坦雅和廷库为一些小事争个高低
坦雅和廷库是好朋友，但他们经常为一些小事互相较劲。今天，他们各自用一个形状近似圆台的玻璃杯喝水，突然发生了下面的争论。
廷库：我的杯子比你的大。
坦雅：你是什么意思？我只看出你的杯子比较高。
廷库：我的杯子能装更多的水。
坦雅：不，它不能。
廷库：既然你这么肯定，为什么不量一量呢？这是我的几何工具盒。
怎样测量哪个杯子更大？
坦雅：好，我们来测量。把我的杯子叫作1号杯，你的叫作2号杯。你准备量什么？
廷库：1号杯顶部的内径是8厘米，底部的内径是6厘米，高9厘米。
坦雅：我画了一个梯形ABCD，表示1号杯的侧视图。梯形的上底AB长8厘米，下底CD长6厘米。我把AB和CD的中点E、F连接起来，得到EF＝9厘米。
廷库：现在画2号杯的梯形ABCD，上底AB为7厘米，下底CD为5厘米，EF为10.5厘米。看吧，2号杯更高。好啦，聪明的姑娘，下一步怎么办？
圆锥的体积
坦雅：很简单。假设我们延长1号杯两侧的斜边，它们会在某一点G相交。这样就形成两个圆锥：大圆锥的底面直径是8厘米，小圆锥的底面直径是6厘米。1号杯的容积就是大圆锥的体积减去小圆锥的体积。
廷库：你真聪明，坦雅。圆锥的体积公式是πr2h/3，其中r是圆锥底面的半径，也就是我们测得直径的一半。可是，两个圆锥的高度怎么求呢？我猜你一定还有妙招。
坦雅：当然，这个妙招就是相似三角形。
把玻璃杯看作圆锥的一部分来计算体积
廷库：明白了！对于1号杯，三角形AEG和CFG相似，因为∠AEG和∠CFG都是直角，而∠AGE和∠CGF是同一个角。因此，它们的对应边成比例。对，这个方法行得通！
坦雅：对。设FG的长度为x厘米。已知AE＝4厘米，CF＝3厘米，EF＝9厘米，因此EG＝9＋x厘米。
廷库：所以(9＋x)/x＝4/3，即27＋3x＝4x，得x＝27厘米，这就是FG的长度。因此EG＝27＋9＝36厘米。也就是说，大圆锥的半径为4厘米、高36厘米；小圆锥的半径为3厘米、高27厘米。现在就可以用πr2h/3分别算出它们的体积啦！
坦雅：大圆锥的体积是π×42×36/3，约为604厘米3，也就是604毫升。小圆锥的体积是π×32×27/3，约为255厘米3，也就是255毫升。因此，1号杯的容积约为604－255＝349毫升。
廷库：那么，对于2号杯，大圆锥的体积是π×3.52×36.75/3，约为472毫升；小圆锥的体积是π×2.52×26.25/3，约为172毫升。所以2号杯只能装大约472－172＝300毫升的水。
这时，他们的朋友凯特莉走了进来。她喜欢拿这两个人互不服气的样子开玩笑，便问他们在做什么。
坦雅：廷库一直说他的杯子比我的大。我们测量并计算后，发现我的杯子更大。
凯特莉把1号杯装满水，再把水倒进2号杯。2号杯装满后，1号杯里还剩下一些水。她说：何必费这么大劲去测量？我刚才不就证明哪个杯子更大了吗？
坦雅和廷库异口同声地喊道：可是大多少呢？你可没有证明这一点！
挑战题：Chana joar garam（印度香料烤鹰嘴豆）
在印度，街头经常可以买到一种叫作Chana joar garam的香料烤黑鹰嘴豆。阿普·帕特尔决定用小圆锥形纸袋来卖这种小吃。购买这种调味鹰嘴豆的成本是每千克50卢比。他可以花20卢比买到100个小圆锥形纸袋，每个纸袋的底面半径为2厘米，高24厘米。如果每袋卖10卢比，假设这种小吃的密度约为1克/毫升，那么每卖出一袋，他能赚多少利润？
解答：圆锥的半径为2厘米，高为24厘米。因此，体积为π×22×24/3≈100.65厘米3，即100.65毫升。由于密度为1克/毫升，装满一袋需要约100.65克，取近似值100克。每千克成本50卢比，所以100克的成本为50×100/1000＝5卢比。每个纸袋的成本为20/100＝0.20卢比。因此，每袋的总成本为5.20卢比。售价为10卢比，利润就是10－5.20＝4.80卢比。