坦尼娅想听睡前故事
坦尼娅已经12岁了，但她仍然希望有人在睡前给她讲故事。你也许会说她是个被宠坏的孩子；更准确地说，她是个聪明却有点被宠坏的孩子。爷爷经常给她讲睡前故事，但这次爷爷出差了。坦尼娅去找妈妈，妈妈却很忙。于是，她跑到奶奶身边，开始抱怨。
坦尼娅：奶奶，您从来不给我讲故事。今天给我讲一个吧，求您了。
奶奶：好，好，我给你讲一个。我们去你的房间吧。
坦尼娅：我要听一个真正的故事，可不要那种短得只有“从前有个国王和王后，后来他们俩都去世了”的故事。
奶奶说她的故事永远讲不完
奶奶：亲爱的坦尼娅，我要给你讲一个永远不会结束的故事。（坦尼娅听得睁大了眼睛。）从前，有一位富有的农场主，他有一座大粮仓，用来储存收获的玉米。粮仓非常大，里面装满了数不清的玉米粒。粮仓四周都封得严严实实，只有后面有一个谁也没注意到的小洞。有一天，一只麻雀发现了这个洞，也看见了洞后面的玉米粒。它钻进去，叼了一粒玉米，然后飞走了。
坦尼娅：奶奶，我还以为这是个很长的故事呢。后来呢？
奶奶：那只麻雀告诉了它的一位朋友。于是，两只麻雀马上一起飞来，各叼走一粒玉米，一共叼走了2粒。
坦尼娅：然后呢？
奶奶：这两只麻雀各自又告诉了一位朋友，于是来了4只麻雀，每只都叼走一粒玉米。
坦尼娅已经不再睁大眼睛了，但还是问：然后呢？
奶奶：这4只麻雀又各自告诉了一位朋友，于是来了8只麻雀，每只叼走一粒玉米。接着，这8只麻雀又各自告诉了一位朋友，于是来了16只麻雀，每只又叼走一粒玉米。
奶奶看见坦尼娅已经睡着了，但为了确认，又补充说：“然后，这16只麻雀各自告诉了一位朋友，于是来了32只麻雀，每只叼走一粒玉米。”
坦尼娅已经睡得很香了。
第二天早上，坦尼娅照常起床、准备好后去上学。放学回家后，她和妈妈聊了起来。
坦尼娅：妈妈，奶奶骗人。
妈妈（责备地）：坦尼娅，不许这样说长辈。她是你的奶奶，而且很爱你。
坦尼娅：妈妈，她说要讲一个永远讲不完的故事，可那个故事一定会结束的。
坦尼娅把整个故事讲给了妈妈听。
指数不断增加
妈妈：首先，我来告诉你应该从这个故事里学到什么，然后我们再讨论故事究竟会不会结束。你在数学课上会学到指数增长函数。这类函数有底数和指数。在这个例子中，底数是2，随着每一轮麻雀飞来，指数不断增加：2、2 × 2、2 × 2 × 2、2 × 2 × 2 × 2，依此类推。奶奶也可以说，每只鸟每次带来2位（或其他数量的）新朋友。如果每一轮的鸟数变成上一轮的3倍，那么每次飞来的鸟就会比上一次多两倍。
坦尼娅：妈妈，我有两个问题。
妈妈：好，亲爱的，先问第一个吧。
坦尼娅：如果每次被叼走的玉米粒越来越多，粮仓里的玉米迟早不会被叼光吗？可怜的麻雀们只好空着嘴回去，奶奶的故事也就结束了。
妈妈：你说得对。奶奶假设粮仓里有无限多的玉米粒，这个假设是错误的。玉米粒的数量是有限的，所以故事终究会结束。
坦尼娅：看来奶奶不知道我能数到很大的数字。
妈妈：你说有两个问题。第二个是什么？
现实生活中的指数
坦尼娅：现实生活中也会发生这样的事吗？
妈妈：某种程度上会。你出生时，奶奶在银行存了10,000美元，作为你将来上大学的教育基金。银行承诺每年支付10%的利息，而且每年复利一次。
坦尼娅：那是什么意思？
妈妈：利息有两种计算方式。一种叫单利。按照单利计算，银行每年给你1,000美元的利息，也就是10,000美元的10%。11年后，你总共获得11,000美元利息，银行里的钱就有21,000美元了。
坦尼娅：那很好呀，妈妈。复利又是什么？是不是更好？
妈妈：计算复利时，第一年银行也给你1,000美元利息，但你把这笔利息继续存入账户，于是账户里就有11,000美元。第二年，银行按11,000美元计算10%的利息，也就是1,100美元。此后每年，你都把利息留在账户里，让这些利息也继续产生新的利息。这个过程不断重复。
坦尼娅：那现在账户里有多少钱？
妈妈：你要到18岁、需要上大学时才能用这笔钱。我想你应该自己算一算。愿意的话，也可以请廷库帮忙。
坦尼娅去找廷库，说：“我们来算一道题吧。”廷库开始一个数字一个数字地算，算了很久也没算完。坦尼娅叫他停下来，说一定有更简单的办法，因为妈妈说过这是指数函数的例子。两人决定先假设最初只存入1美元，这样更容易计算。第一年后，金额是1 × 1.11美元；第二年后是1 × 1.12美元；依此类推，18年后是1 × 1.118美元，约为5.559917美元。因为奶奶最初存入的是10,000美元，所以18年后的金额就是10,000 × 5.559917 = 55,599.17美元。坦尼娅明白，奶奶的礼物会帮上大忙，但要完成大学学业，她还需要更多的钱。她并不担心，因为她知道家里的其他人也会帮助她。
挑战题
2013年，玛纳尔的爸爸说，他每天给她2美元零花钱，因为他在玛纳尔这个年龄时，每天得到的零花钱也是2美元，而他比玛纳尔大30岁。玛纳尔对此不太满意，尤其是坦尼娅告诉她，过去30年加拿大的年平均通货膨胀率为4%。这意味着物价每年上涨4%。玛纳尔想知道，向爸爸要求多少零花钱才算公平。你算出来是多少？
解答：这是指数函数的一个例子。如果每年增长4%，那么每年的金额都会变成前一年的1.04倍。公式为：
最终金额 = 初始金额 × 1.04年数
这里，最初每天的零花钱是2美元，经过了30年，因此最终金额为2 × 1.0430 ≈ 6.49美元。玛纳尔可以据此向爸爸提出，每天6.49美元才相当于爸爸当年2美元的购买力。