50公里/小时行驶，因此所需时间为：
d/50 + d/50 小时 = 2d/50 小时 = 120d/50 分钟 = 24d/10 分钟。
24d/10 分钟 < 25d/10 分钟。所以萨拉说得对，他们会先回来。
两组人的行程时间差为：
25d/10 − 24d/10 = d/10 分钟。
萨拉说他们会早10分钟回来，也就是说：
d/10 = 10，因此 d = 100 公里。
为了确认答案，我们再验算一次。兰利公园距离出发地100公里。萨拉一组去程需要100/50小时，返程也需要100/50小时，总计4小时，即240分钟。凯茜和戴夫去程需要100/40小时，返程需要100/60小时，总计：
100/40 + 100/60 = 300/120 + 200/120 = 500/120 = 25/6 小时，即250分钟。
由于萨拉和约翰尼用了240分钟，他们确实比另一组早10分钟回来。答案得到验证。
你可能会问：40和60的平均数是50，而另一组的速度也是50，为什么两组所花的时间不一样呢？答案是：两个速度的算术平均数，并不一定等于整个往返行程的平均速度。对于往返距离相等的两段路程，平均速度等于两个速度的“调和平均数”。
凯茜和戴夫的总行驶时间为 (d/40 + d/60) 小时。因为他们在这段时间里共行驶了2d公里，所以平均速度为 2d/(d/40 + d/60) = 2/(1/40 + 1/60) = 48公里/小时。这就是40和60公里/小时的调和平均数。
萨拉和约翰尼的调和平均数为 2/(1/50 + 1/50) = 50公里/小时。
挑战题
证明：几何平均数 ≤ 算术平均数。
证明：调和平均数 ≤ 算术平均数。
算术平均数 = (x+y)/2
几何平均数 = √(xy)
调和平均数 = 2/(1/x + 1/y)
证明：几何平均数 ≤ 算术平均数
假设 x 和 y 都是正实数。
当 x = y 时，(x − y)2 = 0。
当 x ≠ y 时，(x − y)2 > 0，因为任何非零实数的平方都是正数。
因此，在所有情况下，(x − y)2 ≥ 0。
也就是说，x2 + y2 − 2xy ≥ 0。
等式两边各加4xy，然后两边同除以4：
x2 + y2 − 2xy + 4xy ≥ 4xy，即 (x+y)2 ≥ 4xy，因而 (x+y)2/4 ≥ xy，亦即 ((x+y)/2)2 ≥ xy。
两边取平方根，得到 (x+y)/2 ≥ √(xy)，也就是 √(xy) ≤ (x+y)/2。因此，几何平均数 ≤ 算术平均数。
证明：调和平均数 ≤ 算术平均数
假设 x 和 y 都是正实数。
当 x = y 时，(x − y)2 = 0。
当 x ≠ y 时，(x − y)2 > 0，因为任何非零实数的平方都是正数。
因此，在所有情况下，(x − y)2 ≥ 0。
这意味着 x2 + y2 − 2xy ≥ 0。
两边各加4xy，得到 x2 + y2 − 2xy + 4xy ≥ 4xy，即 (x+y)2 ≥ 4xy。
两边同除以正数 2(x+y)，得到 (x+y)/2 ≥ 2xy/(x+y)。
将右边分子和分母同时除以 xy，得到：
(x+y)/2 ≥ 2/(1/y + 1/x)，即 2/(1/x + 1/y) ≤ (x+y)/2。
根据调和平均数 2/(1/x + 1/y) 和算术平均数 (x+y)/2 的定义，我们证明了：调和平均数 ≤ 算术平均数。