约翰尼和萨拉一起开车兜风
这时，约翰尼的妈妈已经信任他的驾驶技术，因此欣然同意他借车，带着女朋友萨拉去乡间短途兜风。
天气很好，天空万里无云，气温也恰到好处：既不冷，也没有热到能在马路上煎鸡蛋的程度。于是，他们打开车窗，一边开车一边享受微风。约翰尼还没决定去哪里，萨拉也不介意。能和他一起在乡间兜风，她就很满足了。
路边卖苹果的果农
他们开车途中，看见一位果农在路边卖苹果。他身边放着一筐筐苹果，还有一把供自己坐的椅子。苹果看起来十分诱人，他们便买了几个。约翰尼咬了一口，发现苹果非常好吃，萨拉也开始津津有味地吃起来。
约翰尼和果农聊了起来。交谈中，果农觉得这两个年轻人受过良好教育，便向他们说起自己的难题。
果农：我的果园不大，靠它维持生计很困难。
约翰尼：您的果园每年能产多少苹果？
果农：我有50棵苹果树，每棵树大约结800个苹果。
萨拉：那就是每年40,000个苹果。我想，靠这些苹果带来的有限收入生活确实不容易。
约翰尼：您为什么不多种几棵树呢？树与树之间一定要像现在这样隔得这么远吗？
果农应该在果园里增加多少棵苹果树？
果农：我也问过父亲同样的问题。他向其他果园主请教过。他说，每增加一棵树，所有树的平均产量就会各减少10个苹果。我不知道该怎么办。我受教育不多，连高中都没上过。
萨拉：约翰尼，这很简单。用你学过的微积分呀。
约翰尼：这怎么会是微积分问题呢？
萨拉：还记得我们研究 y = sin x 的斜率时，发现曲线在某些平坦的顶点处斜率为零吗？苹果总产量随树木数量变化的曲线，在达到最佳产量的点时，导数也会等于零。
约翰尼：但是，曲线在最大值或最小值处，导数都可能为零。
萨拉：那我们先找出导数为零的位置，再检查它对应的是最佳产量，还是糟糕的结果。
约翰尼：他现在有50棵树。如果再种 x 棵，总产量就是树木总数 (50 + x) 乘以每棵树的产量 (800 − 10x)。
萨拉：所以，总产量 P = 40,000 + 300x − 10x2。
约翰尼：一阶导数就是 dP/dx = 300 − 20x。
萨拉：令 300 − 20x = 0，就得到 x = 15。这就是我们要检查的最佳种植数量。
约翰尼：听起来不错，可你怎么知道这对应的是最大产量，而不是最小产量呢？
萨拉：问得好，我们总应该检查一下。如果他再种15棵树，总共就有65棵。每棵树的产量将是 800 − 10 × 15 = 650 个苹果。因此，果园的总产量将是 65 × 650 = 42,250 个苹果，比现在多。我们还可以用二阶导数来确认这确实是最大值。
于是，他们告诉果农，根据计算，最好的办法是在果园里再种15棵苹果树。这样每年就能多收获2,250个苹果。
果农：好吧，我试试看。如果你们算对了，我就免费送你们一整筐苹果。
约翰尼很高兴听到这个提议，随后两人继续上路。
图像法求解
回到家后，萨拉用笔记本电脑，根据他们推导出的公式画出了这张图。果然，曲线在增加15棵树时达到最高点。约翰尼很高兴看到图像验证了他们的答案。他也意识到，利用微积分可以很快求出答案。
突然，约翰尼问萨拉，她在果园里是怎样不使用计算器，就能一下子算出 65 × 650 的。萨拉只是笑了笑。
后来，萨拉告诉他，还可以通过二阶导数的符号来判断驻点对应的是最大值还是最小值。在驻点处，如果二阶导数为正，则该点是局部最小值；如果为负，则该点是局部最大值。例如，本题中总产量 P = 40,000 + 300x − 10x2，一阶导数 dP/dx = 300 − 20x，在 x = 15 时等于零。二阶导数 d2P/dx2 = −20，因此这个驻点对应最大产量。前面的计算和图像也支持这一结论。
挑战题
乔西有一张面积为48 cm2的手工纸。她想用它做一个顶部敞开、底面为正方形、侧壁与底面垂直的盒子，并使盒子的容积最大。她想知道这个盒子的尺寸和最大容积是多少。萨拉知道该怎样回答。你知道吗？
解答：设盒子的正方形底面边长为 x cm，高为 y cm。
盒子的表面积 A = x2 + 4xy。
已知 A = 48，所以 x2 + 4xy = 48，即 x + 4y = 48/x，因此 y = 12/x − x/4。
盒子的容积 V = x2y = x2(12/x − x/4) = 12x − x3/4。
在内部极大值或极小值处，一阶导数 dV/dx 必须为零。
由 V = 12x − x3/4，得到 dV/dx = 12 − 3x2/4。令其等于零：12 − 3x2/4 = 0，所以 3x2 = 48，x2 = 16，x = ±4。
底边长不可能为负数，因此 x = 4 cm。
由于 A = x2 + 4xy = 48，代入 x = 4，得到 16 + 16y = 48，所以 16y = 32，y = 2 cm。
因此，盒子的容积 V = x2y = 42 × 2 = 32 cm3。
二阶导数 d2V/dx2 = −3x/2。当 x = 4 时，二阶导数等于 −6，说明此时容积达到最大值。