怎样确定 2、3、4……的对数值？
约翰尼：我很高兴学会了使用半对数坐标纸，但我还有一个问题：对数刻度上，2、3、4 等数字对应的刻度线究竟是怎样确定的？
萨拉：我们得查查资料。我想课本里有一章专门讲对数。我们改天再讨论，好吗？
于是，约翰尼高高兴兴地回家了，因为萨拉妈妈那张神奇的半对数坐标纸帮了他大忙。他匆匆翻了翻代数课本，随后又忙起了别的事。第二天早上，萨拉和约翰尼像往常一样步行上学，约翰尼又提起了前一天的讨论。不过萨拉建议晚些时候再谈。放学后，两人一起走回家，约翰尼问萨拉愿不愿意到他家待一会儿。萨拉当然乐意和自己心爱的男孩在一起，于是答应了。他们来到约翰尼家，喝了些汽水，又看了一会儿电视。
萨拉看了看手表，说：约翰尼，我一个小时后必须回家，因为我们全家要出去吃晚饭。所以我们最好把昨晚没讨论完的问题解决掉。
约翰尼：我看了代数课本，可是完全看不懂，所以就不看了。
萨拉：没关系。不过我想看看你还记得多少初中学过的知识。
约翰尼：我的数学一直不好，不过你问吧。
反函数
萨拉：你记得加法的逆运算是什么吗？
约翰尼：我还没那么笨！当然记得，加法的逆运算是减法。我还记得乘法和除法、平方和平方根这样的逆运算。不过这跟指数有什么关系？
萨拉：指数运算的逆运算就是对数。我们可以写成：
y = 10m，或者 m = log10 y。这两种写法表达的是同一件事。
约翰尼：你为什么写 log10，而不直接写 log 呢？
萨拉：因为我们使用十进制，所以考虑以 10 为底的幂，比考虑其他底数的幂更方便。因此我们常用以 10 为底的对数，写作 log10。从现在开始，我只写 log 时，指的就是 log10。
约翰尼：指数运算法则怎样应用于对数？
萨拉：100 = 102，所以 log 100 = 2。
约翰尼：你的意思是 log 1000 = 3。100 × 1000 = 105，因此 log 105 = 5。我们知道 10m × 10n = 10m+n。因为 log 10m = m，log 10n = n，所以 log (10m × 10n) = m + n。我不明白为什么课本不这样简单地解释。这样就容易理解多了。
萨拉：你用的是以 10 为底的幂，其实可以使用任何合适的底数，写成：
am × an = am+n。因此 log (am × an) = log am+n，也就是 log (am × an) = log am + log an。而 log am 也可以写成 m log a。
约翰尼：那我们也可以写 log (j × k) = log j + log k 吗？
萨拉：当然可以。即使有更多因数也一样：
log (j × k × l × …) = log j + log k + log l + …
还有一个额外的法则：log (j/k) = log j − log k。
约翰尼：这是不是说，遇到复杂的乘除法，我们可以先查出各个数的对数，再把对数相加或相减？
萨拉：是的。妈妈告诉我，她读高中时，考试不允许使用计算器，但做复杂的乘除运算时可以使用对数表。
约翰尼：我们还没有讨论 (am)n 的指数法则，不过我觉得它的对数应该是 n log (am)。
萨拉：天才！我真不明白为什么你看不懂课本的对数那一章。你根本没认真读，对不对？
2、3、4……的对数值
约翰尼：我们还有一件事要弄明白。半对数坐标纸上，1 到 10 之间的数字，刻度线到底画在哪里？你说过你有个办法。
萨拉：我不知道数学家最初怎样计算这些数值。他们一定有更精密的方法。不过，我们可以试着估算 2、3、4、5 和 6 的对数。
约翰尼：怎么估算？
萨拉：还记得我们学指数时说过：
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32，而 32 × 32 = 1024，可以近似看作 1000。
