巴拉克想加入少年棒球联赛
巴拉克是个非常讨人喜欢的男孩。邻居家的女孩阿伊莎尤其喜欢他，总是和他待在一起。巴拉克有点肥胖，有些孩子给他起了“胖子”的外号。他性格随和，通常能宽容地接受取笑；但如果有人当着阿伊莎的面取笑他，她就会严厉地制止。阿伊莎并没有说自己是他的女朋友，不过她真心喜欢巴拉克，总希望他开心。
巴拉克有一根棒球棒，经常和朋友们在街上打棒球。12岁时，他想加入少年棒球联赛，便去报名。教练告诉他，有20个孩子想参加，但球队只能收15人，这样才能保证每位队员都有上场机会。教练认为，最公平的方法是根据孩子们跑完1千米的时间来选拔，因为这既能反映速度，也能反映耐力。他认为，优秀的守场员必须能在比赛中多次快速奔跑。至于接球、传球和击球等其他技能，他愿意在训练中帮助队员提高。20个孩子跑完1千米后，巴拉克排在最后一名。他花了15分钟，几乎算不上在跑，因为有些人走路都比这快。
巴拉克跑得太慢，没能入选球队
巴拉克垂头丧气地回到家，因为他没能入选。阿伊莎看见了他。
阿伊莎：巴拉克，你怎么愁眉苦脸的？你报名参加少年棒球联赛了吗？
巴拉克：没能加入。教练说我跑得太慢了。我明年可以再试一次。
阿伊莎：到底发生了什么？
巴拉克：真难为情。我跑完1千米用了15分钟，排在最后。所有人都超过了我，有些人只用了4分钟。我后来问了教练，他说如果我能在6分钟内跑完1千米，明年就很有希望入选。可我怎么才能从15分钟进步到6分钟呢？
阿伊莎答应指导巴拉克跑步
阿伊莎：我会帮助你，因为我相信你。我确信你能成功。
巴拉克：谢谢，可是光有信心有什么用？你有什么计划吗？
阿伊莎：我来当你的跑步教练。如果你愿意，我还可以陪你一起跑。我希望你喜欢在后面追我！（她咯咯地笑了。）你今天已经跑过了，我们明天傍晚开始吧。
第二天傍晚，阿伊莎来到巴拉克家，确保他去跑步。
阿伊莎（在去跑道的路上）：我知道你昨天跑1千米用了15分钟，也就是900秒。今天大部分路程照昨天那样跑，但最后100米，我要你追着我跑。
他们照计划做了，巴拉克比前一天快了3秒。第二天，阿伊莎让他重复这个计划，不过这次要在最后200米追她。他们坚持了一周，巴拉克的成绩从900秒缩短到了882秒。
阿伊莎提出让跑步时间按指数规律递减
阿伊莎：巴拉克，你看，我就知道你行！一周内你的时间减少了2%。现在的时间是上周的0.98倍。
巴拉克：是啊，可这又能让我进步多少呢？
阿伊莎：下周，你还要把时间缩短到本周的0.98倍。
阿伊莎和巴拉克每天一起练习。果然，他达到了目标：现在用了864秒，约等于882秒乘以0.98。他们继续这样练习，到第四周时，他的时间缩短到了约830秒。
阿伊莎：巴拉克，每周都把时间缩短到前一周的0.98倍，四周后，你的时间就变成最初的约0.922倍了。
巴拉克：没错，可距离6分钟还差得远呢。我不知道你为什么这么有信心。
阿伊莎（开玩笑地说）：你追女孩子时，她们可不会为了你放慢脚步。我得保证你以后追我的时候能跟得上！开玩笑啦。不过，我有件事要告诉你。
巴拉克：什么事？
数学老师说这个方法应该有效
阿伊莎：我跟我们的数学老师讨论过。
巴拉克：找体育老师讨论不是更合理吗？
阿伊莎：不，是数学老师。我给你制定的计划符合指数递减函数。在这里，它是以0.98为底数的指数时间序列，计算公式为：初始时间 × 0.98周数。初始时间是900秒。四周后的预测时间就是900 × 0.984，约等于830秒，正好是你今天的成绩。所以你证明了这个方法有效。因为四周后的时间是初始时间的约0.922倍，我们也可以写成：初始时间 × 0.922四周周期数。再过四周，我预计你的时间会变成900 × 0.9222，约为765秒。如果你做到了，就更能说明我们的计划正在奏效。
巴拉克：可这离我需要的6分钟还是很远。
阿伊莎：如果一直这样坚持，52周后你的时间就会缩短到约315秒，远远好于你需要的360秒（6分钟）。数学老师甚至帮我画了这张图（见“巴拉克的训练”）。当然，前提是你愿意继续和我一起练习。
巴拉克：谢谢你帮助我，阿伊莎。如果你能让我明年加入少年棒球联赛，我愿意一辈子都和你一起练习！
巴拉克真想抱住阿伊莎，但他忍住了。他担心阿伊莎误会后会不再帮助他。
BODMAS 或 PEMDAS（运算顺序）
阿伊莎先计算乘方，再进行乘法。例如，计算900 × 0.9222时，她先算出0.9222约为0.85，再乘以900，得到765。在前面的故事中，我们也先做乘除法，再做加减法。一般来说，这种运算顺序称为BODMAS（括号、乘方、除法与乘法、加法与减法）或PEMDAS（括号、指数、乘法与除法、加法与减法）。同一级的乘除法或加减法通常按从左到右的顺序计算。
挑战
巴拉克进步很大，每周都把1千米跑步时间缩短到前一周的0.98倍。他坚持了52周（见上图），对此非常自豪。现在，他想再按照相同的规律训练52周，使总训练时间达到104周。请画出这104周内他的跑步时间变化图。为了方便计算，可以使用0.9813 ≈ 0.769，以及104周 = 8个13周的周期。你认为他真的能实现这个目标吗？提示：查一查世界纪录。
解答：第0、13、26、39、52、65、78、91、104周的预计时间分别为900、692、532、409、315、242、186、143、110秒。
跑步时间的函数为：
跑步时间 = 初始跑步时间 × 0.98周数
在104周内，每隔13周计算一次。
注意，预测的跑步时间为110秒。然而，诺亚·恩盖尼（Noah Ngeny）于1999年创造的男子1000米世界纪录为131.96秒。因此，持续以固定百分比进步的数学模型不可能无限期地准确预测真实的运动成绩。