约翰尼：我明白了！210 ≈ 1000。因此 log (210) ≈ log (1000)，也就是 10 log 2 ≈ 3，所以 log 2 ≈ 3/10 = 0.3。哇！原来这就是确定神奇坐标纸上第一条刻度线的方法！
萨拉：我刚用计算器核对过，log 2 的实际值约为 0.3010。所以你说得对，天才！
约翰尼：现在算 log 3。我可以写 log (32) = log 25 = 5 log 2。因此：
log (32) = 5 × 0.3010 = 1.505，然后 log 3.2 = 1.505 − 1 = 0.505。所以 log 3 应该比 0.505 略小。它的实际值是多少？
萨拉：log 3 约为 0.4771。你估算得很接近了。4 就简单了，因为 4 = 22。
所以 log 4 = 2 log 2 = 0.6020。那么，你怎样求 log 5？
约翰尼：我又不是傻瓜！幼儿园就教过我：
5 × 2 = 10。所以 log 5 + log 2 = log 10 = 1，因此 log 5 = 1 − 0.3010 = 0.6990。
萨拉：log 6 也很容易，因为 6 = 3 × 2。所以 log 6 = log 3 + log 2。
约翰尼：真没想到我们自己就能算出这些数值。那些研究多年的数学家一定能算得更加精确。
萨拉：那么，问题都解决了吗？
为什么半对数刻度上没有零？
约翰尼：还有一件事让我想不通。半对数刻度上没有零。
萨拉：我想我可以解释。你看，log 10 = 1，log (1/10) = −1，log (1/100) = −2，依此类推。当正数越来越接近零时，它的对数会趋向负无穷。因此 log 0 并没有定义；要在半对数坐标纸上表示越来越接近零的正数，就需要不断向负无穷方向延伸刻度。
约翰尼：我们讨论的都是以 10 为底的对数。其他底数的对数又是怎样的？怎样把它们换算成 log10？
萨拉：以 2 为底的对数很容易理解。根据定义，log2 2 = 1，因为 21 = 2。我们刚才算出 log10 2 ≈ 0.3010。因此，对任何正数 m，都可以写成 log10 m ≈ 0.3010 × log2 m。一般地：
log10 m = logn m × log10 n；等价地，logn m = log10 m / log10 n。（其中 m > 0，n > 0 且 n ≠ 1。）
约翰尼：课本里还有一个词叫“自然对数”。它究竟有什么“自然”的地方？
萨拉：当对数的底数是一个叫 e 的常数时，就称为自然对数。我也不知道 e 为什么这么“自然”，不过它叫欧拉数，数值略大于 2.7。
约翰尼：你问过妈妈吗？
萨拉：问过。她说等我们在代数课上学到二项式时，再来理解它会更合适。
约翰尼：我相信还有很多东西要学，不过现在我已经掌握基本知识了。谢谢你，萨拉。
萨拉回家和家人共进晚餐。后来，在课堂上学习对数时，约翰尼和萨拉都能轻松跟上，也能完成所有作业。
挑战题
约翰逊先生一直为自己的算术基础感到自豪，还常常取笑孩子们没有这些本领。直到有一天，他正在读高中的女儿丽莎问了他一个问题：国际象棋棋盘共有 64 个方格。如果在第一个方格放 1 美元，第二个方格放 2 美元，以后每个方格的金额都是前一个的两倍，那么最后一个方格大约需要放多少钱？
约翰逊先生已经苦思了两个小时。你能帮丽莎解答吗？
解答：第 1 格的金额 = 1 = 20 美元。
第 2 格的金额 = 2 = 21 美元。
第 3 格的金额 = 2 × 2 = 22 美元。
依此类推，第 n 格的金额 = 2n−1 美元。
最后一格 n = 64，因此金额为 263 美元。
为了快速估算，log (263) = 63 log 2 ≈ 63 × 0.3010 = 18.963，约等于 19。
因此最后一格约需 1019 美元，也就是约一百亿亿（10,000,000,000,000,000,000）美元。更精确的数值是 9,223,372,036,854,775,808 美元。